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变化率与导数第一课时


3.1变化率与导数
3.1.1变化率的问题

Ⅰ、练习 某人走路的第1秒到第34秒的位移和时间的关系如图所示:
s(m)
16 C (34 , 16)

8

B (24 , 8)

2.5 O

A (1 , 2.5)

1

24

34

t(s)

问题1:“从A到B的位移是多少?从B到C的位移是多少? 问题2: “AB段与BC段哪一段速度较快?”

16

s(m)
C (34 , 16)

一,变化率的问题
8 2.5 O 1 B (24 , 8)

A (1 , 2.5) 24
34 t(s)

(1)速度快慢是生活用语,怎样将它数学化? (2)曲线上BC之间一段几乎成了直线,由此联想 到如何量化直线的倾斜程度? 分析:(2)通过比较AB段的平均速度(约0.24)与BC段的 平均速度( 0.8 ),感知曲线陡峭程度的量化。

一,变化率的问题
16

s(m)
C (34 , 16)

8 2.5 O 1 A (1 , 2.5)

B (24 , 8)

24

34 t(s)

(3)由点B上升到点C必须考察 y ? y 的大小,但仅注意到 y ? y 的大小能否精确量化BC段陡峭的程度?为什么? 分析:在考察 y ? y 的同时必须考察 xC ? xB,函数的本质就在于一个 量的改变(如Y的改变)是相对于另一个量的改变(即X的改变)而言。
C B C B

C

B

问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
V(r ) ? 4

?r .
3

3 3 3V . 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V) ? 4? 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm),

气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm/L ),
1? 0

当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm), 气球的平均膨胀率为
r (2) ? r (1) 2 ?1 ? 0.16(dm/L ),

随着 气球体积 逐渐变大, 它的平均 膨胀率逐 渐变小

思考:
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?

r (V 2 ) ? r (V 1 ) V 2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态? 如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v ?
h(0.5) ? h(0) 0.5 ? 0 ? 4.05(m/s );

在1≤ t ≤2这段时间里,

v?

h(2) ? h(1) 2 ?1

? ?8.2(m/s );

计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
h( 65 49 ) ? h (0 ) ? 1 0

65

v ?

?h ?t

? 0

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.

1,平均变化率定义:
式子
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

称为函数 f (x)从x1到 x2

的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 ? ?y ?x

理解: 1,式子中△x 、△ y 的值可正、可负,但的 △x值不能为0, △ y 的值可以为0 2,若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3, 变式
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 ? f ( x1 ? ? x ) ? f ( x1 ) ?x

思考:
? 观察函数f(x)的图象

平均变化率 表示什么?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1
y f(x2)

Y=f(x)

B

f(x1)

A x x1 x2

直线AB的 斜率

O

练习:
? 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( D ) A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx ? 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

3 .质 点 运 动 规 律 s = t + 3 , 则 在 时 间 ( 3 , 3 + ? t ) 中 相应的平均速度为( A. 6+?t C.3+?t B.

2

A)
6+?t+ 9 ?t

D.9+?t

4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线 运动,求在4s附近的平均变化率.

25 ? 3? t

5.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万

元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
6.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在 下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率. (1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .

小结:
? 1.函数的平均变化率
?y ?x ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? 2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量 (2)计算平均变化率

Δy=f(x2)-f(x1);
?y ?x ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1


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