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2017年高考数学(文)二轮复习:方法篇类型3《分类讨论思想_图文

类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 分类讨论思想的含义 分类讨论的思想是将 一个较复杂的数学问题分 解(或分割)成若干个基础 性问题,通过对基础性问 题的解答来实现解决原问 题的思想策略.对问题实 行分类与整合,分类标准 等于增加一个已知条件, 实现了有效增设,将大问 题(或综合性问题)分解为 小问题(或基础性问题), 优化解题思路,降低问题 难度. 1 分类讨论思想在解题中的应用 由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、 二次函数的定义、直线的倾斜角等. 由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数运算中 底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数,三角函数的 定义域,等比数列{an}的前n项和公式等. 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、 基本不等式等. 由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函 数图象、对数函数图象等. 由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于 参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数 值要运用不同的求解或证明方法等. 2 3 4 5 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 由数学概念引起的分类整合法 试题 审题指导 解题过程 方法1 方法2 方法3 [例 7] (2015· 高考陕西卷)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列, 5 其末项为 2 015,则该数列的首项为________ . 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 试题 审题指导 解题过程 方法1 方法2 方法3 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 +1 试题 =2an+ 1,所以 a1=5.(分类转化) 审题指导 解题过程 [通解] 若这组数有 2n+1 个,则 an+ 1=1 010,a2n+ 1=2 015,又 a1+a2n 若这组数有 2n 个,则 an+an+ 1=1 010×2=2 020,a2n=2 015,又 a1+ 方法1 a2n=an+an+ 1,所以 a1=5.(依次求解) 综上,可知该数列的首项为 5,故填 5.(汇总结论) [优解] 将数列的项数简单化. 当数列的项数为 3 时,则有 a2=1 010,a3=2 015,且 a1+a3=2a2,解得 a1=5.(分类转化) 当数列的项数为 4 时,则有 a2+a3=1 010×2,a4=2 015,且 a1+a4=a2 +a3,解得 a1=5.(依次求解) 综上可知该数列的首项为 5,故填 5.(汇总结论) 方法2 方法3 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 方法1 分类讨论是一种非常重要的数学思想,同时也是一种重要的 解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理 的方法.本题主要结合中位数的概念与性质,结合这组数的个 数的奇偶情况进行分类讨论. 方法2 方法3 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 试题 解析 方法1 x2 y2 7.(2016· 高考全国Ⅰ卷)已知方程 2 - =1 表示双曲线, m +n 3m2-n 且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是( A ) A.(-1,3) C.(0,3) B.(-1, 3) D.(0, 3) 方法2 方法3 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法1 根据双曲线的焦距,建立关于 n 的不等式组求解. ?m2+ n>0, 若双曲线的焦点在 x 轴上,则? 2 ?3m -n>0. ?1+ n>0, 又∵(m +n)+(3m -n)=4,∴m =1,∴? ?3- n>0, 2 2 2 试题 解析 方法1 方法2 方法3 ∴-1<n<3. 若双曲线的焦点在 y 轴上,则双曲线的标准方程为 ?n- 3m2>0, y2 x2 - =1,即? 2 n- 3m2 -m2- n ?-m - n>0, 即 n>3m2 且 n<-m2,此时 n 不存在.故选 A. 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法2 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法 试题 审题指导 解题过程 方法1 [例 8] (2016· 高考浙江卷)已知 a, b>0 且 a≠1, b≠1, 若 logab>1, 方法2 方法3 则( D ) A.(a-1)(b-1)<0 C.(b-1)(b-a)<0 B.(a-1)(a-b)>0 D.(b-1)(b-a)>0 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法2 试题 审题指导 解题过程 方法1 方法2 方法3 指数式对数式互化 ? 讨论a的大小 ? 作出判断 类型3 分类讨论思想?求解数学问题最简便的技巧 上页 下页 方法2 试题 审题指导 解题过程 ∵a, b>0 且 a≠1, b≠1, ∴当 a>1, 即 a-1>0 时, 不等式 logab>1 可化为 alogab>a1,即 b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0, 方法1 (b-1)(b-a)>0. 当 0<a<1,即 a-1<0 时,不等式 logab>1 可化为 alogab<a1,即 0<b<a<1,(指对互化讨论) 方法2 方法3 ∴(a- 1)(a-b)<0,(b- 1)(a-1)>0,(b-1)(b-a)>0.(分类讨论得 结论) 综上可知,选 D. 类

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