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运筹学第8章动态规划


第五章 动态规划

CH8 动态规划

Dynamic programming
? ? ? ? 五十年代贝尔曼( 五十年代贝尔曼(B. E. Bellman)为代表的研究成果 属于现代控制理论的一部分 以长远利益为目标的一系列决策 H 2 3 最优化原理, 最优化原理,可归结为一个递推公式
5 4 7 3 D 3 G 4 K F E 1 1 2 7 J I 3 4 2 5 2 N
2

8.1 动态规划的最优化原理及其算法 8.1.1 求解多阶段决策 过程的方法
例8.1.1 最短路问题
A 4 C

L

5 2 O 2 1 P B

M

8 4

决策树法
H E I C I F J A I F J D J G K

可以枚举出20条路径,其中最短的路径长度为 可以枚举出 条路径,其中最短的路径长度为16 条路径
3

例8.1.1 最短路问题
? 表现为明显的阶段性 ? 一条从A 到B 的最短路径中的任何 一段都是最短的
设Si 表示由 点到 点的最短路 i B 径的长度
4 C 12 5 4 E 9 2 1 1 I 8 H 10 3 3 4 L 7 5 2 O 2 2

? dAC + SC ? 则有 SA = min? A F M B ?d + S ? ? 7 2 2 8 1 D? ? AD 16 8 4 0 3 ?因此我们可以从 向回搜索最短路 因此我们可以从B向回搜索最短路 因此我们可以从 D J P 7 5 4 14 6 1 ?标记法 标记法 3 G N ?如何找出最短路径 如何找出最短路径 2

最优性原理 最优策略的一部分也是最优的” “最优策略的一部分也是最优的”
每步的决策只与相邻阶段状态有关, 每步的决策只与相邻阶段状态有关, 而与如何达到这一状态无关
6 5

11

4

5

K 7 3 2 1
4

4

阶段

8.1.2 动态规划的基本概念及递推公式
? 状态(每阶段初始的出发点) –最短路问题中,各个节点就是状态 –生产库存问题中,库存量是状态 –物资分配问题中,剩余的物资量是状态 ? 控制变量(决策变量) –最短路问题中,走哪条路 –生产库存问题中,各阶段的产品生产量 –物资分配问题中,分配给每个地区的物资量 ? 阶段的编号与递推的方向 –一般采用反向递推,所以阶段的编号也是逆向的 –当然也可以正向递推
5

动态规划的步骤
1、确定问题的阶段和编号 2、确定状态变量 –用 Sk 表示第 k 阶段的状态变量及其值 3、确定决策变量 –用 xk 表示第 k 阶段的决策变量,并以 xk*表示该阶 段的最优决策 4、状态转移方程 sk-1= g(sk, xk) 反向编号sk+1= g(sk, xk) 正向编号 5、直接效果 –直接一步转移的效果 dk(sk, xk) 6、总效果函数:指某阶段某状态下到终端状态的总效果,它 是一个递推公式
? fk (sk , xk ) = hk (dk (sk , xk ), fk?1(sk?1, xk?1 ))
6

动态规划的步骤
–hk 是一般表达形式,求当前阶段当前状态下的阶段 最优总效果
(1) 如最短路问题,是累加形式,此时有

终端的边际效果一般为 f0(s0, x0)=0 (2)如串联系统可靠性问题,是连乘形式,此时有 如串联系统可靠性问题, 如串联系统可靠性问题 是连乘形式,

终端的边际效果一般为 f0(s0,x0)=1 从第1阶段开始,利用边际效果和边界条件,可以递推到最后阶段. 从第1阶段开始,利用边际效果和边界条件,可以递推到最后阶段.
7

8.2 动态规划模型举例
8.2.1 产品生产计划安排问题
例1 某工厂生产某种产品的月生产能力为10件,已知今后四个月的产 品成本及销售量如表所示。如果本月产量超过销售量时,可以存储起来 备以后各月销售,一件产品的月存储费为2元,试安排月生产计划并做到: 1、保证满足每月的销售量,并规定计划期初和期末库存为零; 2、在生产能力允许范围内,安排每月生产量计划使产品总成本(即生产 费用加存储费)最低。

8

例1 产品生产计划安排
? 设xk为第k阶段生产量,则有直接成本 dk(sk, xk)= ck xk+2sk ? 状态转移公式为

sk-1= sk+ xk- yk
? 总成本递推公式

第一阶段: 即第 月份) 第一阶段:(即第 月份 即第4月份 由边界条件和状态转移方程 s0=s1+x1?y1= s1+x1?6=0 得 s1+x1= 6 或 x1= 6?s1≥0 ? 估计第一阶段,即第 月份初库存的可能状态: 月份初库存的可能状态 估计第一阶段,即第4月份初库存的可能状态: 第一阶段 0≤ s1 ≤ 30?6?7?12=5,所以, s1 ∈[0,5] ≤ ? ? ? ,所以,
9

第一阶段最优决策表
s1 0 1 2 3 4 5 x
? 1

f1(s1, x ) 456 382 308 234 160 86

? 1

第二阶段:最大可能库存量 7 件
由状态转移方程: ≥ 由状态转移方程: s1=s2+x2?12≥0 及 x2≤10,可知 s2∈[2,7],min x2=5 , , 由阶段效果递推公式有: 由阶段效果递推公式有: f2(2,10)=d2(2,10)+f1*(0,6) =2×2+80×10+456=1260 × × 得第二阶段最优决策表, 得第二阶段最优决策表,如下 阶段最优决策表

6 5 4 3 2 1

5 6 7 s2 x2 2 3 4 5 1026* 6 948* 954 7 870* 876 882 s1=0 s1=1 s1=2

8

9 1182* 1110 1038 966 894 s1=4

10

x2* f2(s2,x2*) 1260 1182 1104 1026 948 870
10

1104* 1032 960 888 s1=3

1260* 10 1188 9 1116 8 1044 7 972 6 900 5 s1=5

第二阶段最优决策表
s2 2 3 4 5 6 7 x2* f2(s2,x2*) 10 1260 9 1182 8 1104 7 1026 6 948 5 870
第三阶段:最大可能库存量 4 件 由状态转移方程: 由状态转移方程: s2=s3+x3?7≥2 及 10, 0,4], x3≤10,可知 s3∈[0,4],min x3=5
由阶段效果递推公式有: 由阶段效果递推公式有: f3(1,10)=d3(1,10)+f2*(4,8) =2×1+72 72× =2×1+72×10+1104=1826 得第三阶段最优决策表, 得第三阶段最优决策表,如下 阶段最优决策表

5 6 7 8 s3 x3 0 1 1838 2 1768 1762 3 1698 1692 1686 4 1628 1622 1616 1610 s2=2 s2=3 s2=4 s2=5

9 1908 1832 1756 1680 1604 s2=6

10 1902* 1826* 1750* 1674* 1598* s2=7

x3* f3(s3,x3*) 10 10 10 10 10 1902 1826 1750 1674 1598
11

第三阶段最优决策表

第四阶段:初始库存量 s4=0 由状态转移方程: 由状态转移方程: s3=s4+x4?6≥0 由阶段效果递推公式有: 可知 x4≥6,由阶段效果递推公式有: f4(0,6)=d4(0,6)+f3*(0,10)
=70×6+1902=2322 70× 得第四阶段最优决策表, 得第四阶段最优决策表,如下 阶段最优决策表

回 溯 得 此 表
12

例2 生产–库存管理问题(连续变量) 生产–库存管理问题(连续变量)
设某厂计划全年生产某种产品A 设某厂计划全年生产某种产品A。其四个季度的订货量分别 600公斤 700公斤 500公斤和1200公斤 已知生产产品A 公斤, 公斤, 公斤和1200公斤。 为600公斤,700公斤,500公斤和1200公斤。已知生产产品A 的生产费用与产品的平方成正比,系数为0.005 0.005。 的生产费用与产品的平方成正比,系数为0.005。厂内有仓 库可存放产品,存储费为每公斤每季度1 库可存放产品,存储费为每公斤每季度1元。求最佳的生产 安排使年总成本最小。 安排使年总成本最小。 四个季度为四个阶段,采用阶段编号与季度顺序一致。 解:四个季度为四个阶段,采用阶段编号与季度顺序一致。设 sk 为第k季初的库存量,则边界条件为 s1=s5=0;设 xk 为第 季初的库存量, =0;设 k季的生产量,设 yk 为第k季的订货量;sk ,xk ,yk 都取 季的生产 生产量 季的订货量; 仍采用反向递推, 实数, 实数,状态转移方程为 sk+1=sk+xk – yk仍采用反向递推, 但注意阶段编号是正向的 目标函数为

f1( x) = min ∑(0.005xi2 + si )
x1 , x2 , x3 , x4 i=1
13

4

例2 生产–库存管理问题(连续变量)
第一步:(第四季度) 总效果 f4(s4,x4)=0.005 x42+s4 由边界条件有: s5= s4 + x4 – y4=0,解得:x4*=1200 – s4 将x4*代入 f4(s4,x4)得: f4*(s4)=0.005(1200 – s4)2+s4=7200 –11 s4+0.005 s42 第二步:(第三、四季度) 总效果 f3(s3,x3)=0.005 x32+s3+ f4*(s4) 将 s4= s3 + x3 – 500 代入 f3(s3,x3) 得:

14

第三步:(第二、三、四季度) 总效果 f2(s2,x2)=0.005 x22+s2+ f3*(s3) 将 s3= s2 + x2 ?700 代入 f2(s2,x2) 得:

注意:阶段最优总效果仅是当前状态的函数,与其后的 注意 决策无关

15

第四步:(第一、二、三、四季度) 总效果 f1(s1,x1)=0.005 x12+s1+ f2*(s2) 将 s2= s1 + x1 – 600= x1 – 600 代入 f1(s1,x1) 得:

由此回溯:得最优生产 库存方案 由此回溯:得最优生产–库存方案 x1*=600,s2*=0; x2*=700,s3*=0; x3*=800,s4*=300; , ; , ; , ; x4*=900。 。
16

8.2.2 资源分配问题
例3 某公司有9个推销员在全国三个不同市场推销货物,这三个市场里 某公司有9个推销员在全国三个不同市场推销货物, 推销人员数与收益的关系如下表,试作出使总收益最大的分配方案。 推销人员数与收益的关系如下表,试作出使总收益最大的分配方案。

解:设分配人员的顺序为市场1, 2, 3,采用反向阶段编号。 设 设分配人员的顺序为市场 ,采用反向阶段编号。 sk 为第 阶段尚未分配的人员数,边界条件为 s3=9. 设 xk 为第 为第k阶段尚未分配的人员数 阶段尚未分配的人员数, 为第k 阶段分配的推销人员数;仍采用反向递推, 阶段分配的推销人员数;仍采用反向递推, 状态转移方程为 sk–1=sk – xk 目标函数为: 目标函数为

f3 (x) = max ∑d(xi )
x1,x2 ,x3 i=1
17

3

例3

第一阶段:给第三市场分配

s1 有0~9种可能,第一阶段最优决策表如下: 种可能, 种可能 第一阶段最优决策表如下:

为什么与例 的第一阶段的表有差别? 为什么与例1 的第一阶段的表有差别? 因为不存在边界条件 s0=0
18

例3

第二阶段:给第二市场分配

s2 有0~9种可能,第二阶段最优决策表如下: 种可能, 种可能 第二阶段最优决策表如下:

19

例3

第三阶段:给第一市场分配

由边界条件 s3=9,第三阶段最优决策表如下 ,第三阶段最优决策表如下:
x3 s3 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x3* f3* 211 213 218 217 215 208 206 202 201 200 2 218

得决策过程:x3*=2, x2*=0, x1*=7, f3*=218 得决策过程: 市场1 市场3 即 市场 分配 2人,市场 不分配 ,市场 分配 7人 人 市场2 人 最优解与分配的顺序有关吗? 最优解与分配的顺序有关吗?
20

8.2.2 资源分配问题
项目选择问题: 例4 项目选择问题:某工厂预计明年有 A,B,C,D四个新建项目 四个新建项目, A,B,C,D四个新建项目,每个项目的投 资额wk及其投资后的收益vk如右表所 投资总额为30 30万 示。投资总额为30万,问如何选择项 目才能使总收益最大。 目才能使总收益最大。 ? 上述问题的静态规划模型如下: 上述问题的静态规划模型如下:
max f ( x) = ∑vk xk
k

? 这是一类0-1规划问题 这是一类0 ? 该问题是经典的旅行背包问题 (Knapsack) ? 该问题是 NP-complete NP21

? ∑wk xk ≤ 30 k ? ? ?0 k 项未入选 ?xk = ? ?1 k 项入选 ?

例4 项目选择问题
解:设项目选择的顺序为A, B, C, D; 设项目选择的顺序为A, A项目的选择过程 1、阶段 k=1, 2, 3, 4 分别对应 D, C, B, A项目的选择过程 2、第 k 阶段的状态 sk,代表第 k 阶段初尚未分配的投资额 3、第 k 阶段的决策变量 xk,,代表第 k 阶段分配的投资额 4、状态转移方程为 sk–1= sk– wk xk 1 5、直接效益 dk(sk ,xk)= vk 或 0 6、总效益递推公式

该问题的难点在于各阶段的状态的确定,当阶段增加时, 该问题的难点在于各阶段的状态的确定,当阶段增加时,状态 数成指数增长。下面利用决策树来确定各阶段的可能状态。 数成指数增长。下面利用决策树来确定各阶段的可能状态。
22

23

例4 第一阶段(项目D)的选择过程 第一阶段(项目D)的选择过程 ? s1<8 时,x1只能取0;w1=8, v1=5
s1 3 5 8 15 18 20 30 x1 d1(s1, x1) s0= s1-w1x1 f0(s0, x0*) f1(s1, x1*) 0 0 3 0 0 ? ? ? 0 0 5 0 0 ? ? ? 0 0 8 0 1 5 0 0 5 0 0 15 0 1 5 7 0 5 0 0 18 0 1 5 10 0 5 0 0 20 0 1 5 12 0 5 0 0 30 0 1 5 22 0 5 条件 x4=x2=1 x3=0 x4=x3=1 x2=0 x3=x2=1 x4=0 x3=x2=0 x4=1 x4=x3=0 x2=1 x4=x2=0 x3=1 x4=x3 =x2=0

24

例4 第二阶段(项目C)的选择过程 第二阶段(项目C)的选择过程

25

s3 15 30

x3 0 1 0 1

w3=10 d3(s3, x3) s2= s3-w3x3 f2(s2, x2*) f3(s3, x3*) 0 15 9 9* 8 5 0 8 0 30 14 14 8 20 14 22*
w4=15 d4(s4, x4) s3= s4-w4x4 f3(s3, x3*) f4(s4, x4*) 0 30 22 22* 12 15 9 21

v3=8 条件 x4=1 x4=0

第四阶段(项目 ) 第四阶段(项目A)的选择过程
s4 30 x4 0 1 v4=12 条件

项目 A B C D

决策 x4=0 x3=1 x2=1 x1=1 总额

投资额 0 10 12 8 30

直接收益 vk 0 8 9 5 22

26

8.2.3 串联系统可靠性问题
例5 有 A, B, C 三部机器串联生产某种产品,由于工艺技术问题,产品常 三部机器串联生产某种产品,由于工艺技术问题, 出现次品。统计结果表明, 出现次品。统计结果表明,机器 A, B, C 产生次品的概率分别为 而产品必须经过三部机器顺序加工才能完成。 pA=30%, PB=40%, PC=20%, 而产品必须经过三部机器顺序加工才能完成。 为了降低产品的次品率, 万元进行技术改造, 为了降低产品的次品率,决定拨款 5 万元进行技术改造,以便最大限度 地提高产品的成品率指标。现提出如下四种改进方案: 地提高产品的成品率指标。现提出如下四种改进方案: 方案1: 不拨款,机器保持原状; 方案1: 不拨款,机器保持原状; 方案2: 加装监视设备, 方案2: 加装监视设备,每部机器需款 1 万元; 万元; 方案3: 加装设备, 方案3: 加装设备,每部机器需款 2 万元; 万元; 方案4: 同时加装监视及控制设备, 方案4: 同时加装监视及控制设备,每部机器需款 3 万元; 万元; 采用各方案后,各部机器的次品率如下表。 采用各方案后,各部机器的次品率如下表。

不拨款 拨款 1 万元 拨款 2 万元 拨款 3 万元

A 30% 20% 10% 5%

B 40% 30% 20% 10%

C 20% 10% 10% 6%

27

解:为三台机器分配改造拨款,设拨款顺序为A, B, C,阶段号 为三台机器分配改造拨款,设拨款顺序为 , 拨款的效果. 反向编号为 k,即第一阶段计算给机器 C 拨款的效果.设 sk , 阶段剩余款, 为第 k 阶段剩余款,则边界条件为 s3=5;设 xk 为第 k 阶 ; 段的拨款额 拨款额; 段的拨款额;状态转移方程为 sk-1=sk-xk; 目标函数为 max R=(1-PA)(1-PB)(1-PC) 仍采用反向递推. 仍采用反向递推. 第一阶段 :对机器 C 拨款的效果 R1(s1,x1)=d1(s1,x1)× R0(s0,x0)= d1(s1,x1) ×
x1 s1 0 1 2 3 4 5 0 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 1 2 3 R1 (s1, x1*) 0 0.8 1 0.9 1, 2 0.9 3 0.94 3 0.94 3 0.94 x1*

0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

0.9 0.9 0.9 0.9

0.94 0.94 0.94

28

第二阶段最优决策表
x1 x1* s1 0 1 2 3 4 5 R1 (s1, x1*) 0 0.8 1 0.9 1, 2 0.9 3 0.94 3 0.94 3 0.94
0 0.54 0.564 0.564 0.564 1 0.63 0.63 0.658 0.658

第二阶段 :对机器 B, C 拨款的效 果 万元, 由于机器 A 最多只需 3 万元, 故 s2 ≥ 2 递推公式: 递推公式:

R2(s2,x2)=d2(s2,x2)× R1(s1,x1*) (3,2)× 例:R2(3,2)=d2(3,2)× (1,1)=(1R1(1,1)=(1-0.2) ×0.9=0.72
得第二阶段最优决策表

x2 s2 2 3 4 5

2

3

x2* 2 2,3 3 3

0.64 0.72 0.72 0.72 0.81 0.752 0.81

R2 (s2, x2*) 0.64 0.72 0.81 0.81

29

第二阶段最优决策表
x2 x2* s2 2 3 4 5 R2 (s2, x2*) 2 0.64 2,3 0.72 3 0.81 3 0.81

第三阶段 :对机器 A, B, C 拨款的效 边界条件: 果.边界条件:s3 = 5; 递推公式: 递推公式: R3(s3,x3)=d3(s3,x3)× R3(s3,x3)=d3(s3,x3)× R2(s2,x2*) R3(5,3)=d3(5,3)× 例:R3(5,3)=d3(5,3)× R2(2,2)=(1R2(2,2)=(1-0.05) ×0.64=0.608 得第三阶段最优决策表

0 1 2 3 s3 x3 x3* R3(s3, x3*) 5 0.567 0.648 0.648 0.608 1,2 0.648
有多组最优解。 回溯 :有多组最优解。 I:x3=1, x2=3, x1=1, II: II:x3=2, x2=2, x1=1, III: x3=2, x2=3, x1=0, R3=0.8 ×0.9 ×0.9=0.648 0.9×0.8× R3= 0.9×0.8×0.9=0.648 0.9×0.9× R3= 0.9×0.9×0.8 =0.648
30

例6 用动态规划解非线性规划 m f ( x) = x1 + x2 + x3 ax

?x1 + x2 + x3 = 27 ? ? x1, x2, x3 ≥ 0
这是一个资源分配问题。设分配次序为x 阶段正向编号, 解: 这是一个资源分配问题。设分配次序为 1, x2, x3,阶段正向编号,但 逆向递推, 逆向递推,由约束条件可得边界条件 s1=27, s4=0。 。 第三阶段:( :(给 分配) 第三阶段:(给 x3分配) f (x ) = x
3 3 3

由边界条件和状态转移方程有: 由边界条件和状态转移方程有:s4=s3?x3=0, ,

f3* (s3 ) =

s3

第二阶段:(给 分配) 第二阶段:(给 x2分配) f2 (s2 , x2 ) = x2 + f3* (s3 ) :( 由状态转移方程有: 代入上式得, 由状态转移方程有:s3=s2?x2,代入上式得,

f2 (s2 , x2 ) = x2 + s2 ? x2 ?f2 ?x2 = 1 2 x2 ? 1 2 s2 ? x2 = 0 , 解得 x2 = s2 2,
?

f2? (s2 ) = 2s2

31

第一阶段:(给 x1分配)
f1(s1, x1 ) = x1 + f2* (s2 ) = x1 + 2s2
由状态转移方程有: 代入上式得, 由状态转移方程有:s2=s1?x1=27 ?x1 ,代入上式得,

f1(s1, x1 ) = x1 + 2(27 ? x1 ) ?f1 ?x1 = 1 2 x1 ? 1 54 ? 2x1 = 0 , 解得 , 回溯得 x1 = 9,
?

f1? (s1 ) = 9

? ? ? x1 = x2 = x3 = 9

32

动态规划总结
? 二大类:生产-库存问题;资源分配问题
. 一 生产- 库存问题 状态转移公式 sk?1 = sk + xk ? yk ?离散型 状态和控制变量? ?连续型 . 二 资源分配问题 状态转移公式 sk?1 = sk ? xk 累加 ? 目标函数 ? 累乘 ? ?离散型 状态和控制变量? ?连续型
33


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