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高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系课后训练北师大版选修4_4

柱坐标系和球坐标系 练习 1 设点 M 的直角坐标为(-1, ? 3 ,2),则它的柱坐标是( ). ? π ? ,2? ? 3 ? ? π ? C. ? 2, , 2 ? ? 3 ? A. ? 1, B. ? 2, ? 4 ? π, 2 ? ? 3 ? ? π ? D. ? 3, , 2 ? ? 3 ? ). B. ? 2, 2 设点 P 的直角坐标为(-1,-1, 2 ),则它的球坐标为( ? π π? , ? ? 4 4? ? 5 π? C. ? 2, π, ? ? 4 4? A. ? 2, ? π 5 ? , π? ? 4 4 ? ? 3 π? D. ? 2, π, ? ? 4 4? ? ? π ? ,5 ? ,则此长方 2 ? 3 如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5), C1 ? 6, 体的体积为( ). A.100 C.160 B.120 D.240 4 已知点 N 的球坐标为 ? 4, A.(-2,2, 2 2 ) B.(2,-2, 2 2 ) C.(-2,-2, 2 2 ) D.(-2,2,- 2 2 ) ? ? π 3 ? , π ? ,则其直角坐标为( 4 4 ? ). 5 在柱坐标系中,已知 A ? 1, __________. ? π ? ? π ? , 0 ? ,B ?1, , 2 ? 及 O(0,0,0)三点,则△ABO 的面积为 ? 2 ? ? 2 ? 6 已知点 P1 的球坐标是 ? 2 3, ? ? π π? π ? ? , ? ,点 P2 的柱坐标为 ? 5, ,1? ,则 |P1P2|2 = 3 4? 3 ? ? __________. 7 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M 是 A1B1 的 中点.建立适当的坐标系,求点 M 的空间直角坐标和柱坐标. 8 如图,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,θ A,4),B1(3,θ B1,0),其中 θ A-θ B1=60°, 求直线 AB1 与圆柱的轴 OO1 所成的角和 AB1 的长. ? tan 37? ? ? ? 3? ? 4? 参考答案 1 答案:B 设点 M 的柱坐标为(r,θ ,z),则 tan ? = ∵0≤θ <2π ,x<0, y = 3. x ?1 =2,z=2. 4π cos 3 ? 4 ? ∴点 M 的柱坐标为 ? 2, π, 2 ? . ? 3 ? ∴? = 4 x π ,r= = 3 cos? 2 答案:B 设 P 点的球坐标为(r,φ ,θ ),则有 tan θ = ∵0≤θ <2π ,x<0, y ?1 = =1. x ?1 5 π ,r= ??1?2 ? ??1?2 ? ? 2 ?2 =2. 4 2 ∴ 2=rcos ? ? cos ? = . 2 π ∵0≤φ ≤π ,∴ ? = . 4 ? π 5 ? ∴P 点的球坐标为 ? 2, , π ? . ? 4 4 ? ∴? = 3 答案:B 由长方体的两个顶点分别为 A1(4,0,5),C1 ? 6, =6,|OO1|=5, 故长方体的体积为 4×5×6=120. 4 答案:A 设点 N 的直角坐标为(x,y,z),则有 ? ? π ? ,5 ? ,可知|OA|=4,|OC| 2 ? ? π 3 2 ? 2? ?? ? ? x ? r sin ? cos ? ? 4sin cos π ? 4 ? ? ? ? ?2, 4 4 2 ? ? ? 2 ? ? π 3 2 2 ? ? ? 2, ? y ? r sin ? sin ? ? 4sin sin π=4 ? 4 4 2 2 ? π ? ? z ? r cos ? ? 4 cos 4 ? 2 2. ? ? ∴点 N 的直角坐标为(-2,2, 2 2 ). ? π ? ? π ? 5 答案:1 ∵A ? 1, , 0 ? ,B ? 1, , 2 ? ,O(0,0,0), ? 2 ? ? 2 ? ∴△OAB 为直角三角形. 1 1 |OA||AB|= ×1×2=1. 2 2 3 3 10 ? 30 ? 2 3 设 P1 的直角坐标为(x,y,z), 6 答案: 18 ? 2 2 π π 3 2 3 ? ? 2, 则 x=rsin φ cos θ = 2 3 ? sin cos ? 2 3 ? 3 4 2 2 2 ∴S△OAB= y=rsin φ sin θ = 2 3 ? sin z=rcos φ = 2 3 ? cos ∴P1 ? π π 3 sin = 2, 3 4 2 π = 3. 3 3 ?3 ? 2, 2, 3 ? . 2 ?2 ? ? 5 15 ? ? 2 , 2 ,1? ?. ? ? 2 2 同理,点 P2 的直角坐标为 ? ? 2 ∴|P1P2| = ? ? ? ? ?3 5 ? ?3 2 15 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 3 ? 1? ? ? ? 2 ? ? 3 3 =? 18 ? 10 ? 30 ? 2 3 ? ? ? 2 2 ? ? 3 3 =18 ? 10 ? 30 ? 2 3 . 2 2 7 答案:解:建立如图所示的坐标系,过点 M 作底面 xCy 的垂线 MN. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∴N 点在线段 AB 上. 由点 N 分别作 x 轴,y 轴的垂线 NE,NF, 根据已知,可得△ABC 是等腰直角三角形, ∴|NE|=|NF|= 1 . 2 故点 M 的空间直角坐标为 ? , , 2 ? . 由于点 M 在平面 xCy 上的射影为点 N, ?1 1 ?2 2 ? ? π 2 ,∠ECN= , 4 2 ? 2 π ? 故点 M 的柱坐标为 ? ? 2 , 4 ,2? ?. ? ? |C

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