当前位置:首页 >> 数学 >>

2.1.1合情推理


第二章 推理与证明

在日常生活中, 人们常常需要进行这样 那 样的推理 .例如,医生诊断病人的病症 , 警察 侦破案件 ,气象专家预测天气的可 能状态, 考古学家推断遗址的年 代 , 数学家论证命 题的真伪等等 , 其中都包含了推理活动 .在 数学中, 证明过程更离不开推理 .

本章我们将学习两种基本的推理 推理和演绎推理 .

合情

2.1.1 合情推理

数学中有各种各样的猜想, 如著名的哥德巴赫 (Goldbach)猜想、费马( Fermat )猜想、地图的" 四色猜想"、歌尼斯堡七桥猜想等等.某些猜想 的证明吸引了大批的数学家 和数学爱好者, 有 的人甚至为之耗费了毕生心血 .你知道这些数 学猜想是怎样提出来的吗 ? 下面感受一下哥德巴 赫提出猜想的过程.

据说哥德巴赫无意中观 察到 : 3 ? 7 ? 10,3 ? 17 ? 20,13 ? 17 ? 30, 他有意把上面的式子改 写成 : 10 ? 3 ? 7,20 ? 3 ? 17,30 ? 13 ? 17.

其中反映出这样一个规 律 : 偶数 ? 奇质数 ? 奇质数 . 于是哥德巴赫产生了一 个想法 : 10,20,30都是偶 数,那么其他偶数是否也有 类似的规律呢 ? 显然,第一个等于两个奇质数 之和的偶数是 6, 即 6 ? 3 ? 3, 再看看超过 6的偶数 : 8 ? 3 ? 5,10 ? 5 ? 5,12 ? 5 ? 7,14 ? 7 ? 7,16 ? 5 ? 11 ,? ? ? ? ? ? 1000 ? 29 ? 971 ,1002 ? 139 ? 863,? ? ? ? ? ?

继续上述过程 , 你能提出一个猜想吗 ?
根据上述过程 , 哥德巴赫大胆地猜想 : 任何一个 不小于 6 的偶数都等于两个奇质 数的和 .这是正 确的吗 ? 多少年来 , 许多优秀的数学家都在 努力 证明这个猜想 , 而且取得了很好的进展 .

现在, 我们来考察一下哥德巴 赫提出猜想的推理 过程 : 通过对一些偶数 的验证 , 他发现它们总可 以表示成两个奇质数之 和,而且没有出现反例 .于 是, 提出猜想 " 任何一个不小于 6的偶数都等于 两个奇质数之和 ".

这种由某类事物的部分 对象具有某些特征 ,推 出该类 事物的全部对象都具有 这 些特征的推 论, 或者由个别事实概括出 一般结论的推理 ,称 为归纳推理 ?简称归纳?.简言之,归纳推理是由 部分到整体、由个别到 一般的推理 .

例如 ,由铜、铁、铝、金、银 等 金 属能导电 , 归纳出" 一切金属都能导电 " ; 由直角三角形、 等腰三角形、等边三角 形的内角和都是 1800 , 归纳出 " 所有三角形的内角和都 是1800 "? ? ? ? ? ? 这些都是归纳推理.在统计学中, 我们总是从 所研究的对象全体中抽 取一部分进行观测或 试验以取得信息, 从而对整体作出推断 , 这也 是归纳推理 .
应用归纳推理可以发现 新事实 , 获得新结论 . 下面是一个数学中的例 子.

an 例1 已知数列?an ?的第 1项a1 ? 1 , 且an?1 ? 1 ? an ?n ? 1,2,? ? ??, 试归纳出这个数列的通 项公式.
分析 数列的通项公式表示的 是数列?an ?的第n 项an与序号之间的对应关系 .为此,我们先根据已知 的递推公式 ,算出数列的前几项 . 1 1 ? ; 解 当n ? 1时, a1 ? 1; 当n ? 2时, a 2 ? 1? 1 2 1 1 1 1 3 2 ? . 当n ? 3 时, a3 ? ? ;当n ? 4时, a 4 ? 1 4 1 3 1? 1? 3 2

观察可得 , 数列的前 4项都等于相应序号的倒 1 数.由此猜想 , 这个数列的通项公式为 an ? . n
在例1 中, 我们通过归纳得到 了关于数列通项公式的 一个 猜想 .虽然 猜想是否正确还 有待严格的证明 , 但这个猜 想可以为我 们的研究 提供 一种方向.

除了归纳, 在人们的创造发明活动 中, 还常常应 用类比.例如, 据说我国古代工匠鲁班 类比带齿 的草叶和蝗虫的牙齿 , 发明了锯; 人们仿照鱼类 外形和它在水中的沉浮 原理, 发明了潜水艇 ;等 等, 事实上, 仿生学中许多发明的最 初构想都是 类比生物机制得到的 . 又如,为了回答" 火星上是否有性命 " 这个问题, 科学家们把火星与地球 作类比, 发现火星具有 一些与地球类似的特征 , 如火星也是围绕太阳 运行、绕轴自转的行星 , 也有大气层 , 在一年中 也有季节的变更 ,而且火星上大部分时间 的温 度适合地球上某些已知 生物的生存 , 等等.由此, 科学家猜想: 火星上也可能有性命存 在.

思考 科学家做出上述猜想的 推理过程是怎样的 ? 在提出上述猜想过程中 , 科学家对比了火星与地 球 之间的某些相似特征 ,然后从地球的一个已知 特征 (有性命存在 )出发, 猜测火星也可能具有这 个特征.

数学研究中也常常进行 这样的推理 .例如, 在研究 球体时, 我们会自然地联想到圆 .对于圆, 我们已经 有了比较充分的研究 , 定义了圆的一些概念 , 发现 了圆的一些性质 (表2 ? 1).由球与圆在形状上和概 念上都有类似的地方 , 即具有完美的对称性 , 都是 到定点的距离等于定长 的点的集合 ,因此我们推 测对于圆的特征 , 球也可能具有 .

道这样的 点, 切点到圆心的距离等于 圆的 平面是存 半径; 对于球 , 我们推测可能存在 在的,即球 这样的平面 ,与球交于一点 , 该点 的切平面 . 到球心的距离等于球的 半径 ?? ?;

???已经知

例如,圆有切线 , 切线与圆交于一

平面内不共线的 3 个点确定一个圆 ,由此猜 想空间中不共面的四个 点确定一个球 ;等等.
探究 类比圆的特征 , 填写表2 ? 1中球的相关 特征,并说说推理的过程 .

表 2 ?1 圆的概念和性质

球的类似概念和性质

圆的周长 圆的面积
圆心与弦?非直径? 中 点的连线垂直于弦 . 与圆心距离相等的两弦 相等; 与圆心距离不等的两弦 不等, 距圆心较近的弦较长 . 以点?x 0 , y 0 ?为圆心 , r为半 2 ?x ? x 0 ? 径的圆的方程为 2 ? ?y ? y 0 ? ? r 2 .

开普勒 ( Ke ? pler ,1571 ? 1630 ) 说 : " 我珍惜类 比胜过任何 别的东西 ,它 是我最可信 赖的老师 ,它 能揭示自然 界的秘密 ."

根据同样的思路, 我们还可以 定义并且研究4维球、 5维球直 至n维球.研究n维球时,总可以 类比?n ? 1?维球的情形 , 从中获 得启发和联想.

这种由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象的某 些已知特征, 推出另一类对象 也具有这些特征的推理称为 类比推理 ?简称类比?.简言之, 类比推理是由特殊到特殊的 推理.

在数学中 , 我们可以由已知解决的 问题 和已经获得的知识出发 , 通过类比而提 出新问题和作出新发现 .例如, 数学家波 利亚?Polya ?曾指出:" 类比是一个伟大的 引路人 , 求解立体几何问题往往 有赖于 平面几何中的类比问题 ." 数学中还有向 量与数的类比 , 无限与有限的类比 ,不等 与相等的类比 , 等等.

例 2 类比实数的加法和乘法 ,列出它们相似的 运算性质 .
分析 实数的加法和乘法都是 由两个数参与运算 , 都满足一定的运算律 , 都存在逆运算 ,而且"0" "1" 分 别在加法和乘法中占有 特殊的地位 .因此我们可以 从上述4个方面来类比这两种运 算.

解 ?1?两个实数经过加法运算 或乘法运算后 , 所 得的结果仍然是一个实 数. ?2?从运算律的角度考虑 , 加法和乘法都满足交换 律和结合律 , 即 a?b ?b?a ab ? ba ?a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c ? ?ab?c ? a?bc ?

?3?从逆运算角度考虑 ,二者都有逆运算 , 加法的逆
运算是减法 ,乘法的逆运算是除法 , 这就使得方程 a?x ?0 ax ? 1?a ? 0? 都有唯一解 1 x ? ?a x? a ?4?在加法中, 任意实数与 0相加都不改变大小 ;乘 法中的 1与加法中的 0类似, 即任意实数与 1的积都 等于原来的数 , 即 a?0 ?a a ?1 ? a
数学中还有许多集合具 有这4条运算性质 .法国天才的 ?Galois ?提出了 数学家伽罗瓦 " 群的概念 , 用来表示具有 这种运算性质的集合 .

运用类比推理常常先要 寻找合适的类 比对象 , 例如 , 在立体几何中 ,为了研究 四面体的性质 , 我们可在平面几何中寻 找一个研究过的对象 , 通过类比这个对 象的性质 , 获得四面体性质的猜想 以及 证明这些猜想的思路 .
探究 你认为平面几何中的哪 一类图形 可以作为四面体的类比 对象 ?

我们可以从不同的角度 出发确定类比对象 , 如围成 四面体的几何元素的数 目、 位置关系、 度量等. 基 本原则是要根据当前问 题的需要, 选择适当的类比 对象 .例如 , 从构成几何体的元素数 目看 ,四面体由 4个面围成,它是空间中由数目最少 的基本元素(平 面)围成的封闭几何体 ; 在平面内 ,两条直线不能围成 一个封闭的图形 ,而3条直线可以围成一个三 角形,即 三角形是平面内由数目 最少的基本元素 (直线)围成 的封闭图形 .从这个角度看 , 我们可以把三角形作为 四面体的类比对象 . 下面, 我们就来看一个通过类 比平面的几何中的结论 , 得到立体图形性质的猜 想的例子 .

例3 类比平面内直角三角形 的勾股定理 , 试给出 B 空间四面体性质的猜想 . 分 析 考虑 到直 角三角形的 c 两条边垂直, 所以我们可以选 a 取有3个面两两垂直的四面体 , A C b 作为直角三角形的类比 对象. ?1? 如图2.1 ? 1所示,与Rt ΔABC P 相对应 , 是四面体P ? DEF; S2 D S 3 与Rt ΔABC的两条边交成 1个 S1 F 直角相对应的 , 是四面体P ? E ?2? ABC的3个面在一个顶点处 图2.1 ? 1 构成3个直二面角 ;

与ΔRtABC的直角边边长a, b 相对应的, 是四面体P ? DEF 的面ΔDEF, ΔFPD, 和ΔDPE的 面积S1, S 2和S3 ;

B

c a
C

与ΔRtABC的斜边边长c相对 应的, 是四面体P ? DEF 的面 ΔPEF的面积S. 由此 ,我们可以类比ΔRtABC 中的勾股定理, 猜想出四面体 E P ? DEF四个面的面积的关系 .

b ?1?

A

P

S S3 D 2 S1

F

?2?
图2.1 ? 1

解 如图 2.1 ? 1 所示 , 我们知 道, 在 Rt ΔABC中,由勾股定 , 得 c ? a ?b .
2 2 2

B

c a
C

于是 ,类比直角三角形的勾股 定理, 在四面体 P ? DEF 中 ,我
2 2 们猜想 S2 ? S1 ? S2 ? S . 2 3成立

b ?1?

A

P

这个结论是正确的吗 ? 请同 学们自己证明 .

S S3 D 2 S1
E

F

?2?
图2.1 ? 1

我们把前面所进行的推 理过程概括为 :
从具体问 题出发

观察、分析、 比较、联想

归纳、 类比

提出 猜想

法国数学家拉普拉 斯(Laplace,1749 ? 1827)曾经说过 :" 即 使在数学里 , 发现真 理的主要工具也是 归纳和类比 ."

可见,归纳推理和类比推 理都是根据已有的事实 , 经过观察、分析、比较、 联想, 再进行归纳类比, 然 后提出猜想的推理, 我们 把他们统称为合情推理 (plausible reasoning).

通俗地说, 合情推理是指 " 合乎情理" 的推理.数学研究中 , 得到一个新结论 之前, 合情推理常常能帮助我 们猜想 和发现结论 ; 证明一个数学结论之前 , 合情推 理常常能为我们提供证 明思 路和方向 . 下面再来看一个例子 .

例 4 如图2.1 ? 2所示, 有三根针和套在一根针 上的若 干金属片 .按下列规则 , 把金属片从一根针上全 部移到 另一根针上 . 1 3 1.每次只能移动 2 1个金属片 ; 2.较大的金属片

不能放在较小的 图2.1? 2 金属片上面 . 试推测: 把n个金属片从 1号针移到 3号针, 最少需要 移动多少次? 分析 我们从移动 1 ,2,3,4个金属片的情形入手 , 探究其 中的规律性 , 进而归纳出移动n个金属片所需的次数 .

解 当n ? 1 时,只需把金属片从一号针 移到3号针, 用符号 ?13? 表示,共移动了1次. 当n ? 2 时,为了避免将较大的金属 片放在较小的 金属片上面 , 我们利用 2号针作为 "中间针 " , 移动的 顺序是 : ?1?将第1个金属片从 1号针移到 2号针;
?

?2?将第2个金属片从 1号针移到3 号针; ?3?将第1个金属片从 2号针移到3 号针; 用符号表示为 ?12? ?13? ?23?,共移动了3次.
当n ? 3 时,把上面两个金属片作为 一个整体 ,则归 结为n ? 2的情形, 移动的顺序是 :

?1?把上面两个金属片从 1号针移到2号针; ?2?把第3个金属片从 1号针移到3 号针; ?3?把上面两个金属片从 2号针移到3 号针. 其中?1?和?3?都需要借助中间针 .用符号表示为 ?13? ?12? ?32? ?13? ?21? ?23? ?13?,共移动了7次.
当n ? 4 时,把上面 3个金属片作为一个整体 , 移动的 顺序是 : ?1?把上面3个金属片从 1号针移到 2号针;

?2?把第4个金属片从 1号针移到3 号针; ?3?把上面3个金属片从 2号针移到3 号针.

用符号表示为 ?12? ?13? ?23? ?12? ?31? ?32? ?12? ?13? ?23? ?21? ?31? ?23? ?12? ?13? ?23?,共移动了 15 次. 至此, 我们得到依次移动 1 ,2,3,4 个金属片所需次数 构成的数列 1 ,3,7,15.

观察这个数列 ,可以发现其中蕴含着如 下规律 : 1 ? 21 ? 1 , 3 ? 22 ? 1 , 7 ? 23 ? 1 , 15 ? 24 ? 1.

由此我们猜想 : 若把n个金属片从 1号针移到 3号 针,最少需要移动 an次,则数列?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 n ? N? .

?

?

探究 把n个金属片从 1 号针移到 3号针,怎样移动 才能达到最少的移动次 数呢?

通过探究上述 n ? 1 ,2,3,4 时的移动方法 , 我们可以 归纳出对 n个金属片都适用的移动 方法.当移动 n 个金属片时 ,可分为下列三个步骤 : ?1?将上面 ?n ? 1?两个金属片从 1号针移到 2号针; ?2?将第n个金属片从 1号针移到3 号针;

?3?将上面 ?n ? 1?个金属片从 2号针移到3 号针.

这样就把移动 n个金属片的任务 , 转化为移动两次 ?n ? 1?个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务 . 而移动 ?n ? 1?个金属片需要移动两次 ?n ? 2?个金属 片和移动一次第 ?n ? 1? 个金属片, 移动 ?n ? 2?个金

需要移动两次 ?n ? 3?个金属片和移动一次第 ?n ? 2? 个金属片 ? ? ? ? ? ?如此继续 ,直到转化为移动 1个金属片 的情形.根据这个过程 ,可得递推公式 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1 ?n ? 1?. 从这个递推公式出发 ,可以证明上述通项公式 是 正确的. 一般来说 ,由合情推理所获得的结 论, 仅仅是一种 猜想,未必可靠 .

" 合情推理是冒险的、有 争议的和暂时的 ." 波利亚

例如,法国数学家费马观察到 2 ? 1 ? 5, 2 ? 1 ? 17, 2 ? 1 ? 257, 2 ? 1 ? 65 537都是质数,于是他用归纳推理提出 猜想 : 任何形如2 ? 1?? ? n ? N? 的数都是质 数 .这就是著名的费马猜想 .半个世纪 之后, 善于计算的欧拉?Euler ?发现, 第5 个费马数
2n 21 22 23 24

?

?

F5 ? 2 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417不是质数, 从而推翻了费马的猜想 .

25

???通常称为费马数 ,记作Fn .


赞助商链接
相关文章:
2.1合情推理与演绎推理 教学设计 教案
2.1合情推理与演绎推理 教学设计 教案 - 教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能: (1)结合数学实例,了解归纳推理的含义 (2)能利用归纳方法进行简单的推理, 2...
2.1.1合情推理(2)类比推理
2.1.1合情推理(2)类比推理 - 榆次区晋华中学 高二年级数学选修 1-2 学案 主备教师:卜晓林 验收组长:范丽 时间:18 年 3 月 14 日 学生姓名: 班级 课题...
2.1合情推理与演绎推理 教学设计 教案
2.1合情推理与演绎推理 教学设计 教案 - 教学准备 1. 教学目标 (1)知识与技能: 了解演绎推理的含义、基本方法;正确地运用演绎推理、进行简单的推理. (2)过程...
2.1.1合情推理讲学稿
2.1.1合情推理讲学稿 - 江门市新会陈瑞琪中学 数学科讲学稿 年级:高二 内容:2.1.1 合情推理 课型:新课 执笔人:陈鹏 学习目标 审核人: 游周平 、李碟 ...
...2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课...
创新设计2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理课时作业 - 2.1.1 明目标、知重点 合情推理 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行...
2017-2018学年高中数学推理与证明2.1.1合情推理学案(含...
2017-2018学年高中数学推理与证明2.1.1合情推理学案(含解析) - 2.1.1 合情推理 归纳推理 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME?7)的会徽图案,会徽的...
§2.1合情推理与演绎推理导学案 文
§2.1 合情推理与演绎推理 在日常生活中,我们经常会自觉或者不自觉地根据一个或几个已知事实(或假设)得出一 个判断.例如,当我们看到天空乌云密布、燕子低飞、...
2.1.1 合情推理55
2.1.1 合情推理55 - ※高二文科班数学课堂学习单 55※ 班级 姓名 2.1.1 合情推理一,学习目标: 1、 理解归纳推理与类比推理 2、能进行简单的推理 二,...
2.1 合情推理与演绎推理练习题
2.1 合情推理与演绎推理练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.1 合情推理与演绎推理一、选择题(共 10 小题;共 50 分) 1. 下面几种推理过程是演绎...
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理教学反思
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理教学反思 - 合情推理 教学反思 对于学生学习的的难点,我觉得主要有以下几点: 归纳推理: 主要在于观察、分析及在此基础...
更多相关文章: