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浙江省温州市乐清三中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷


浙江省温州市乐清三中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数 学试卷
一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|x>2},a= ,则() A.a?A B.{a}∈A C.a?A D.{a}?A 2.已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于() A.{1,2} B.{﹣1,0,3} C.{0,3} 3.设 a,b∈R 集合{a,1}={0,a+b},则 b﹣a=() A.1 B.﹣1 C. 2 4.下列各组函数中,表示同一函数的是() A. B.

D.{﹣1,0,1}

D.﹣2

C.

D.

5.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a 的范围是() A.a≥2 B.a≥1 C.a≤1 D.a≤2 6.下列函数中,值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.y=x +x+1
2

7.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]

2

8.已知函数 f(x)= A.0<m<4 B.0≤m≤4

的定义域是 R,则实数 m 的取值范围是() C.0≤m<4 D.m≥4

9.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在如 图中纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则如图中的四个图形中较符合该学生 走法的是()

A.

B.

C.

D.

10.若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣ A.(0,4] B. C.

2

,﹣4],则 m 的取值范围是() D.

二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.) 11.函数 f(x)= + 的定义域为.

12.设 A∪{﹣1,1}={0,﹣1,1},则满足条件的集合 A 共有个. 13.已知函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)的值等于.

14.设 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x=.

15.f(x)是定义在 R 上的增函数,则不等式 f(x)>f(2x﹣3)的解集是. 16.若函数 f(x)=4x ﹣kx﹣8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是. 17.已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 A∪B=A,则 m 的范围是.
2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.设集合 A={x|﹣1≤x<3}, (1)求 A∪B; .

(2)若集 C={x|x>a}满足 B∪C=C,求 a 的取值范围. 19.已知 f(x)= (1)利用函数单调性定义判断 f(x)在区间(﹣1,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)求出函数 f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值. 20.汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出,如图,各沿箭头方向(两方向垂直)匀速 前进,汽车和自行车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米. (汽车开到 C 地即 停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出定义域. (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少?

21.A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a﹣1)x+a ﹣1=0},如果 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 22.设函数 f(x)= x +x﹣4 (1)当 x∈[﹣2,2]时,求 f(x)的值域; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)求 f(x)在区间[﹣2,t](t>﹣2)上的最小值 g(t) .
2

2

2

2

浙江省温州市乐清三中 2014-2015 学年高一上学期 10 月 月考数学试卷
一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|x>2},a= ,则() A.a?A B.{a}∈A C.a?A D.{a}?A 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 先判断 a 是否符合集合 A 的元素属性,然后判断元素 a 与集合 A 的关系以及集合 {a}与集合 A 的关系.

解答: 解:集合 A={x|x>2},a= >2,则 a∈2,或{a}?A.故选:D. 点评: 本题考察集合与元素的关系,属于基础题目. 2.已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于() A.{1,2} B.{﹣1,0,3} C.{0,3}

D.{﹣1,0,1}

考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意先用列举法表示出 M,再由补集的运算求出 CMN. 解答: 解:由题意知,M={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1,0,1,2,3}, 由于 N={1,2},则 CMN={﹣1,0,3}, 故选 B. 点评: 本题考查了补集的运算性质应用,一定注意先求出全集,再去求出补集. 3.设 a,b∈R 集合{a,1}={0,a+b},则 b﹣a=() A.1 B.﹣1 C. 2

D.﹣2

考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 根据集合{a,1}={0,a+b},可得 a=0,a+b=1,解得即可. 解答: 解:∵集合{a,1}={0,a+b}, ∴a=0,a+b=1,解得 a=0,b=1. ∴b﹣a=1. 故选:A. 点评: 本题考查了集合的性质、相等,属于基础题. 4.下列各组函数中,表示同一函数的是() A. B.

C.

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 根据函数的三要素:定义域,对应法则,值域,进行判断,对 A、B、C、D 四个 选项进行一一判断; 解答: 解:A、∵ ,可知 f(x)的定义域为

{x|x≥1},g(x)的定义域为 {x|x≥1 或 x≤﹣1},定义域不一样,故两个函数不同,故 A 错误; B、f(x)的定义域为:{x|x≠1},g(x)的定义域为 x∈R,故 B 错误. C、∵g(x)= =x,g(x)=f(x) ,定义域一样,故 C 正确;

D、∵f(x)=|x|=

,g(x)=

,可知函数 f(x)的定义域为 R,函

数 g(x)的定义域为{x|x≥0},故 D 错误; 故选 C. 点评: 判断两个函数为同一函数, 不能光看函数的解析式, 还得看定义域, 此题比较简单. 5.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a 的范围是() A.a≥2 B.a≥1 C.a≤1 D.a≤2 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 根据两个集合间的包含关系,考查端点值的大小可得 2≤a. 解答: 解:∵集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},A?B,∴2≤a, 故选:A. 点评: 本题主要考查集合中参数的取值问题,集合间的包含关系,属于基础题. 6.下列函数中,值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.y=x +x+1
2

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 可判断 解答: 解: 由 且 可得函数的值域[0,+∞) ,故 A 不符 可得 y= >0,值域(0,+∞) ,故 B 合题意 ; y= >0; ; ,

,值域(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,故 C 不符 ,值域[ ) ,故 D 不符

故选 B 点评: 本题主要考查了函数值域的求解,要注意一些常见函数值域求解方法的总结积累 7.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]
2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题.

分析: 由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数 y=x +(2a ﹣1)x+1 图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=x +(2a﹣1)x+1 的图象是方向朝上,以直线 x= 抛物线 又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数, 故 2≤ 解得 a≤﹣ 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答本题的关键.
2

2

为对称轴的

8.已知函数 f(x)= A.0<m<4 B.0≤m≤4

的定义域是 R,则实数 m 的取值范围是() C.0≤m<4 D.m≥4

考点: 二次函数的性质;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 函数 的定义域是 R,等价于 mx +mx+1>0 的解集是 R,所
2

以 m=0 或

.由此能求出实数 m 的取值范围.

解答: 解:∵函数 ∴mx +mx+1>0 的解集是 R, ∴m=0 或 .
2

的定义域是 R,

解得 m=0 或 0<m<4. ∴0≤m<4. 故选 C. 点评: 本题考查二次函数的性质,是基础题.解题时要认真审题,注意函数的定义域的求 法. 9.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在如 图中纵轴表示离学校的距离, 横轴表示出发后的时间, 则如图中的四个图形中较符合该学生 走法的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 数形结合. 分析: 本题考查的是分段函数的图象判断问题. 在解答时应充分体会实际背景的含义, 根 据一开始就跑步, 等跑累了再走余下的路程, 即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化 快满,从而即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步, 所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程, 则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢. 所以适合的图象为: 故选 B.

点评: 本题考查的是分段函数的图象判断问题. 在解答的过程当中充分体现了应用问题的 特点,考查了对变化率知识的应用能力.值得同学们体会反思. 10.若函数 y=x ﹣3x﹣4 的定义域为[0,m],值域为[﹣ A.(0,4] B. C.
2

,﹣4],则 m 的取值范围是() D.

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的函数值 f( )=﹣ ,f(0)=﹣4,结合函数的图象即可求解

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x﹣4=(x﹣ ) ﹣ ∴f( )=﹣ ,又 f(0)=﹣4,

2

2



故由二次函数图象可知: m 的值最小为 ; 最大为 3. m 的取值范围是:[ ,3], 故选:C

点评: 本题考查了二次函数的性质, 特别是利用抛物线的对称特点进行解题, 属于基础题. 二.填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.) 11.函数 f(x)= + 的定义域为[﹣1,1)∪(1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,则需 1+x≥0 且 1﹣x≠0,解得即可得到定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则需 1+x≥0 且 1﹣x≠0, 即 x≥﹣1 且 x≠1. 则定义域为[﹣1,1)∪(1,+∞) . 故答案为:[﹣1,1)∪(1,+∞) . 点评: 本题考查函数的定义域的求法:偶次根式被开方式非负,分式分母不为 0,属于基 础题. 12.设 A∪{﹣1,1}={0,﹣1,1},则满足条件的集合 A 共有 4 个. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合.

分析: 直接利用并集运算得答案. 解答: 解:∵A∪{﹣1,1}={0,﹣1,1}, ∴A={0}或{0,﹣1}或{0,1}或{0,﹣1,1}. 故答案为:4. 点评: 本题考查了并集及其运算,是基础的计算题. 13.已知函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)的值等于 2. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的解析式化简求解即可. 解答: 解:函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查函数值的求法,解析式的应用,基本知识的考查.

14.设 f(x)=

,若 f(x)=3,则 x=



考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由分段函数和 f(x)=3,得到 最后求并. 或 或 ,再分别求解,

解答: 解:∵f(x)=

,f(x)=3,









∴x∈?或 x= 或 x∈?, ∴x= . 故答案为: . 点评: 本题考查分段函数及应用,注意各段的 x 的范围,以防出错,是一道基础题. 15.f(x)是定义在 R 上的增函数,则不等式 f(x)>f(2x﹣3)的解集是(﹣∞,3) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据函数的单调性,即可得到不等式 f(x)>f(2x﹣3)即为 x>2x﹣3,解得即 可.

解答: 解:f(x)是定义在 R 上的增函数, 则不等式 f(x)>f(2x﹣3) 即为 x>2x﹣3,解得,x<3. 则解集为(﹣∞,3) . 故答案为: (﹣∞,3) . 点评: 本题考查函数的单调性和运用:解不等式,考查运算能力,属于基础题. 16.若函数 f(x)=4x ﹣kx﹣8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是(﹣∞,40]∪[64, +∞) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据二次函数的性质知对称轴 x= , 在[5, 8]上是单调函数则对称轴不能在这个区 间上, ≤5,或 ≥8,解出不等式组求出并集即可. 解答: 解:根据二次函数的性质知对称轴 x= , 在[5,8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上 ∴ ≤5,或 ≥8,
2

得 k≤40,或 k≥64. 故答案为: (﹣∞,40]∪[64,+∞) . 点评: 本题考查二次函数的性质, 本题解题的关键是看出二次函数在一个区间上单调, 只 有对称轴不在这个区间上,本题是一个基础题. 17.已知集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 A∪B=A,则 m 的范围是(﹣∞, 3]. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 分两种情况考虑:当集合 B 不为空集时和集合 B 为空集时,分别解出不等式的解 集得到 m 的范围,综合讨论结果可得所有满足题意的 m 范围. 解答: 解:分两种情况考虑: (i)若 B 不为空集,可得 m+1≤2m﹣1, 解得:m≥2, ∵A∪B=A, ∴B?A, ∵A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m+1<x<2m﹣1}, ∴m+1≥﹣2,且 2m﹣1≤5, 解得:﹣3≤m≤3, 此时 m 的范围为 2≤m≤3; (ii)若 B 为空集,符合题意,可得 m+1>2m﹣1, 解得:m<2,

综上,实数 m 的范围为(﹣∞,3]. 点评: 此题考查了并集及其运算, 以及两集合的包含关系, 根据题意得出集合 B 为集合 A 的子集是解本题的关键. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.设集合 A={x|﹣1≤x<3}, .

(1)求 A∪B; (2)若集 C={x|x>a}满足 B∪C=C,求 a 的取值范围. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)求出集合 B 函数的定义域确定出 B,求出 A 与 B 的并集即可; (2)根据题意得到 B 是 C 的子集,根据 B 与 C 求出 a 的范围即可. 解答: 解: (1)∵y= 中,x﹣2≥0,即 x≥2,

∴B={x|x≥2}, ∵A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∪B={x|x≥﹣1}; (2)∵B∪C=C, ∴B?C, ∵B={x|x≥2},C={x|x>a}, ∴a<2. 点评: 此题考查了并集及其运算, 以及集合间的包含关系, 熟练掌握并集的定义是解本题 的关键.

19.已知 f(x)= (1)利用函数单调性定义判断 f(x)在区间(﹣1,+∞)上的单调性,并给出证明; (2)求出函数 f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)f(x)在区间(﹣1,+∞)上单调递减.运用单调性的定义证明,注意作差、 变形、定符号和下结论; (2)由(1)知:在 f(x)在区间[2,6]上单调递减,即可得到最值. 解答: 解: (1)f(x)在区间(﹣1,+∞)上单调递减. 理由如下:设﹣1<m<n,则 f(m)﹣f(n)= = ,

由于﹣1<m<n,则 n﹣m>0,m+1>0,n+1>0, 则 f(m)﹣f(n)>0,即有 f(m)>f(n) . 则 f(x)在区间(﹣1,+∞)上单调递减;

(2)由(1)知:在 f(x)在区间[2,6]上单调递减, 所以 f(x)最大值=f(2)= , f(x)最小值=f(6)= . 点评: 本题考查函数的单调性及证明,注意运用定义,考查单调性的运用:求最值,属于 基础题. 20.汽车和自行车分别从 A 地和 C 地同时开出,如图,各沿箭头方向(两方向垂直)匀速 前进,汽车和自行车的速度分别是 10 米/秒和 5 米/秒,已知 AC=100 米. (汽车开到 C 地即 停止) (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处,自行车到达 D 处,设 B、D 间距离为 y,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出定义域. (2)经过多少时间后,汽车和自行车之间的距离最短?最短距离是多少?

考点: 函数模型的选择与应用;函数最值的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处、自行车到达 D 处,利用勾股定理可得 2 2 2 2 BD =BC +CD =125[(t﹣8) +16],从而可求 y 关于 t 的函数关系式,及定义域; (2)利用配方法求函数的最值,可知当 t=8 秒时,汽车和自行车之间的距离最短. 解答: 解: (1)经过 t 秒后,汽车到达 B 处、自行车到达 D 处, 2 2 2 2 2 2 2 则 BD =BC +CD =(100﹣10t) +(5t) =125(t ﹣16t+80)=125[(t﹣8) +16]… 所以 定义域为:t∈[0,10]… (2)∵ ∴当 t=8 时, ,t∈[0,10] … …

答:经过 8 秒后,汽车和自行车之间的距离最短.最短距离是 米.… 点评: 本题考查的重点是解决实际问题, 解题的关键是利用勾股定理构建函数模型, 利用 配方法解决最值问题,属于中档题. 21.A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a﹣1)x+a ﹣1=0},如果 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题;探究型. 分析: 先化简集合 A,B,将条件 A∩B=B,转化 B?A,即 B 是 A 的子集,确定实数 a 的取值范围.
2 2 2

解答: 解:A═{x|x +4x=0}={0,﹣4}, ∵A∩B=B,∴B?A. 方程 x +2(a﹣1)x+a ﹣1=0 的判别式△ =4(a﹣1) ﹣4(a ﹣1)=﹣8a+8. ①若 B=?时,△ =﹣8a+8<0,得 a>1; ②若 B={0},则 ,解得 a=1;
2 2 2 2

2

③B={﹣4}时,则

,此时方程组无解.

④B={0,﹣4},

,此时 a 无解.

综上所述实数 a≥1. 点评: 本题主要考查利用集合关系求参数的应用, 注意分类讨论, 利用一元二次方程根的 个数和判别式之间的关系是解决本题的关键.
2

22.设函数 f(x)= x +x﹣4 (1)当 x∈[﹣2,2]时,求 f(x)的值域; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)求 f(x)在区间[﹣2,t](t>﹣2)上的最小值 g(t) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)易得 f(x)在 x∈[﹣2,﹣1]单调递减,在 x∈[﹣1,2]单调递增,可得最值, 可得答案; (2)要使 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,只需 2a<﹣1<a+1,解不等式可得; (3)分类讨论:当﹣2<t≤﹣1 时,f(x)min=f(t)= t +t﹣4,当 t>﹣1 时,f(x)min=f (﹣1)= ,综合可得.
2 2 2

解答: 解: (1)∵f(x)= x +x﹣4= (x+1) ﹣ , 其图象为开口向上的抛物线,且对称轴为 x=﹣1, ∴f(x)在 x∈[﹣2,﹣1]单调递减,在 x∈[﹣1,2]单调递增, ∴f(x)min=f(﹣1)= ∴f(x)值域为:[ ,f(x)max=f(2)=0, ,0];

(2)要使 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调, 只需 2a<﹣1<a+1,解得﹣2<a<

∴实数 a 的取值范围为(﹣2,

) ;

(3)当﹣2<t≤﹣1 时,f(x)在[﹣2,t]上单调递减, ∴f(x)min=f(t)= t +t﹣4, 当 t>﹣1 时,f(x)min=f(﹣1)= ,
2

∴g(t)=

点评: 本题考查二次函数的图象和性质, 涉及函数的单调性和分类讨论的思想, 属基础题.


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