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江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷(文科)

江西省重点中学协作体 2015 届高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1}
x

2. (5 分)设 i 是虚数单位,若复数 A.0 或﹣1 B. 0 或 1

,则 a 的值为() C . ﹣1
2

D.1

3. (5 分)已知命题 p:?x0∈R,sinx0= 是() A.命题是 p∨q 假命题 C. 命题是(?p)∨(?q)真命题

;命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0.则下列结论正确的 B. 命题是 p∧q 真命题 D.命题是(?p)∧(?q)真命题 , A= , 则△ ABC

4. (5 分) △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a=2, b=2 的面积为() A. 或

B.

C.



D.

5. (5 分)对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归方程为 x 98 99 100 y 2 3 5 则实数 m 的值为() A.6.8 B. 7 6. (5 分)在区域 A. B. 101 m 102 8 C.7.2
2 2



D.7.4

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y >1 的概率是() C. D.

7. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()

A.π

B.2π

C . 3π

D.4π

8. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=log32,b=log52,c=log23,那么输出 m 的值是

() A.log52 B.log32 C.log23 D.都有可能

9. (5 分)已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 A.两个函数的图象均关于点(﹣

sinxcosx,则下列结论正确的是()

,0)成中心对称 对称

B. 两个函数的图象均关于直线 x=﹣ C. 两个函数在区间(﹣ ,

)上都是单调递增函数 个单位得到函数①的图象

D.可以将函数②的图象向左平移

10. (5 分)已知直角△ ABC 中,斜边 AB=6,D 为线段 AB 的中点,P 为线段 CD 上任意一点, 则( A.﹣ + )? 的最小值为() B. C . ﹣2 D.2

11. (5 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 ,直线 l 与双曲线 C 交于 A, 2 B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y =2px(p>0)上,且 M 到抛物线焦点 的距离为 p,则直线 l 的斜率为() A.2 B. C. 1 D.

12. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 一个零点,则实数 m 的取值范围是()

3

2

,若函数 g(x)至少存在

A.(﹣∞,e + ]

2

B.(0,e + ]

2

C.(e + ,+∞]

2

D.(﹣e ﹣ ,e + ]

2

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)曲线 y=x(2lnx﹣1)在点(1,﹣1)处的切线方程为.

14. (5 分)已知过双曲线



=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为 45°的直线与双曲线右

支有两个交点,则双曲线的离心离 e 的取值范围是. 15. (5 分)设直线 x﹣2y+1=0 的倾斜角为 α,则 cos α+sin2α 的值为. 16. (5 分)已知函数 f(x)为 R 上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数 x,y 满足 ,则 的取值范围是.
2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知{an}为等差数列,数列{bn}满足对于任意 n∈N ,点(bn,bn+1)在直线 y=2x 上,且 a1=b1=2,a2=b2. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)若 求数列{cn}的前 2n 项的和 S2n.
*

18. (12 分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某 城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作 为社会实践,进行调查统计,将承受能力数据按区间[2.5,3.5) ,[3.5,4.5) ,[4.5,5.5) ,[5.5, 6.5) ,[6.5,7.5](千元)进行分组,得到如下统计图: (1)求 a 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取 5 人,在抽 取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.

19. (12 分)如图 1,△ ABC,AB=AC=4,

,D 为 BC 的中点,DE⊥AC,沿 DE

将△ CDE 折起至△ C′DE,如图 2,且 C'在面 ABDE 上的投影恰好是 E,连接 C′B,M 是 C′B

上的点,且



(1)求证:AM∥面 C′DE; (2)求三棱锥 C′﹣AMD 的体积.

20. (12 分)设椭圆

的右焦点为 F1,直线 (其中 O 为坐标原点) .

与x轴

交于点 A,若

(1)求椭圆 M 的方程; 2 2 (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x +(y﹣2) =1 的任意一条直径(E、F 为直 径的两个端点) ,求 的最大值.

21. (12 分)设函数 f(x)=

﹣ax.

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; 2 (2)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围.

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选 修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 与点 M. (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在直角坐标系 xoy 中,直 l 线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ=10cosθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(2,6) ,求|PA|+|PB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求 Z=a+2b+3c 的最小值.

江西省重点中学协作体 2015 届高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{﹣1,0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 B 中其他不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 0 x 2 解答: 解:由集合 B 中的不等式变形得:1=2 ≤2 ≤2 =4,即 0≤x<2, ∴B=[0,2) , ∵A={﹣1,0,1},
x

∴A∩B={0,1}. 故选 A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)设 i 是虚数单位,若复数 A.0 或﹣1 B. 0 或 1

,则 a 的值为() C . ﹣1 D.1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部大于 0 且虚部等于 0 求得 a 值. 解答: 解:由 = >0,



,解得 a=﹣1.

故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,训练了不等式的解 法,是基础题. 3. (5 分)已知命题 p:?x0∈R,sinx0= 是() A.命题是 p∨q 假命题 C. 命题是(?p)∨(?q)真命题 ;命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0.则下列结论正确的 B. 命题是 p∧q 真命题 D.命题是(?p)∧(?q)真命题
2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 首先判断命题 p 和 q 的真假,再利用真值表对照各选项选择.命题 p 的真假有正弦 函数的有界性判断,命题 q 的真假结合二次函数的图象只需看△ . 解答: 解:命题 p:因为﹣1≤sinx≤1,故不存在 x∈R,使 sinx= ,命题 p 为假; 2 命题 q:△ =1﹣4=﹣3<0,故?x∈R,都有 x +x+1>0 为真. ∴,命题是 p∨q 是真,命题“p∧q”是假命题,命题是(?p)∨(?q)真命题,命题是(?p)∧ (?q)假命题. 故选:C 点评: 本题考查命题和复合命题真假的判断、正弦函数的有界性及二次函数恒成立等知识, 属基本题型的考查. 4. (5 分) △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a=2, b=2 的面积为() A. 或 , 则△ ABC

, A=

B.

C.



D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理和条件求出 sinB 的值,由内角的范围求出角 B 的值,由内角和定理和 三角形面积公式再求出三角形的面积. 解答: 解:由题意知,a=2,b=2 ,A= ,

根据正弦定理得 又 b>a,则 B= 当 B= 当 B= 时,C= 时,C= 或 ,

,则 sinB=

=

=



= =

,△ ABC 的面积 S= ,△ ABC 的面积 S=

=2 =

; = ,

综上可得,△ ABC 的面积是 2 或 , 故选:A. 点评: 本题考查了正弦、余弦定理,内角和定理,以及三角形的面积公式的应用,属于中 档题.

5. (5 分)对于下列表格所示的五个散点,已知求得的线性回归方程为 x 98 99 100 y 2 3 5 则实数 m 的值为() A.6.8 B. 7 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得 和 ,代入回归方程可得 m 的方程,解方程可得. 解答: 解:由题意可得 = (98+99+100+101+102)=100, 同理可得 = (2+3+5+m+8)= 代入回归方程可得 , 101 m 102 8 C.7.2 D.7.4



=0.76×100﹣71,

解得 m=7, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程,属基础题.
2 2

6. (5 分)在区域 A. B.

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y >1 的概率是() C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据几何概型的概率公式分别计算出对应区域的面积,代入几何概率公式可求. 解答: 解:由题意可得,区域
2 2

表示的是以 1 为边长的正方形 ABCD,其面积为 1

x +y >1 的区域为正方形内单位圆外的部分, 则阴影部分的面积 S=1﹣ =1﹣ ,

则对应的概率 P= 故选:D

=



点评: 本题主要考查几何概型的概率计算,根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关 键. 7. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()

A.π

B.2π

C . 3π

D.4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于 一个长,宽,高分别为 ,1,1 的长方体的外接球,计算出球的半径,代入球的表面积公式, 可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其外接球相当于一个长,宽,高分别为 ,1,1 的长方体的外接球,

故外接球的半径 R=

=1,
2

所以几何体的外接球的表面积为 4π?1 =4π, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 8. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 a=log32,b=log52,c=log23,那么输出 m 的值是

() A.log52 B.log32 C.log23 D.都有可能

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由程序框图知:算法的功能是求 a,b,c 三个数中的最小数,根据对数函数的性质比 较出 a、b、c 的大小关系即可. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 a,b,c 三个数中的最小数, 由对数函数的性质可得 log52<log32<1<log23, 所以 b<a<c, 则输出 m 的值是 log52, 故答案为:A. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图,以及对数函数的性质的应用,根据框图的流程判 断算法的功能是解答此类问题的关键. 9. (5 分)已知函数①y=sinx+cosx,②y=2 A.两个函数的图象均关于点(﹣ sinxcosx,则下列结论正确的是()

,0)成中心对称 对称

B. 两个函数的图象均关于直线 x=﹣ C. 两个函数在区间(﹣ ,

)上都是单调递增函数 个单位得到函数①的图象

D.可以将函数②的图象向左平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 综合题;三角函数的图像与性质. 分析: 化简这两个函数的解析式,利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断,可得 A、B、 D 不正确,C 正确. 解答: 解:∵函数①y=sinx+cosx= 由于①的图象关于点(﹣ 故 A 不正确. 由于函数①的图象不可能关于直线 x=﹣ 由于这两个函数在区间(﹣ , 成轴对称,故 B 不正确. sin(x+ ) ,②y=2 sinxcosx= sin2x, ,0)成中心对称,

,0)成中心对称,②的图象不关于点(﹣

)上都是单调递增函数,故 C 正确. 个单位得到函数 y= sin2(x+ ) ,而 y= sin2(x+ )

由于将函数②的图象向左平移 ≠ sin(x+ ) ,故 D 不正确.

故选 C. 点评: 本题考查正弦函数的单调性,对称性,考查和、差角公式及二倍角公式,化简这两 个函数的解析式,是解题的突破口,属于中档题. 10. (5 分)已知直角△ ABC 中,斜边 AB=6,D 为线段 AB 的中点,P 为线段 CD 上任意一点, 则( A.﹣ + )? 的最小值为() B. C . ﹣2 D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据图形判断设|PC|=3﹣x,e 则|PD|=x, 运算得出函数式子( + )? 与 的夹角为 π,0≤x≤3,运用数量积的

=﹣2x?(3﹣x) ,再利用基本不等式求解即可.

解答: 解:∵直角△ ABC 中,斜边 AB=6,D 为线段 AB 的中点, ∴|CD|=3, + =2 ,

∵P 为线段 CD 上任意一点, ∴设|PC|=3﹣x,则|PD|=x, ∴( + )? 与 的夹角为 π,0≤x≤3,

=﹣2x?(3﹣x) ,

∵x?(3﹣x)≤ ,

∴﹣2x?(3﹣x)≥﹣2× =﹣ . 故选:A.

点评: 本题考查了平面向量的数量积,转化为函数求解,关键是根据图形得出向量的关系, 属于容易题. 11. (5 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 ,直线 l 与双曲线 C 交于 A, 2 B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y =2px(p>0)上,且 M 到抛物线焦点 的距离为 p,则直线 l 的斜率为() A.2 B. C. 1 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义,确定 M 的坐标,利用点差法将线段 AB 中点 M 的坐标代入,即 可求得结论. 2 解答: 解:∵M 在抛物线 y =2px(p>0)上,且 M 到抛物线焦点的距离为 p, ∴M 的横坐标为 ,∴M( ,p)

设双曲线方程为

(a>0,b>0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

代入两式相减, 并将线段 AB 中点 M 的坐标代入, 可得

=0,



=

=

= .

故选:D. 点评: 本题考查双曲线与抛物线的综合,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题.

12. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 一个零点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,e + ]
2

3

2

,若函数 g(x)至少存在

B.(0,e + ]

2

C.(e + ,+∞]

2

D.(﹣e ﹣ ,e + ]

2

2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 3 2 分析: 由题意先求函数的定义域,再化简为方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解,则 m= =﹣x +2ex+
2

,求导求函数 m=﹣x +2ex+

2

的值域,从而得 m 的取

值范围. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 的定义域为(0,+∞) , 又∵g(x)= ,

∴函数 g(x)至少存在一个零点可化为 3 2 函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 至少有一个零点; 3 2 即方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解, 则 m= =﹣x +2ex+
2



m′=﹣2x+2e+

=﹣2(x﹣e)+



故当 x∈(0,e)时,m′>0, 当 x∈(e,+∞)时,m′<0; 则 m=﹣x +2ex+
2

在(0,e)上单调递增,

在(e,+∞)上单调递减, 故 m≤﹣e +2?e?e+ =e + ; 又∵当 x+→0 时,m=﹣x +2ex+ 故 m≤e + ; 故选 A. 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)曲线 y=x(2lnx﹣1)在点(1,﹣1)处的切线方程为 x﹣y﹣2=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
2 2 2 2

→﹣∞,

专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 因为曲线的切线的斜率是曲线在切点处的导数,所以只需求出曲线在 x=1 时的导数, 再用点斜式写出切线方程,化简即可. 解答: 解:对 y=x(2lnx﹣1)求导,得,y′=2lnx+1, 当 x=1 时,y′=1, ∴曲线 y=x(2lnx﹣1)在点(1,﹣1)处的切线斜率为﹣1. 又切点为(1,﹣1) , ∴切线方程为 y+1=x﹣1, 即 x﹣y﹣2=0, 故答案为:x﹣y﹣2=0. 点评: 本题主要考查曲线的导数的几何意义,以及直线的点斜式方程.属于基础题.

14. (5 分)已知过双曲线



=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为 45°的直线与双曲线右 ) .

支有两个交点,则双曲线的离心离 e 的取值范围是(1,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的 斜率,即 <1,求得 a 和 b 的不等式关系,进而根据 b= 转化成 a 和 c 的不等式关

系,求得离心率的一个范围,最后根据双曲线的离心率大于 1,综合可得求得 e 的范围. 解答: 解:要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直 线的斜率, 即 <tan45°=1 即 b<a ∵b= ∴ 整理得 c< ∴e= < ∵双曲线中 e>1 故 e 的范围是(1, ) 故答案为(1, ) 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.在求离心率的范围时,注意双曲线的离心率大 于 1. 15. (5 分)设直线 x﹣2y+1=0 的倾斜角为 α,则 cos α+sin2α 的值为 .
2

<a, a

考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题;三角函数的求值;直线与圆. 分析: 根据直线 x﹣2y+1=0 的方程求出 tanα 的值,把 cos α+sin2α 化成 ,再用正切函数表示即可. 解答: 解:∵直线 x﹣2y+1=0 的倾斜角为 α, ∴tanα=
2 2

∴cos α+sin2α= =

=

= . 故答案为: . 点评: 本题考查了直线方程的倾斜角与斜率的应用问题,也考查了三角函数求值的应用问 题,是基础题目. 16. (5 分)已知函数 f(x)为 R 上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数 x,y 满足 ,则 的取值范围是[0, ].

考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数图象关于点(3,0)对称将条件进行转化,结合直线斜率的几何意义以及点 到直线的距离公式进行求解即可. 解答: 解:∵函数 y=f(x)的图象关于点(3,0)对称, ∴f(x+3)=﹣f(3﹣x) , 即 f(x+6)=﹣f(﹣x) ,即 f(﹣x+6)=﹣f(x) , 2 2 ∵f(x ﹣ x+9)+f(y ﹣2y)≤0, 2 2 2 ∴f(x ﹣ x+9)≤﹣f(y ﹣2y)=f[6﹣(y ﹣2y)], ∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数, 2 2 ∴得 x ﹣ x+9≤6﹣(y ﹣2y) , 2 2 化简配方得(x﹣ ) +(y﹣1) ≤1, ∴圆心为( ,1) ,半径为 1, 的几何意义为圆上动点到原点得斜率,

设 k= .则 y=kx,kx﹣y,

则满足圆心到原点的距离 d= 平方得为 k ﹣ k≤0, 解得 0≤k≤ , ∴0≤ ≤ , ].
2

≤1,

∴ 的取值范围是[0,

故答案为:[0, ] 点评: 本题考查不等式的求解,利用抽象函数的性质,将不等式进行转化,结合函数的奇 偶性、单调性及圆的有关知识是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知{an}为等差数列,数列{bn}满足对于任意 n∈N ,点(bn,bn+1)在直线 y=2x 上,且 a1=b1=2,a2=b2. (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)若 求数列{cn}的前 2n 项的和 S2n.
*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据题意得出有 ,判断数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,

即可求解为

,运用条件判断数列{an}是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,根据通项公

式即可求解 an=2n; (2)运用 Cn 的通项公式得出 S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n)分别求解和即可. 解答: 解: (1)由点(bn,bn+1)在直线 y=2x 上,有 所以数列{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 即数列{bn}的通项公式为 , ,

又 a1=b1=2,a2=b2=4,则 d=a2﹣a1=4﹣2=2, 所以数列{an}是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 即数列{an}的通项公式为 an=2n; (2) ,

所以 S2n=(a1+a3+…+a2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n) = = .

点评: 本题考查了等差,等比数列定义,性质,学生对题意的理解,学生分析解决问题的 能力,综合性强,属于中档题. 18. (12 分)两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某 城市居民对房价的承受能力(如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作 为社会实践,进行调查统计,将承受能力数据按区间[2.5,3.5) ,[3.5,4.5) ,[4.5,5.5) ,[5.5, 6.5) ,[6.5,7.5](千元)进行分组,得到如下统计图: (1)求 a 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取 5 人,在抽 取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据各组的累积频率为 1,构造关于 a 的方程,解方程可得 a 的值,累加每组 组中值与频率的积,可估算出该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)先计算出在抽取的 5 人中随机取 2 人的情况种数,再计算出 2 人的承受能力不同的情况 种数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解: (1)由各组的累积频率为 1, 可得:0.1+0.1+0.14+0.45+a=1, 所以 a=0.21, (2 分) 平均承受能力 , 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元; (5 分) (2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即[3.5,4.5)组中抽 2 人与[5.5,6.5)抽 3 人, 设[3.5,4.5)组中两人为 A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为 B1,B2,B2, 从这 5 人中随机取 2 人,有 A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1, A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3 共 10 中, 符合两人承受能力不同的有 A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3 共 6 中,

所以所求概率为

. (12 分)

点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,频率分布直方图,是统计和概率的综 合应用,难度不大,属于基础题. 19. (12 分)如图 1,△ ABC,AB=AC=4,

,D 为 BC 的中点,DE⊥AC,沿 DE

将△ CDE 折起至△ C′DE,如图 2,且 C'在面 ABDE 上的投影恰好是 E,连接 C′B,M 是 C′B

上的点,且



(1)求证:AM∥面 C′DE; (2)求三棱锥 C′﹣AMD 的体积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)要证 AM∥面 C′DE,可证 AM 所在的平面平行于面 C′DE,结合已知过 M 作 MN∥C'D,交 BD 于 N,连接 AN,利用面面平行的判定证明面 AMN∥面 C'DE; (2)利用等积法把三棱锥 C′﹣AMD 的体积转化为 VB﹣AMD,进一步转化为 M﹣ABD 的体 积求解. 解答: (1)证明:过 M 作 MN∥C'D,交 BD 于 N,连接 AN,于是 又 AB=AC=4, ∴BC=4 则 DB= ∴ ∴∠ANB= ,∴ , ,

,又 D 为 BC 的中点, ,又 ,∠B= , ,由 AN =AB +NB ﹣2AB?NB?cos
2 2 2

,得到



,得 AN∥ED,

∴面 AMN∥面 C'DE,即 AM∥面 C'DE;

(2)∵

,∴

, , .

又 C′E⊥面 ABD,∴M 到平面 ABD 的距离 h=2, ∴

,即得三棱锥 C′﹣AMD 的体积为

点评: 本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识,考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题.

20. (12 分)设椭圆

的右焦点为 F1,直线 (其中 O 为坐标原点) .

与x轴

交于点 A,若

(1)求椭圆 M 的方程; 2 2 (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x +(y﹣2) =1 的任意一条直径(E、F 为直 径的两个端点) ,求 的最大值.

考点: 圆与圆锥曲线的综合;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (1)先求出点 A,F1 的坐标,利用 (2)方法 1:设圆 N:x +(y﹣2) =1 的圆心为 N,则 = ,从而求 的最大值转化为求 的最大值; =
2 2

,即可求得椭圆的方程;

方法 2:设点 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,P(x0,y0) ,根据 E,F 的中点坐标为(0,2) ,可得

所以 = .根据点 E 在圆 N 上,点 P 在椭圆 M 上,可得 = 的最大值; = , 利用 , 可求

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y=kx+2,由

,解得

,再分别求得



,利用

,可求

的最大值;

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x=0,同理可求 的最大值. 解答: 解: (1)由题设知, , ,…(1 分)

由 解得 a =6.
2

,得

.…(3 分)

所以椭圆 M 的方程为
2

.…(4 分)
2

(2)方法 1:设圆 N:x +(y﹣2) =1 的圆心为 N, 则 = = 从而求 …(6 分) …(7 分) .…(8 分) 的最大值转化为求 的最大值.…(9 分)

因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0) ,…(10 分) 所以 ,即 .…(11 分) .…(12 分) ,所以当 y0=﹣1 时, 的最大值为 11,…(14 分) 取得最大值 12,…(13 分)

因为点 N(0,2) ,所以 因为 所以

方法 2:设点 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,P(x0,y0) , 因为 E,F 的中点坐标为(0,2) ,所以 …(6 分)

所以 (﹣x1﹣x0)+(y1﹣y0) (4﹣y1﹣y0) = 因为点 E 在圆 N 上,所以 = ,即

… (7 分) = (x1﹣x0)

.…(9 分) .…(10 分)

因为点 P 在椭圆 M 上,所以 所以 因为 = =

,即

.…(11 分) .…(12 分) .…(14 分)

,所以当 y0=﹣1 时,

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y=kx+2,…(6 分) 由 ,解得 .…(7 分)

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P(x0,y0) , 所以 ,即 .…(8 分)

所以



…(9 分) 所以

.…(10 分) 因为 ,所以当 y0=﹣1 时, 取得最大值 11,…(11 分)

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x=0, 由 ,解得 y=1 或 y=3.

不妨设,E(0,3) ,F(0,1) .…(12 分) 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P(x0,y0) , 所以 ,即 .

所以 所以 因为 综上可知,



. .

,所以当 y0=﹣1 时, 的最大值为 11,…(14 分)

取得最大值 11,…(13 分)

点评: 本题以向量为载体,考查椭圆的标准方程,考查向量的数量积,考查配方法求函数 的最值,综合性强,属于中档题.

21. (12 分)设函数 f(x)=

﹣ax.

(1)若函数 f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数 a 的最小值; 2 (2)若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由已知得 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) ,f′(x)=﹣a+ (1,+∞)上恒成立,由此利用导数性质能求出 a 的最大值; (2)命题“若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立”,等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤f′(x)max+a”,由此利用导数性质结合分类讨论思想,能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) , ∵f(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴f′(x)=﹣a+ ≤0 在(1,+∞)上恒成立,
2 2



﹣a≤



=(
2

﹣ )﹣ ,

2

令 g(x)=( 故当

﹣ )﹣ ,
2

= ,即 x=e 时,

g(x)的最小值为﹣ ,∴﹣a≤﹣ ,即 a≥ ∴a 的最小值为 . (Ⅱ)命题“若存在 x1,x2∈[e,e ],使 f(x1)≤f′(x2)+a 成立”, 2 等价于“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤f′(x)max+a”, 由(Ⅰ)知,当 x∈[e,e ]时,lnx∈[1,2],
2 2

∈[ ,1],

f′(x)=﹣a+

=﹣(

﹣ ) + ﹣a,

2

f′(x)max+a= , 问题等价于:“当 x∈[e,e ]时,有 f(x)min≤ ”, ①当﹣a≤﹣ ,即 a
2 2

时,由(Ⅰ) ,f(x)在[e,e ]上为减函数,
2

2

则 f(x)min=f(e )=﹣ae + ∴﹣a≤ ∴a≥ ﹣ ﹣ , .

≤ ,

②当﹣ <﹣a<0,即 0<a< 时,∵x∈[e,e ],∴lnx∈[ ,1], ∵f′(x)=﹣a+
2

2

,由复合函数的单调性知 f′(x)在[e,e ]上为增函数,

2

∴存在唯一 x0∈(e,e ) ,使 f′(x0)=0 且满足: f(x)min=f(x0)=﹣ax0+ 要使 f(x)min≤ ,∴﹣a≤ 与﹣ <﹣a<0 矛盾, ∴﹣ <﹣a<0 不合题意. 综上,实数 a 的取值范围为[ ﹣ ,+∞) . ,



< ﹣ =﹣ ,

点评: 本题主要考查函数、导数等基本知识.考查运算求解能力及化归思想、函数方程思 想、分类讨论思想的合理运用,注意导数性质的合理运用. 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选 修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在△ ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边上的中点,连接 OD 交圆 O 与点 M. (1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE?BC=DM?AC+DM?AB.

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 推理和证明. 分析: (1)连接 BE, OE,由已知得∠ABC=90°=∠AEB, ∠A=∠A, 从而△ AEB∽△ABC, 进而∠ABE=∠C,进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,由此能证明 DE 是圆 O 的切线. (2) DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , 从而 DM?AC+DM?AB= (AC﹣AB) ? (AC+AB) = BC , 由此能证明 DE?BC=DM?AC+DM?AB. 解答: 证明: (1)连接 BE,OE, ∵AB 是直径,∴∠AEB=90°, ∵∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC, ∴∠ABE=∠C, ∵BE⊥AC,D 为 BC 的中点,∴DE=BD=DC, ∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB, ∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°, ∴∠OEE=90°,∴DE 是圆 O 的切线. (2)证明:∵O、D 分别为 AB、BC 的中点, ∴DM=OD﹣OM= (AC﹣AB) , ∴DM?AC+DM?AB =DM?(AC+AB) = (AC﹣AB)?(AC+AB) = (AC ﹣AB ) = BC
2 2 2 2

=DE?BC. ∴DE?BC=DM?AC+DM?AB.

点评: 本题考查 DE 是圆 O 的切线的证明,考查 DE?BC=DM?AC+DM?AB 的证明,是中档 题,解题时要认真审题,注意弦切角定理的合理运用. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在直角坐标系 xoy 中,直 l 线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ=10cosθ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(2,6) ,求|PA|+|PB|. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)由 ρ=10cosθ 得 ρ =10ρcosθ,把
2

代入即可得出.

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,化为 程的两个实根.利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣(t1+t2)即可得出. 2 解答: 解: (1)由 ρ=10cosθ 得 ρ =10ρcosθ, 2 2 2 2 ∴直角坐标方程为:x +y =10x,配方为: (x﹣5) +y =25. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,化为 由于△ =

=0,可设 t1,t2 是上述方

=0,

﹣4×20=82>0,可设 t1,t2 是上述方程的两个实根.

∴t1+t2=﹣ ,t1t2=20,又直线 l 过点 P(2,6) , 可得:|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣(t1+t2)=9 . 点评: 本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求 Z=a+2b+3c 的最小值.

考点: 柯西不等式;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用已知条件,转化不等式为绝对值不等式,即可求 m 的值; (2)通过 a,b,c∈R+,且 + + =m,直接利用柯西不等式,求出 Z=a+2b+3c 的最小值.

解答: 解: (1)因为 f(x+2)=m﹣|x|,f(x+2)≥0 等价于|x|≤m,

由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|﹣m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1],故 m=1.…(6 分) (2)由(1)知 + + =1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 + )≥( + + ) =9.
2

Z=a+2b+3c=(a+2b+3c) ( +

∴Z=a+2b+3c 的最小值为 9 …. (12 分) 点评: 本题考查绝对值不等式的解法解法,柯西不等式求解表达式的最值,考查转化思想 与计算能力.


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