当前位置:首页 >> 数学 >>

2015高中数学 第二章 数列学案 新人教A版必修5


2015 高中数学 第二章 数列学案 新人教 A 版必修 5
_2.1 数列的概念与简单表示法

第一课时 数列的概念与通项公式

数列的概念 [提出问题] 观察下列示例,回答后面问题. 1 1 1 1 1 (1)正整数 1,2,3,4,5,6 的倒数依次是 1, , , , , . 2 3 4 5 6 (2)-2 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂、4 次幂依次是-2,4,-8,16. (3)人们在 1740 年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次,那么从发 现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为:1740,1823,1906,1989,2072,?. (4)“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日取其一半,永 1 1 1 1 远也取不完.如果将“一尺之棰”视为 1 份,那么每日剩下的部分依次分为: , , , , 2 4 8 16 1 ,?. 32 问题:观察上面 4 个例子,它们都涉及到了一些数,这些数的呈现有什么特点? 提示:按照一定的顺序排列. [导入新知] 数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列. (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.a1 称为数列{an}的第 1 项(或称为首项),

a2 称为第 2 项,?,an 称为第 n 项.
(3)数列的表示:数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,?,an?简记为{an}. [化解疑难] 1.数列的定义中要把握两个关键词:“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列 的元素是“数”,并且这些数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置. 2.项 an 与序号 n 是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在 数列中的位次. 3.{an}与 an 是不同概念:{an}表示数列 a1,a2,a3,?,an,?;而 an 表示数列{an}中 的第 n 项.

1

数列的分类 [提出问题] 问题:观察上面 4 个例子中对应的数列,它们的项数分别是多少?这些数列中从第 2 项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的? 提示:数列 1 中有 6 项,数列 2 中有 4 项,数列 3、4 有无穷多项;数列 1 中每一项都 小于它的前一项,数列 2 中的项大小不确定,数列 3 中每一项都大于它的前一项,数列 4 中每一项都小于它的前一项. [导入新知] 分类标准 按项的个 数 名称 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项的变 化趋势 递减数列 常数列 摆动数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列

[化解疑难] 在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出.例如,数列 1,2,3,4,?,100.表示有穷 数列.但是如果把数列写成 1,2,3,4,?,100,?就表示无穷数列. 数列的通项公式 [提出问题] 问题:仍然观察上面 4 个例子,你能否发现这些数列中,每一项与这一项的项数之间存 在着某种关系?这种关系是否可以表示为一个公式? 提示:每一项与这一项的项数间存在一定的关系,有些可用公式表示,有些不能用公式 表示. [导入新知] 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么就把这个公式 叫做这个数列的通项公式. [化解疑难] 1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N 或它的有限子集{1,2,3,?,n}为定义 域的函数解析式. 2.同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.
2
*

数列的概念及分类

[例 1] 已知下列数列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,?; 1 2 n-1 (3)0, , ,?, ,?; 2 3 n (4)1,0.2,0.2 0.2 ,?; (5)0,-1,0,?,cos π ,?. 2 其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是 ________,常数列是________,摆动数列是________(填序号). [解析] (1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷摆动数列; (3)是无穷递增数列(因为 (4)是无穷递减数列; (5)是无穷摆动数列. [答案] (1) (2)(3)(4)(5) [类题通法] 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列, 只需考察数列是有限项还是无限项. 若数列 含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.而判断数列的单调性,则需要从第 2 项起,观 察每一项与它的前一项的大小关系,若满足 an<an+1,则是递增数列;若满足 an>an+1,则是 递减数列;若满足 an=an+1,则是常数列;若 an 与 an+1 的大小不确定时,则是摆动数列. [活学活用] 1.给出下列数列: (1)2006~2013 年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列 82,93,105,119,129,130,132,135. (2)无穷多个 3构成数列. 3, 3, 3, 3,?. (3)-2 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,4 次幂,??构成数列-2,4,-8,16,-32,?. (4) 2精确到 1,0.1,0.01,0.001,?的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
3
2, 3

n

n-1 1 =1- ); n n

(3) (4) (1) (2)(5)

1,1.4,1.41,1.414,?; 2,1.5,1.42,1.415,?. 指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? 解:有穷数列有:82,93,105,119,129,130,132,135; 无穷数列有: 3, 3, 3, 3,?; -2,4,-8,16,-32,?; 1,1.4,1.41,1.414,?; 2,1.5,1.42,1.415,?. 递增数列有:82,93,105,119,129,130,132,135; 1,1.4,1.41,1.414,?. 递减数列有:2,1.5,1.42,1.415,?. 常数列有: 3, 3, 3, 3,?. 摆动数列有:-2,4,-8,16,-32,?. 由数列的前几项求通项公式 [例 2] 写出下列数列的一个通项公式: 1 9 25 (1) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (2)9,99,999,9 999,?; 2 -1 3 -2 4 -3 5 -4 (3) , , , ,?; 1 3 5 7 1 1 1 1 (4)- , ,- , ,?; 1?2 2?3 3?4 4?5 1 4 [解] (1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察: , , 2 2 9 16 25 n * , , ,?,所以,它的一个通项公式为 an= (n∈N ) 2 2 2 2 (2)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,?此数列的通项公式为 10 ,可得原数列 的通项公式为 an=10 -1. (3)数列中每一项由三部分组成,分母是从 1 开始的奇数列,可用 2n-1 表示;分子的 前一部分是从 2 开始的自然数的平方,可用(n+1) 表示,分子的后一部分是减去一个自然 ?n+1? -n * 数,可用 n 表示,综上,原数列的通项公式为 an= (n∈N ). 2n-1 (4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶 数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1) [类题通法]
4
n
2 2 2 2 2 2 2

n

n

1 . n?n+1?

此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数 列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具体方法为:①分式 中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值 特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的 关系. [活学活用] 2.写出下列数列的一个通项公式: (1)0,3,8,15,24,?; (2)1,-3,5,-7,9,?; 1 2 3 4 (3)1 ,2 ,3 ,4 ,?; 2 3 4 5 (4)1,11,111,1 111,?. 解:(1)观察数列中的数,可以看到 0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25- 1,?,所以它的一个通项公式是 an=n -1. (2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,?,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正, 偶数项为负,所以它的一个通项公式为 an=(-1)
n+1
2

(2n-1).

(3)此数列的整数部分 1,2,3,4,?恰好是序号 n,分数部分与序号 n 的关系为 所求的数列的一个通项公式为 an=n+

n

n+1

,故

n +2n = . n+1 n+1

n

2

1 1 1 1 (4)原数列的各项可变为 ?9, ?99, ?999, ?9 999,?,易知数列 9,99,999,9 9 9 9 9 1 n n 999,?的一个通项公式为 an=10 -1.所以原数列的一个通项公式为 an= (10 -1). 9 通项公式的简单应用 [例 3] 已知数列{an}的通项公式是 an= (1)写出该数列的第 4 项和第 7 项; 9 1 (2)试判断 和 是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由. 10 10 [解] (1)由通项公式 an=
2 2

n . n2+1

2

n2

n2+1

可得

a4=

4 16 7 49 = ,a7= 2 = . 4 +1 17 7 +1 50
2

(2)令

n2
2

n +1 10

9 2 = ,得 n =9,

所以 n=3(n=-3 舍去),
5

故 令

9 是该数列中的项,并且是第 3 项; 10

n2
2

n +1 10

1 1 1 2 = ,得 n = ,所以 n=± , 9 3

1 由于± 都不是正整数, 3 1 因此 不是数列中的项. 10 [类题通法] 1.数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系,只要用序号代替公 式中的 n,就可以求出数列的相应项. 2.判断某数值是否为该数列的项,需先假定它是数列中的项,列方程求解.若方程的 解为正整数, 则该数值是数列的项; 若方程无解或解不是正整数, 则该数值不是此数列的项. [活学活用] 3.已知数列{an}的通项公式为 an=q ,且 a4-a2=72. (1)求实数 q 的值; (2)判断-81 是否为此数列中的项. 解:(1)由题意知 q -q =72? q =9 或 q =-8(舍去),∴q=±3. (2)当 q=3 时,an=3 ,显然-81 不是此数列中的项; 当 q=-3 时,an=(-3) ,令(-3) =-81=-3 ,也无解. ∴-81 不是此数列中的项.
n n
4 2 4 2 2

n

n

2.牢记数列中n∈N

*

[典例] 已知数列{an}的通项公式为 an=n -5n+4. 求 n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 5 ? 5?2 9 2 [解]∵an=n -5n+4=?n- ? - ,可知对称轴方程为 n= =2.5. 2 ? 2? 4 又 n∈N ,故 n=2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=2 -5?2+4=-2. [易错防范] 1.忽视了借助二次函数求最值,而认为当 n=1 时取得最小值.
6
* 2

2

5 ? 5?2 9 * 2.由 an=?n- ? - 知 n= 取最小值,忽视 n∈N . 2 ? 2? 4 3 .在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是 N ( 或它的有限子集 {1,2,3,?,n})这一约束条件. [成功破障] 求数列{-2n +9n+3}中的最大项.
2 *

? 9?2 105 2 解:已知-2n +9n+3=-2?n- ? + ,由于 n 为正整数,故当 n=2 时,取得最大 8 ? 4?
值为 13,所以数列{-2n +9n+3}中的最大项为第二项,为 13.
2

[随堂即时演练] 1.将正整数的前 5 个数排列如下: ①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有( A.① C.①②③ ) B.①② D.①②③④

解析:选 D 数列是按“一定顺序”排列着的一列数.因此选 D.注意此题易错选 B. 1 1 n-2 2.在数列-1,0, , ,?, 2 ,?中,0.08 是它的( 9 8 n A.第 100 项 C.第 10 项 解析:选 C ∵an= B.第 12 项 D.第 8 项 )

n-2 n-2 5 ,令 2 =0.08,解得 n=10 或 n= (舍去). n2 n 2
n

3.若数列{an}的通项公式是 an=3-2 ,则 a2n=________, =________. 解析:根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.∵an=3-2 ,∴a2n=3-2 = 3-4 , =
n n
2n

a2 a3

a2 3-22 1 = . a3 3-23 5
n

答案:3-4

1 5

4.若数列{an}的通项满足 =n-2,那么 15 是这个数列的第________项. 解析:由 =n-2 可知,an=n -2n,
7

an n

an n

2

令 n -2n=15,得 n=5. 答案:5 2n 8 5.已知:an= ,(1)求 a3;(2)若 an= ,求 n. 3n+2 13 解:(1)将 n=3 代入 an= 2n 2?3 6 ,得 a3= = . 3n+2 3?3+2 11

2

8 2n 8 2n (2)将 an= 代入 an= ,得 = ,解得 n=8. 13 3n+2 13 3n+2 [课时达标检测] 一、选择题 1.下面有四个结论,其中叙述正确的有 ①数列的通项公式是唯一的; ②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③数列若用图象表示,它是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式.( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 B 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正确.
? ?3n+1,n为奇数, 2.数列的通项公式为 an=? ?2n-2,n为偶数, ?

则 a2?a3 等于(

)

A.70 C.20

B.28 D.8 得 a2=2,a3=10,所以 a2?a3=20. )

?3n+1,n为奇数, ? 解析:选 C 由 an=? ? ?2n-2,n为偶数,

3.数列-1,3,-7,15,?的一个通项公式可以是( A.an=(-1) ?(2 -1) B.an=(-1) ?(2n-1) C.an=(-1) D.an=(-1)
n+1 n n n

?(2 -1) ?(2n-1)
n
1 2 3

n

n+1

解析:选 A 数列各项正、负交替,故可用(-1) 来调节,又 1=2 -1,3=2 -1,7=2 -1,15=2 -1,?,所以通项公式为 an=(-1) ?(2 -1). 4. (2012?宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an= A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.摆动数列
4

n

n

n-1 , 那么这个数列是( n+1

)

8

解析:选 A an= 增数列. 5.下列命题:

n-1 2 2 =1- ,∴当 n 越大, 越小,则 an 越大,故该数列是递 n+1 n+1 n+1

①已知数列{an},an= 第一项.

1 1 * (n∈N ),那么 是这个数列的第 10 项,且最大项为 n?n+2? 120

②数列 2, 5,2 2, 11,?的一个通项公式是 an= 3n-1. ③已知数列{an},an=kn-5,且 a8=11,则 a17=29. ④已知 an+1=an+3,则数列{an}是递增数列. 其中正确命题的个数为( A.4 个 C.2 个 解析:选 A 对于①,令 an= ) B.3 个 D.1 个 1 1 = ? n=10,易知最大项为第一项.①正确. n?n+2? 120

对于②, 数列 2, 5, 2 2, 11, ?变为 2, 5, 8, 11, ?? 3?1-1, 3?2-1, 3?3-1, 3?4-1,?? an= 3n-1,②正确; 对于③,an=kn-5,且 a8=11? k=2? an=2n-5? a17=29.③正确; 对于④,由 an+1-an=3>0,易知④正确. 二、填空题 6.已知数列{an}的通项公式为 an= 解析:令 答案:4 7. 已知数列{an}的前 4 项为 11,102,1 003,10 004, ?, 则它的一个通项公式为________. 解析:由于 11=10+1,102=10 +2,1 003=10 +3,10 004=10 +4,?,所以该数列 的一个通项公式是
2 3 4

2 1 ,那么 是它的第________项. n +n 10
2

2 1 1 = ,解得 n=4(n=-5 舍去),所以 是第 4 项. n +n 10 10
2

an=10n+n.
答案:an=10 +n. 8. (2013?福州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an=n -8n+12, 那么该数列中为 负数的项一共有________项. 解析:令 an=n -8n+12<0,解得 2<n<6,又因为 n∈N ,所以 n=3,4,5,一共有 3 项. 答案:3
9
2 * 2

n

三、解答题 9.求下列数列的一个可能的通项公式: (1)1,-1,1,-1,?; (2)1,10,2,11,3,12,?; 1 3 5 7 (3)1+ ,1- ,1+ ,1- ,?. 2 4 6 8 解:(1)an=(-1)
n+1
2 2 2

?1,n为奇数, ? 或 an=? ?-1,n为偶数. ?

n+1 ? ? 2 ,n为奇数, (2)a =? n ?2+9,n为偶数 ?
n

17? 1?? 19? n 或 an= ??n+ ?+?-1? ? ?. 2 2? 2?? ? (3)an=1+(-1)
n+1

?2n-1? . 2n

2

10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于 n 的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a2 013; (3)2 014 是否为数列{an}中的项? 解:(1)设 an=kn+b(k≠0),则有? 解得 k=4,b=-2. ∴an=4n-2. (2)a2 013=4?2 013-2=8 050. (3)令 2 014=4n-2,解得 n=504∈N , ∴2 014 是数列{an}的第 504 项.
*

?k+b=2, ? ?17k+b=66, ?

第二课时 数列的通项公式与递推公式

数列的递推关系

10

[提出问题] 某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从第二排起,后一 排都比前一排多 2 个座位(如图). 问题 1:写出前五排座位数. 提示:20,22,24,26,28. 问题 2:第 n 排与第 n+1 排座位数有何关系? 提示:第 n+1 排比第 n 排多 2 个座位. 问题 3:第 n 排座位数 an 与第 n+1 排座位数 an+1 能用等式表示吗? 提示:能.an+1=an+2. [导入新知] 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [化解疑难] 1. 数列的递推公式是给出数列的另一重要形式, 由递推公式可以依次求出数列的各项. 2.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数列 1,3,5,?,2n-1,?的一 个通项公式为 an=2n-1(n∈N ).用递推公式表示为 a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N ).
* *

数列的表示方法 [例 1] 根据数列{an}的通项公式,把下列数列用图象表示出来(n≤5,且 n∈N ). (1)an=(-1) +2; (2)an=
n
*

n+1 . n

[解] (1)数列{an}的前 5 项依次是 1,3,1,3,1,图象如下图①所示. 3 4 5 6 (2)数列{an}的前 5 项依次是 2, , , , ,图象如下图②所示. 2 3 4 5

[类题通法] 通项公式法、列表法与图象法表示数列优点 (1)用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公式法是常用的数学方法. (2)列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项数与项的对应关系.
11

(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势. [活学活用] 1.一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件,沿途(包括 A,B)共有 8 站,从 A 地出发时, 装上发往后面 7 站的邮件各一个, 到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件, 同时装上该站 发往后面各站的邮件各一个. 试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数 列. 解:将 A,B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号.通过计算,各站装卸完毕后剩 余邮件个数依次构成数列 7,12,15,16,15,12,7,0,如下表: 站号(n) 剩余邮件数(an) 1 7 2 12 3 15 4 16 5 15 6 12 7 7 8 0

由递推公式求数列中的项 [例 2] 已知数列{an}的第一项 a1=1,以后的各项由公式 an+1= 个数列的前 5 项. [解] ∵a1=1,an+1= ∴a2= 2a1 2 = , a1+2 3 2an , an+2 2an 给出,试写出这 an+2

2 2? 3 1 2a2 a3= = = , a2+2 2 2 +2 3 1 2? 2 2 2a3 a4= = = , a3+2 1 5 +2 2 2 2? 5 1 2a4 a5= = = . a4+2 2 3 +2 5 2 1 2 1 故该数列的前 5 项为 1, , , , . 3 2 5 3 [类题通法] 根据递推公式写出数列的前几项, 要弄清楚公式中各部分的关系, 依次代入计算即可. 另 外,解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后 面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. [活学活用]
12

2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由 an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前 5 项; (2)通过公式 bn=

an 构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前 4 项. an+1

解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且 a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,

a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前 5 项依次为

a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
(2)∵bn=

an ,且 a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, an+1

a1 1 a2 2 a3 3 ∴b1= = ,b2= = ,b3= = , a2 2 a3 3 a4 5 a4 5 b4= = . a5 8
1 2 3 5 故 b1= ,b2= ,b3= ,b4= . 2 3 5 8 由递推公式归纳数列的通项公式 [例 3] 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式 an= (n=2,3,4,?)给 1-an-1 出,写出这个数列的前 5 项,并归纳出数列{an}的通项公式. [解] 可依次代入项数进行求值.

an-1

a1=2,a2=
2 - 3

2 -2 2 =-2,a3= =- , 1-2 1-?-2? 3

a4=

2 =- , 2 5 ? ? 1-?- ? 3 ? ? 2 =- . 2 7 ? ? 1-?- ? ? 5? 2 - 5

a5=

2 2 2 即数列{an}的前 5 项为 2,-2,- ,- ,- . 3 5 7 -2 -2 -2 -2 2 也可写为 , , , ,- . -1 1 3 5 7 即分子都是-2,分母依次加 2,且都是奇数,

13

所以 an=- [类题通法]

2 * (n∈N ). 2n-3

根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其特点、规律,归纳总结出数列的 一个通项公式. [活学活用] 3.已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+ 出它的一个通项公式. 解:a1=1, 1 (n≥2),写出该数列前 5 项,并归纳 n?n-1?

a2=a1+ a3=a2+ a4=a3+ a5=a4+

1 1 3 =1+ = , 2?1 2 2 1 3 1 5 = + = , 3?2 2 6 3 1 5 1 7 = + = , 4?3 3 12 4 1 7 1 9 = + = . 5?4 4 20 5

3 5 7 9 故数列的前 5 项分别为 1, , , , . 2 3 4 5 2?1-1 3 2?2-1 5 2?3-1 7 2?4-1 9 2?5-1 由于 1= , = , = , = , = , 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2n-1 1 故数列{an}的一个通项公式为 an= =2- .

n

n

2.巧析递推数列求通项公式两种常用方法

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项, 只是 由递推公式确定数列中的项时, 不如通项公式直接, 下面介绍由递推数列求通项公式的两种 方法. 【角度一】 累加法
14

对于数列{an}若满足 an+1-an=f(n)时, 需用累加法, 即 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+? +(a2-a1)+a1 来求 an. [例 1] 已知 a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的一个通项公式. [解] ∵a1=1, an+1-an=2, ∴a2-a1=2, a3-a2=2, a4-a3=2, ?, an-an-1=2(n≥2), 将这些式子的两边分别相加,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1)=2(n-1),即

an-a1=2(n-1),又 a1=1,∴an=2n-1(n≥2),当 n=1 时,a1=1 也满足上式,故数列{an}
的一个通项公式为 an=2n-1. 【角度二】 累乘法

对于数列{an}若满足

an an an-1 a 3 a2 =f(n)时,需用累乘法,即 an= ? ??? ? ?a1 来求 an-1 an-1 an-2 a 2 a1

an.
[例 2] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N ),求数列{an}的通项公式. [解] 由 an+1=3an 得
*

an+1 =3. an a4 a3 an =3. an-1

因此可得 =3, =3, =3,?, 将上面的 n-1 个式子相乘可得

a2 a1

a3 a2

a2 a3 a4 an n-1 ? ? ??? =3 . a1 a2 a3 an-1
即 =3

an a1

n-1


n-1

所以 an=a1?3



又 a1=2,故 an=2?3n-1.

[随堂即时演练] 1.符合递推关系式 an= 2an-1 的数列是( A.1,2,3,4,? C. 2,2, 2,2,? )

B.1, 2,2,2 2,? D.0, 2,2,2 2,?

解析:选 B B 中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合递推公式 an= 2an-1. 1 1 1 1 2.数列 , , , ,?的递推公式可以是( 2 4 8 16 1 * A.an= n+1(n∈N ) 2 )

1 * B.an= (n∈N ) 2n
15

1 * C.an+1= an(n∈N ) 2

D.an+1=2an(n∈N )

*

1 1 * 解析:选 C 数列从第二项起,后一项是前一项的 ,故递推公式为 an+1= an(n∈N ). 2 2 3.已知 a1=1,an=1+ 1 1

an-1

(n≥2),则 a5=________.

解析:由 a1=1,an=1+ 8 答案: 5

3 5 8 得 a2=2,a3= ,a4= ,a5= . an-1 2 3 5

4.已知数列{an}满足 a1>0, “递减”).

an+1 1 * = (n∈N ),则数列{an}是________数列(填“递增”或 an 3

1 * 解析:由已知 a1>0,an+1= an(n∈N ), 3 得 an>0(n∈N ). 1 2 又 an+1-an= an-an=- an<0, 3 3 所以{an}是递减数列. 答案:递减 5.已知数列{an}的通项公式为 an= 解:对于公式 an= 3 10 4 17
*

n ,写出它的前 5 项,并判断该数列的单调性. n2+1

1 2 ,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 5 项为 a1= ,a2= , n +1 2 5
2

n

a3= ,a4= ,a5= . n+1 n 1-n -n 而 an+1-an= - 2 = . 2 2 2 ?n+1? +1 n +1 [?n+1? +1]?n +1?
因为 n∈N ,所以 1-n -n<0,所以 an+1-an<0,即 an+1<an.故该数列为递减数列. [课时达标检测] 一、选择题 1.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 )
* 2 2

5 26

B.递减数列 D.不能确定

解析:选 A an+1-an=3>0,故数列{an}为递增数列. 2.数列{an}中 an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则 a5= ( A.-3 B.-11 )

16

C.-5

D.19

解析:选 D 由 an+1=an+2-an 得 an+2=an+an+1, 由于 a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19. 1 n 3.在数列{an}中,a1= ,an=(-1) ?2an-1(n≥2),则 a5 等于( 3 16 A.- 3 8 C.- 3 B. D. 16 3 8 3 )

1 n 解析:选 B ∵a1= ,an=(-1) ?2an-1, 3 1 2 2 ∴a2=(-1) ?2? = , 3 3

a3=(-1)3?2? =- , a4=(-1)4?2??- ?=- , 3 a5=(-1)5?2??- ?= . 3
4.已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10 等于( A.-165 C.-30 B.-33 D.-21
*

2 3

4 3

? 4? ? ?

8 3

? 8? 16 ? ? 3

)

解析:选 C 由已知得 a2=a1+a1=2a1=-6,∴a1=-3. ∴a10=2a5=2(a2+a3) =2a2+2(a1+a2) =4a2+2a1=4?(-6)+2?(-3) =-30. 5.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a2 012=( A.3 C.6 B.-3 D.-6 )

解析:选 C 由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,

a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3, a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6, a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3
?? 故知{an}是周期为 6 的数列,

17

∴a2 012=a2=6. 二、填空题 6.数列{an}中,an+1-an-n=0,则 a2 012-a2 011=________. 解析:∵an+1-an-n=0, ∴a2 012-a2 011-2 011=0, ∴a2 012-a2 011=2 011. 答案:2 011 7.已知数列{an},an=a +m(a<0,n∈N ),满足 a1=2,a2=4,则 a3=________.
? ?2=a+m, 解析:∵? 2 ?4=a +m, ?
n n
*

∴?

? ?a=-1, ?m=3, ?
3

∴an=(-1) +3,∴a3=(-1) +3=2. 答案:2 8.已知对于任意的正整数 n,an=n +λ n.若数列{an}是递增数列,则实数 λ 的取值范 围是________. 解析:∵{an}是递增数列,∴an+1-an=(n+1) +λ (n+1)-n -λ n=2n+1+λ >0 对 于任意的正整数 n 恒成立,即 λ 答案:λ >-3 三、解答题 9.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (1)写出数列{an}的前 5 项; (2)猜想数列{an}的通项公式; (3)画出数列{an}的图象. 1 1 解:(1)a1=1,a2= ?1= , 1+1 2 >-2n-1 对于任意的正整数 n 恒成立,∴λ >-3.
2 2 2

an. n+1

n

a3= a4= a5=

2 1 1 ? = , 1+2 2 3 3 1 1 ? = , 1+3 3 4 4 1 1 ? = . 1+4 4 5

1 (2)猜想:an= .

n

(3)图象如图所示:

18

10.设 f(x)=log2 x-logx4(0<x<1),又知数列{an}的通项 an 满足 f(2an)=2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)试判断数列{an}的增减性. 解:(1)∵f(x)=log2x-logx4(0<x<1),f(2an)=2n, log2 4 ∴log22an-log2an4=2n,由换底公式,得 log22an- =2n, log22an 2 即 an- =2n,

an

∴an-2nan-2=0, ∴an=n± n +2.③ 由 0<x<1,有 0<2an<1, ∴an<0.④ 由③④得 an=n- n +2,此即为数列{an}的通项公式. (2)
2 2

2

an+1 ?n+1?- ?n+1?2+2 = an n- n2+2

n+ n2+2 = <1 2 ?n+1?+ ?n+1? +2
∵an<0,∴an+1>an, ∴数列{an}是单调递增数列.

_2.2 等差数列

第一课时 等差数列

等差数列的定义 [提出问题] 1 . 有 一 座 楼 房 第 一 层 的 每 级 台 阶 与 地 面 的 高 度 ( 单 位 : cm) 依 次 为 : 16,32,48,64,80,96,112,128,?,320.
19

2.2012 年伦敦奥运会女子举重共设置 7 个级别,其中较轻的 4 个级别体重(单位:kg) 分别为:48,53,58,63. 3.鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,23,23.5,24,24.5,? 问题 1:上面三组数构成数列吗? 提示:构成. 问题 2:若上面三组数构成数列,试观察它们从 2 项起,每一项与前一项的差有什么特 点? 提示:等于同一常数. [导入新知] 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. [化解疑难] 1.“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻 合. 2. “每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”, 强调了: ①作差的顺序;②这两项必须相邻. 3.定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数 列不能称为等差数列. 等差中项 [提出问题] 问题:观察上面三个数列,每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系? 提示:前一项与后一项的和是中间项的 2 倍. [导入新知] 等差中项 如果三个数 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.这三个数满足的关系 式是 A=

a+b
2

.

[化解疑难] 1.A 是 a 与 b 的等差中项,则 A= 个. 2.当 2A=a+b 时,A 是 a 与 b 的等差中项. 等差数列的通项公式

a+b
2

或 2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一

20

[提出问题] 若一等差数列{an}的首项为 a1,公差是 d. 问题 1:试用 a1、d 表示 a2、a3、a4. 提示:a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d. 问题 2:由此猜想等差数列的通项公式 an. 提示:an=a1+(n-1)d. [导入新知] 等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d 递推公式 通项公式

an-an-1=d(n≥2)

an=a1+(n-1)d(n∈N*)

[化解疑难] 由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 可得 an=dn+(a1-d), 如果设 p=d, q=a1-d, 那么 an=pn+q,其中 p,q 是常数.当 p≠0 时,an 是关于 n 的一次函数;当 p=0 时,an=

q,等差数列为常数列.

等差数列的判定与证明 [例 1] 判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中 an=3n+2; (2)在数列{an}中 an=n +n. [解] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N ).由 n 的任意性知,这个数列为 等差数列. (2)an+1-an=(n+1) +(n+1)-(n +n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数 列. [类题通法] 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数, 是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
21
2 2 * 2

[活学活用] 1.已知等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,数列{bn}中,bn=3an+4,问:数列{bn} 是否为等差数列?并说明理由. 解:数列{bn}是等差数列. 理由:∵数列{an}是首项为 a1,公差为 d 的等差数列, ∴an+1-an=d(n∈N ). ∴bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an+1-an)=3d. ∴根据等差数列的定义,数列{bn}是等差数列. 等差数列的通项公式 [例 2] (1)在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,求通项公式 an. 5 7 (2)已知数列{an}为等差数列 a3= ,a7=- ,求 a15 的值. 4 4 [解] (1)∵a5=10,a12=31, 则
*

a1+4d=10, a1+11d=31,

??

?a1=-2, ? ? ?d=3.

∴an=-2+(n-1)?3=3n-5 ∴通项公式 an=3n-5.(n∈N ) 5 a= , ? ? 4 (2)法一:由? 7 a =- , ? ? 4
3 7 *

5 a +2d= , ? ? 4 得? 7 a +6d=- . ? ? 4
1 1

11 3 解得 a1= ,d=- . 4 4 ∴a15=a1+(15-1)d = 11 3 31 +14?(- )=- . 4 4 4

法二:由 a7=a3+(7-3)d, 7 5 3 即- = +4d,解得 d=- . 4 4 4 5 3 31 ∴a15=a3+(15-3)d= +12?(- )=- . 4 4 4 [类题通法]
22

1.应用等差数列的通项公式求 a1 和 d,运用了方程的思想.一般地,可由 am=a,an=

b,
得?
?a1+?m-1?d=a, ? ? ?a1+?n-1?d=b,

求出 a1 和 d,从而确定通项公式.

2.若已知等差数列中的任意两项 am,an,求通项公式或其他项时,则运用 am=an+(m -n)d 则较为简捷. [活学活用] 2.(1)求等差数列 8,5,2,?的第 20 项; (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 解:(1)由 a1=8,d=5-8=-3,n=20, 得 a20=8+(20-1)?(-3)=-49. (2)由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4, 得这个数列的通项公式为

an=-5-4(n-1)=-4n-1,
由题意知,-401=-4n-1. 得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项.

等差中项 [例 3] 已知等差数列{an},满足 a2+a3+a4=18,a2a3a4=66.求数列{an}的通项公式. [解] 在等差数列{an}中, ∵ a2+a3+a4=18, ∴3a3=18,a3=6.
?a2+a4=12 ? ? ?a2?a4=11, ?

解得?

? ?a2=11 ?a4=1 ?

或?

? ?a2=1, ?a4=11. ?

当?

?a2=11 ? ? ?a4=1

时,a1=16,d=-5.

an=a1+(n-1)d=16+(n-1)?(-5)
=-5n+21. 当?
?a2=1 ? ?a4=11 ?

时,a1=-4,d=5.

an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)?5=5n-9.
[类题通法]
23

三数 a,b,c 成等差数列的条件是 b=

a+c
2

(或 2b=a+c),可用来进行等差数列的判定
*

或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证 2an+1=an+an+2(n∈N ). [活学活用] 3.(1)已知数列 8,a,2,b,c 是等差数列,则 a,b,c 的值分别为________,________, ________. (2)已知数列{an}满足 an-1+an+1=2an(n≥2),且 a2=5,a5=13,则 a8=________. 解析:(1)因为 8,a,2,b,c 是等差数列, 8+2=2a, ? ? 所以?a+b=2?2, ? ?2+c=2b.

a=5, ? ? ∴?b=-1, ? ?c=-4.

(2)由 an-1+an+1 =2an (n≥2)知,数列{an}是等差数列,∴a2,a5,a8 成等差数列. ∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2?13-5=21. 答案:(1)5 -1 -4 (2)21

3.由数列通项确定n?或d?中的误区

[典例] 已知等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 且 a11=-26, a51=54, 求 a14 的值. 你 能判断该数列从第几项开始为正数吗? [解] 由等差数列 an=a1+(n-1)d 列方程组:
?a1+10d=-26, ? ? ? ?a1+50d=54,

解得?

? ?a1=-46, ?d=2. ?

∴a14=-46+13?2=-20 ∴an=-46+(n-1)?2=2n-48 令 an≥0,即 2n-48≥0? n≥24. ∴从第 25 项开始,各项为正数. [易错防范]

24

1.忽略了对“从第几项开始为正数”的理解,误认为 n=24 也满足条件. 2.由通项公式计算时,易把公式写成 an=a1+nd,导致结果错误. [成功破障] 1 一个等差数列的首项为 ,公差 d>0,从第 10 项起每一项都大于 1,求公差 d 的范围. 25 解:设等差数列为{an}, 由 d>0,知 a1<a2<?<a9<a10<a11?,
?1<a10<a11<?, ? 依题意,有? ? ?a1<a2<?<a9≤1,

即?

?a10>1, ? ?a9≤1 ?

1 ? ?25+?10-1?d>1, ?? 1 ? ?25+?9-1?d≤1,

8 3 ?8 3? 解得 <d≤ ,即公差 d 的取值范围是? , ?. 75 25 ?75 25?

[随堂即时演练] 1.已知等差数列{an}的首项 a1=2,公差 d=3,则数列{an}的通项公式为( A.an=3n-1 C.an=2n+3 B.an=2n+1 D.an=3n+2 )

解析:选 A ∵an=a1+(n-1)d=2+(n-1)?3=3n-1. 2.等差数列的前 3 项依次是 x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( A.an=2n-5 C.an=2n-1 B.an=2n-3 D.an=2n+1 )

解析:选 B ∵x-1,x+1,2x+3 是等差数列的前 3 项, ∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得 x=0. ∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3, ∴d=2,∴an=-1+2(n-1)=2n-3. 3.等差数列的第 3 项是 7,第 11 项是-1,则它的第 7 项是________. 解析:设首项为 a1,公差为 d, 由 a3=7,a11=-1 得,a1+2d=7,a1+10d=-1,所以 a1=9,d=-1,则 a7=3. 答案:3
25

4.已知:1,x,y,10 构成等差数列,则 x,y 的值分别为________. 解析:由已知,x 是 1 和 y 的等差中项,即 2x=1+y ①,

y 是 x 和 10 的等差中项,即 2y=x+10 ②,
由①,②可解得 x=4,y=7. 答案:4,7 5.在等差数列{an}中, (1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9. 解:(1)由题意,知?
? ?a1=-5, ? ?d=1. ?a1+a1+?6-1?d=12, ? ?a1+?4-1?d=7. ? ? ?a1+ ?5-1?d=-1, ?a1+?8-1?d=2. ?

解得?

(2)由题意,知?

解得?

?a1=1, ? ?d=2. ?

∴an=1+2(n-1)=2n-1. ∴a9=2?9-1=17. [课时达标检测] 一、选择题 1.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差 d 等于( A.-2 C. 1 2 1 B.- 2 D.2
? ?a1+2d=0, ?a1+6d-2?a1+3d?=-1, ?

)

解析:选 B 由题意,得?

a1=1, ? ? 解得? 1 ?d=-2. ?
2.设 x 是 a 与 b 的等差中项,x 是 a 与-b 的等差中项,则 a,b 的关系是( A.a=-b C.a=-b 或 a=3b B.a=3b D.a=b=0
2 2 2

)

解析:选 C 由等差中项的定义知:x=

a+b
2



a2-b2 x2= ,
2
26



a2-b2 ?a+b?2
2 =?

? ,即 a -2ab-3b =0. ? 2 ?
2 2

故 a=-b 或 a=3b. 1 3.若等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=35, 3 则 n=( A.50 C.52 ) B.51 D.53

1 2 解析:选 D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入 a1= ,得 d= . 3 3 1 2 2 1 所以 an=a1+(n-1)d= +(n-1)? = n- , 3 3 3 3 令 an=35,解得 n=53. 4.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,则 a2 012 等于( A.2 009 C.2 011 B.2 010 D.2 012 )

解析:选 D 由于 an+1-an=1,则数列{an}是等差数列,且公差 d=1,则 an=a1+(n- 1)d=n,故 a2 012=2 012. 5.下列命题中正确的个数是(
2

)
2 2

(1)若 a,b,c 成等差数列,则 a ,b ,c 一定成等差数列; (2)若 a,b,c 成等差数列,则 2 2 2 可能成等差数列; (3)若 a,b,c 成等差数列,则 ka+2,kb+2,kc+2 一定成等差数列; 1 1 1 (4)若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能成等差数列.
a, b, c

a b c

A.4 个 C.2 个

B.3 个 D.1 个

解析:选 B 对于(1)取 a=1,b=2,c=3 ? a =1,b =4,c =9,(1)错. 对于(2)a=b=c? 2 =2 =2 ,(2)正确; 对于(3)∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b. ∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4 =2(kb+2),(3)正确; 1 1 1 对于(4),a=b=c≠0? = = ,
a b c
2 2 2

a b c

(4)正确.综上可知选 B.
27

二、填空题 6.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,a1 和 a3 是方程 x -8x+7=0 的两根,则 它的通项公式是________. 解析:解方程 x -8x+7=0 得 x1=1,x2=7. ∵数列{an}的各项均为正数,∴a1=1,a3=7. ∴公差 d=
2 2

a3-a1
2

=3.∴an=a1+(n-1)d=3n-2.

答案:an=3n-2 7.等差数列 1,-3,-7,?的通项公式为________,a20=________. 解析:∵d=-3-1=-4,a1=1, ∴an=1-4(n-1)=-4n+5. ∴a20=-80+5=-75. 答案:an=-4n+5 -75 8.数列{an}是等差数列,且 an=an +n,则实数 a=________. 解析:∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数. ∴[a(n+1) +(n+1)]-(an +n)=2an+a+1=常数. ∴2a=0,∴a=0. 答案:0 三、解答题 9. 在等差数列{an}中, 已知 a1=112, a2=116, 这个数列在 450 到 600 之间共有多少项? 解:由题意,得
2 2 2

d=a2-a1=116-112=4,
所以 an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108. 令 450≤an≤600, 解得 85.5≤n≤123,又因为 n 为正整数,故有 38 项. 1 1 * 10.数列{an}满足 a1=1, = +1(n∈N ). 2an+1 2an
?1? (1)求证:数列? ?是等差数列; ?an?

(2)求数列{an}的通项公式. 1 1 1 1 解:(1)证明:由 = +1,可得 - =2, 2an+1 2an an+1 an
?1? ∴数列? ?是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列. ?an?

1 1 (2)由(1)知 =1+(n-1)?2=2n-1,∴an= . an 2n-1
28

第二课时 等差数列的性质

等差数列性质的应用

[例 1] (1)已知{an}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=450.求 a2+a8 的值. (2)(2012?江西高考)设数列{an},{bn}都是等差数列.若 a1+b1=7,a3+b3=21,则

a5+b5=________.
(1)[解] ∵a3+a4+a5+a6+a7=450, 由等差数列的性质知:a3+a7=a4+a6=2a5. ∴5a5=450.∴a5=90. ∴a2+a8=2a5=180. (2)[解析] 法一:设数列{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,因为 a3+b3=(a1+2d1)+(b1 +2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以 d1+d2=7,所以 a5+b5=(a3+b3)+ 2(d1+d2)=21+2?7=35. 法二:∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴数列{an+bn}也构成等差数列, ∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5) ∴2?21=7+a5+b5 ∴a5+b5=35. [答案] 35 [类题通法] 1.利用通项公式时,如果只有一个等式条件,可通过消元把所有的量用同一个量表示. 2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质: 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq. 对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7 +a8,但 a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但 a1+a21=2a11. [活学活用] 1.(1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则 a75=________. (2)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( A.14 B.21
29

)

C.28 解析:法一:因为{an}为等差数列,

D.35

所以 a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,其公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第四项, 所以 a60=a15+3d,得 d=4. 所以 a75=a60+d? a75=24. 法二:因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d, 所以?
? ?a1+14d=8, ?a1+59d=20, ?

64 a= , ? ? 15 解得? 4 ? ?d=15.
1

64 4 故 a75=a1+74d= +74? =24. 15 15 (2)∵a3+a4+a5=12, ∴3a4=12,则 a4=4, 又 a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故 a1+a2+?+a7=7a4=28.故选 C. 答案:(1)24 (2)C 灵活设元求解等差数列 [例 2] (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数. (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数. [解] (1)设这三个数依次为 a-d,a,a+d,
??a-d?+a+?a+d?=9, ? 则? ? ??a-d?a=6?a+d?,

解得?

? ?a=3, ?d=-1. ?

∴这三个数为 4,3,2. (2)法一:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为 2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即 a=1,a -9d =-8, ∴d =1,∴d=1 或 d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
2 2 2

30

法二:若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1- d 代入 a(a+3d)=-8, 2 3 3 9 2 得(1- d)(1+ d)=-8,即 1- d =-8, 2 2 4 化简得 d =4,所以 d=2 或-2. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2,
2

a=-2.
故所求的四个数为-2,0,2,4. [类题通法] 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为:a-d,a+d,公 差为 2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a,a+d,公差为 d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成 a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为 2d. [活学活用] 2.已知成等差数列的四个数,四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这 个等差数列. 解:设这四个数依次为 a-3d,a-d,a+d,a+3d. 由题设知
??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ? ??a-d??a+d?=40,

13 a= , ? ? 2 解得? 3 d= , ? ? 2

13 a= , ? ? 2 或? 3 d=- . ? ? 2

∴这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 等差数列的实际应用 [例 3] 某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年起由于市场竞争等 方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不 调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? [解] 由题意可知,设第 1 年获利为 a1,第 n 年获利为 an,则 an-an-1=-20,(n≥2,

n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项 a1=200,公差 d=-20,
所以 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)?(-20)
31

=-20n+220. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损, 由 an=-20n+220<0,解得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损. [类题通法] 1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若 这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决. 2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量. [活学活用] 3. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数 列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( A.1 升 C. 47 升 44 B. D. 67 升 66 37 升 33 )

解析:选 B
? ?a1+a2+a3+a4=3, ? ?a7+a8+a9=4, ?

设 所 构 成 的 等 差 数 列 {an} 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 则 有

? ?4a1+6d=3, 即? ?3a1+21d=4. ?

13 ? ?a =22, 解得? 7 ? ?d=66,
1

67 则 a5=a1+4d= , 66

67 故第 5 节的容积为 升. 66

[随堂即时演练] 1.已知等差数列{an},则使数列{bn}一定为等差数列的是( A.bn=-an C.bn= an B.bn=an D.bn= 1
2

)

an

解析:选 A ∵数列{an}是等差数列,∴an+1-an=d(常数). 对于 A:bn+1-bn=an-an+1=-d,正确;对于 B 不一定正确,如数列{an}={n},则 bn

32

1 2 2 =an=n ,显然不是等差数列;对于 C、D: an及 不一定有意义,故选 A.

an

2.(2012?辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 C.20 B.16 D.24

)

解析:选 B 因为数列{an}是等差数列,所以 a2+a10=a4+a8=16. 3.已知数列{an}中,a5=10,a12=31,则其公差 d=________. 解析:d= 答案:3 4.在等差数列{an}中,已知 a2+2a8+a14=120,则 2a9-a10 的值为________. 解析:∵a2+a14=2a8, ∴a2+2a8+a14=4a8=120, ∴a8=30. ∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30. 答案:30 5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9, 即(a4-2d)(a4+2d)=9,亦即(5-2d)(5+2d)=9, 解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. [课时达标检测] 一、选择题 1.等差数列{an}的公差为 d,则数列{can},(c 常数且 c≠0)是( A.公差为 d 的等差数列 C.不是等差数列 B.公差为 cd 的等差数列 D.以上都不对 )

a12-a5 31-10
12-5 = 7

=3.

解析:选 B 设 bn=can,则 bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd. 2.若{an}是等差数列,且 a1+a4+7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9=( A.39 C.19.5 解析:选 D 由等差数列的性质,得 B.20 D.33 )

a1+a4+a7=3a4=45,
33

a2+a5+a8=3a5=39, a3+a6+a9=3a6.
又 3a5?2=3a4+3a6, 解得 3a6=33,即 a3+a6+a9=33. 3.设{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37=( A.0 C.100 B.37 D.-37 )

解析:选 C 设 cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且 c1 =a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100, ∴{cn}的公差 d=c2-c1=0. ∴c37=100. 4.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于 x 的方程:x +(a4+a6)x+10=0( A.无实根 C.有两个不等实根 B.有两个相等实根 D.不能确定有无实根
2

)

解析:选 A 由于 a4+a6=a2+a8=2a5,即 3a5=9, ∴a5=3,方程为 x +6x+10=0,无实数解. 5.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 等于 ( ) A.8 C.6 B.4 D.12
2

解析:选 A 因为 a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以 a8=8,即 m=8. 二、填空题 6.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为__________. 解析:不妨设角 A=120°,c<b, 则 a=b+4,c=b-4, 于是 cos 120°=

b2+?b-4?2-?b+4?2 1 =- , 2b?b-4? 2

1 解得 b=10,所以 S= bcsin 120°=15 3. 2 答案:15 3

? 7.已知数列{an}满足 a1=1,若点? ,
解析:由题设可得 -

an an+1 ? ?在直线 x-y+1=0 上,则 an=________. ? n n+1?

an n

?an? an+1 an+1 an +1=0,即 - =1,所以数列? ?是以 1 为公差的等差 n+1 n+1 n ?n? 34

数列,且首项为 1,故通项公式 =n,所以 an=n . 答案:n
2

an n

2

8.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4 km(不含 4 km) 计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付车费________. 解析:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时,每增加 1 km,乘客需要支 付 1.2 元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令 a1=11.2,表示 4 km 处的车费, 公差 d=1.2 那么当出租车行至 14 km 处时,n=11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11- 1)?1.2=23.2(元). 答案:23.2 元 三、解答题 9.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 25,它们的平方和为 165,求这五个数. 解:设这 5 个数依次为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可得
??a-2d?+?a-d?+a+?a+d?+?a+2d?=25, ? ? 2 2 2 2 2 ??a-2d? +?a-d? +a +?a+d? +?a+2d? =165, ?

解得?

? ?a=5, ?d=±2. ?

所以这 5 个数为 1,3,5,7,9 或 9,7,5,3,1. 10.已知无穷等差数列{an}中,首项 a1=3,公差 d=-5,依次取出序号能被 4 除余 3 的项组成数列{bn}. (1)求 b1 和 b2; (2)求{bn}的通项公式; (3){bn}中的第 503 项是{an}中的第几项? 解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以 3 为首项,4 为公差的等差数列, 由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列. (1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)?(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被 4 除余 3 的项是{an}中的第 3 项,第 7 项,第 11 项,?,∴b1=a3= -7,b2=a7=-27. (2)设{an}中的第 m 项是{bn}中的第 n 项,即 bn=am, 则 m=3+4(n-1)=4n-1, ∴bn=am=a4n-1=8-5?(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为 bn=13-20n. (3)b503=13-20?503=-10 047,
35

设它是{an}中的第 m 项,则-10 047=8-5m,解得 m=2 011,即{bn}中的第 503 项是 {an}中的第 2 011 项. _2.3 等差数列的前 n 项和

数列的前 n 项和 [导入新知] 数列的前 n 项和 对于数列{an},一般地称 a1+a2+?+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示,即 Sn=a1 +a2+?+an. [化解疑难] 数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起,一直到第 n 项 an 所有项的和. 等差数列的前 n 项和

[提出问题] 如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有 4 根钢管, 下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有 9 根. 问题 1:共有几层?图形的横截面是什么形状? 提示:六层,等腰梯形. 问题 2: 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管, 如图所示, 则这样共有多少钢管?

提示:(4+9)?6=78. 问题 3:原来有多少根钢管? 1 提示: ?78=39. 2 问题 4:能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式

Sn=a1+a2+?+an?
提示:Sn=a1+a2+?+an,

Sn=an+an-1+?+a1,
相加:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+?+(an+a1)
36

=n(a1+an), ∴Sn=

n?a1+an?
2

.

问题 5:试用 a1,d,n 表示 Sn. 提示:∵an=a1+(n-1)d, ∴Sn=

n[a1+a1+?n-1?d]
2

=na1+

n?n-1? d.
2

[导入新知] 等差数列的前 n 项和公式 已知量 选用 公式 首项,末项与项数 首项,公差与项数

n?a1+an? Sn=
2

n?n-1? Sn=na1+ d
2

[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点 (1)两个公式共涉及到 a1,d,n,an 及 Sn 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项, 公差,项数,通项和前 n 项和. (2)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差和项数时, 用后一个公式较好.

等差数列前 n 项和的有关计算 [例 1] 1 (2012?北京高考)(1)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= ,S2= 2

a3,则 a2=__________;Sn=________.
(2)在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 1 (1)[解析] 设公差为 d,则由 S2=a3 得 2a1+d=a1+2d,所以 d=a1= ,故 a2=a1+d 2 =1,Sn=na1+ [答案] 1

n?n-1? n?n+1? d= .
2 4

n?n+1?
4

an=a1+?n-1?d, ? ? (2)[解] 由? n?n-1? Sn=na1+ d, ? 2 ?

37

a1+2?n-1?=11, ? ? 得? n?n-1? na1+ ?2=35, ? 2 ?
解方程组,得? [类题通法]
? ?n=5, ?a1=3 ?

或?

? ?n=7, ?a1=-1. ?

a1,d,n 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量 a1,d,n,an,Sn 中可知三求二,即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的
问题, 一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解. 这种方法是解决数列运算 的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. [活学活用] 1.已知等差数列{an}. 5 3 (1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d. 5 3 1 解:∵a15= +(15-1)d=- ,∴d=- . 6 2 6 又 Sn=na1+

n?n-1?
2

?d=-5,

解得 n=15,n=-4(舍). 8?a1+a8? 8?4+a8? (2)由已知,得 S8= = =172, 2 2 解得 a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. 已知 Sn 求通项公式 an [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n +n+2. (1)求{an}的通项公式; (2)判断{an}是否为等差数列? [解] (1)∵Sn=-2n +n+2, ∴当 n≥2 时,Sn-1=-2(n-1) +(n-1)+2 =-2n +5n-1, ∴an=Sn-Sn-1 =(-2n +n+2)-(-2n +5n-1) =-4n+3. 又 a1=S1=1,不满足 an=-4n+3,
38
2 2 2 2 2 2

∴数列{an}的通项公式是

an=?

?1,n=1, ? ?-4n+3,n≥2. ?

(2)由(1)知,当 n≥2 时,

an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4,
但 a2-a1=-5-1=-6≠-4, ∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列. [类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn,求通项公式 an 的步骤: (1)当 n=1 时,a1=S1. (2)当 n≥2 时,根据 Sn 写出 Sn-1,化简 an=Sn-Sn-1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式为 an =Sn-Sn-1; 如果 a1 不满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表 示为 an=?
? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2 ?

(如本例).

[活学活用] 2.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=3 -2. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2?1 -3?1=-1; 当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1) -3(n-1)=2n -7n+5, 则 an=Sn-Sn-1=(2n -3n)-(2n -7n+5) =2n -3n-2n +7n-5 =4n-5. 此时若 n=1,an=4n-5=4?1-5=-1=a1, 故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=3 -2=1; 当 n≥2 时,Sn-1=3
n-1
1 2 2 2 2 2 2 2 2

n

-2,
n-1

则 an=Sn-Sn-1=(3 -2)-(3 =3?3
n-1

n

-2)=3 -3

n

n-1

-3

n-1

=2?3

n-1

. =2?3
1-1

此时若 n=1,an=2?3

n-1

=2≠a1,

?1, n=1, ? 故 an=? n-1 ? ?2?3 ,n≥2. 39

等差数列前 n 项和的性质 [例 3] 和 S11=( A.58 C.143 (1)(2012?辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项 ) B.88 D.176

(2)等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求 S110. (1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an}是等差数列,所以 a1+a11 11?a1+a11? =a4+a8=2a6=16? a6=8,则该数列的前 11 项和为 S11= =11a6=88. 2 [答案] B (2)[解] ∵数列{an}为等差数列, ∴S10,S20-S10,S30-S20,?,S110-S100 也成等差数列. 设其公差为 D,则 S10+(S20-S10)+(S30-S20)+?+(S100-S90)=S100, 10?9 即 10S10+ ?D=S100=10. 2 又∵S10=100,代入上式,得 D=-22, ∴S110-S100=S10+(11-1)?D=100+10?(-22)=-120, ∴S110=-120+S100=-110. [类题通法] 等差数列的前 n 项和常用的性质 (1)等差数列的依次 k 项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k?组成公差为 k d 的等差数列. (2)数列{an}是等差数列?Sn=an +bn(a,b 为常数)?数列{ }为等差数列. (3)若 S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,公差为 d, ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=nd,
2 2

Sn n

S奇 an = ; S偶 an+1 S奇 n = . S偶 n-1

②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an, [活学活用]

3.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,则 S13=________. 解析:因为 a1+a13=a2+a12=2a7, 又 a2+a7+a12=24, 所以 a7=8. 13?a1+a13? 所以 S13= =13?8=104. 2 答案:104
40

(2)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( A.9 C.16 B.12 D.17

)

解析:选 A 由等差数列的性质知 S4,S8-S4,S12-S8,?也构成等差数列,不妨设为 {bn},且 b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得 b3=5,b4=7,b5=9,即 a17+a18+a19+a20 =b5=9. 等差数列前 n 项和的最值 [例 4] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前 n 项和 Sn 的最大值. [解] 法一:由 S17=S9,得 17??17-1? 9??9-1? 25?17+ d=25?9+ d, 2 2 解得 d=-2, ∴Sn=25n+

n?n-1?
2

?(-2)=-(n-13) +169.

2

由二次函数性质得,当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 法二:先求出 d=-2(同法一), ∵a1=25>0,由? 1 ? ?n≤132, 得? 1 ?n>122, ? 1 1 即 12 <n≤13 . 2 2 ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. [类题通法] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种思路 (1)将 Sn=na1+
?an=25-2?n-1?≥0 ? ?an+1=25-2n<0 ?



n?n-1? d 2 d d= n +(a1- )n 配方. 转化为求二次函数的最值问题, 借助
2 2 2

函数单调性来解决. (2)邻项变号法: 当 a1>0,d<0 时,满足?
? ?an≥0, ?an+1≤0 ? ?an≤0, ? ? ?an+1≥0

的项数 n 使 Sn 取最大值.

当 a1<0,d>0 时,满足?

的项数 n 使 Sn 取最小值.

41

[活学活用] 4.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 解:(1)设{an}的公差为 d, 由已知条件,得?
? ?a1+d=1, ?a1+4d=-5, ?

解得 a1=3,d=-2. 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+

n?n-1? d=-n2+4n=4-(n-2)2.
2

所以 n=2 时,Sn 最大,且最大值为 4.

3.求等差数列前n项和

[典例] 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn.求 an 及 Sn. [解题流程]

42

[规范解答] 设等差数列{an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有
? ?a1+2d=7, ? ?2a1+10d=26, ?

?4分?

解得a1=3,d=2,?6分? 所以an=3+2?n-1?=2n+1,?9分?

n?n-1? 2 Sn=3n+ ?2=n +2n.?12分?
2 [名师批注] 解决等差数列问题时,有以下几点容易造成失分 (1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项 a1 和公差 d; (2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确; (3)判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项. [活学活用] 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d.由 a1=1,a3=-3 可得 1+2d =-3.解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)?(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n.所以 Sn= 2k-k =-35. 又 k∈N ,故 k=7 为所求.
* 2

n[1+?3-2n?]
2

=2n-n .进而由 Sk=-35,可得

2

[随堂即时演练] 1.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于( A.12 C.14 B.13 D.15 )

解析:选 B 由 S5=5a3=25,∴a3=5. ∴d=a3-a2=5-3=2. ∴a7=a2+5d=3+10=13. 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 B.35
43

)

C.49

D.63

解析:选 C 法一:设数列{an}公差为 d,
?a1+d=3, ? ? ? ?a1+5d=11,

解得?

?a1=1, ? ? ?d=2,

7?6 于是 S7=7?1+ ?2=49. 2 法二:由等差数列前 n 项和公式及性质知

S7=

7?a1+a7? 7?a2+a6? 7??3+11? = = =49. 2 2 2

3.已知数列的通项公式 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn= ________. 解析:∵an=-5n+2, ∴数列{an}是等差数列,且 a1=-3,公差 d=-5, ∴Sn=

n?-3-5n+2?
2

=-

n?5n+1?
2

.

答案:-

n?5n+1?
2

4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当 n=________时,前 n 项和 Sn 取最大值, 最大值是________. 解析:∵d=an+1-an=-4, ∴an=-4n+36. 令 an=-4n+36≥0,得 n≤9, ∴n=8 或 9 时,Sn 最大,且 S8=S9=144. 答案:8 或 9 144

5.在等差数列{an}中, (1)已知:a6=10,S5=5,求 a8; 48 (2)已知:a2+a4= ,求 S5. 5
?a6=10, ? 解:(1)由已知? ? ?S5=5 ?a1=-5, ? ?d=3, ?

a1+5d=10, ? ? 得? 5?5-1? 5a1+ d=5, ? 2 ?

解得?

所以 a8=a1+7d=-5+7?3=16(或 a8=a6+2d=10+2?3=16). 48 (2)由 a2+a4= 及等差数列的性质,知 5
44

a1+a5=a2+a4= ,
5?a1+a5? 5 48 所以 S5= = ? =24. 2 2 5 [课时达标检测] 一、选择题 1.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 C.22 B.20 D.24 )

48 5

解析:选 B 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0,

a1=a11+(1-11)d=0+(-10)?(-2)=20.
2.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10 等于( A.138 C.95 B.135 D.23 )

解析:选 C 由 a2+a4=4,a3+a5=10,可知 d=3,

a1=-4.∴S10=-40+

10?9 ?3=95. 2 )

3.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 a1 等于( A.5 或 7 C.7 或-1 解析:选 D 由题意,得?
? ?an=11, ?Sn=35, ?

B.3 或 5 D.3 或-1

a1+2?n-1?=11, ? ? 即? n?n-1? na1+ ?2=35. ? 2 ?
解得?
?n=5, ? ? ?a1=3,

或?

?n=7, ? ? ?a1=-1.

4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( A.63 C.36 B.45 D.27

)

解析:选 B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6 构成 等差数列.所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即 S9-S6=2S6-3S3=2?36-3?9=45. 5. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为( A.5 C.3 B.4 D.2
45

)

解析:选 C 由题意得 S 偶-S 奇=5d=15, ∴d=3.
?5a1+20d=15, ? 或由解方程组? ? ?5a1+25d=30

求得 d=3,故选 C.

二、填空题 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12,则{an}的通项 an=________. 解析:设{an}的公差为 d,

a1+5d=12, ? ? 则? 3?2 3a1+ d=12, ? 2 ?
解得?
?a1=2, ? ?d=2, ?

于是 an=2+(n-1)?2=2n. 答案:2n 7. (2011?天津高考)已知{an}是等差数列, Sn 为其前 n 项和, n∈N .若 a3=16, S20=20, 则 S10 的值为________. 解析:设{an}的首项,公差分别是 a1,d,则
*

a1+2d=16, ? ? ? 20??20-1? 20a1+ ?d=20, ? 2 ?
10?9 ∴S10=10?20+ ?(-2)=110. 2 答案:110

解得 a1=20,d=-2,

8.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a4=2a3,则 =________.

S7 S5

S7 7a4 7 a4 7 14 解析:由等差数列的性质知 = = ? = ?2= . S5 5a3 5 a3 5 5
14 答案: 5 三、解答题 9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, )(n∈N )均在函数 y=3x-2 的图象上.求数 列{an}的通项公式. 解:依题意得, =3n-2,即 Sn=3n -2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)-[3(n-1) -2(n-1)]=6n-5,
46
2 2

Sn n

*

Sn n

2

因 a1=S1=1,满足 an=6n-5, 所以 an=6n-5(n∈N ). 10.在等差数列{an}中,a10=18,前 5 项的和 S5=-15, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和的最小值,并指出何时取得最小值. 解:(1)设{an}的首项,公差分别为 a1,d.
*

a1+9d=18, ? ? 则? 5 5a1+ ?4?d=-15, ? 2 ?
解得 a1=-9,d=3, ∴an=3n-12. (2)Sn=

n?a1+an? 1
2

= (3n -21n) 2

2

3 7 2 147 = (n- ) - , 2 2 8 ∴当 n=3 或 4 时,前 n 项的和取得最小值为-18. _2.4 等比数列

第一课时 等比数列

等比数列的定义 [提出问题] 考察下面几个数列: (1)4,-4,4,-4,?; (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一 个格子里的麦粒数的 2 倍,且共有 64 个格子,各个格子里的麦粒数依次是 1,2,2 2 ,?,2 ; (3)某人年初投资 10 000 元,如果年收益率是 5%,那么按照复利,5 年内各年末的本利 和依次为 10 000?1.05,10 000?1.05 ,?,10 000?1.05 . 问题 1:上述三个例子中的数列,它们是等差数列吗? 提示:不是.
47
2 5 2, 3 63

问题 2:这三个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点? 提示:都等于同一个常数. [导入新知] 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一常数, 那么这个数列叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0). [化解疑难] 1.“从第 2 项起”,也就是说等比数列中至少含有三项; 2.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”; 3.“同一常数 q”,q 是等比数列的公比,即 q=

an an+1 或 q= .特别注意,q 不可以为 an-1 an

零,当 q=1 时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列. 等比中项 [提出问题] 问题:观察上面的三个数列,每个数列中任意连续三项间有何关系? 提示:中间一项的平方等于它前一项与后一项之积. [导入新知] 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a,b 的等比中 项,这三个数满足关系式 G=± ab. [化解疑难] 1.G 是 a 与 b 的等比中项,则 a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中 项.

G=± ab,即等比中项有两个,且互为相反数.
2.当 G =ab 时,G 不一定是 a 与 b 的等比中项.例如 0 =5?0,但 0,0,5 不是等比数 列. 等比数列的通项公式 [提出问题] 问题:若数列{an}为等比数列,公比为 q,则:
2 2

a2=a1q, a3=a2q=a1q2, a4=a3q=a1q3, a5=a4q=a1q4, ?, 由此你可以得出什么结论呢?
提示:an=a1q [导入新知] 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q(q≠0),则通项公式为:an=a1q [化解疑难] 1.在已知首项 a1 和公比 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q
n-1 n-1 n-1

.

.

可求出等比数列中的任
48

一项; 2.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 指数型函数.
n-1

,可改写为 an= ?q .当 q>0 且 q≠1 时,这是

a1 q

n

等比数列的判断与证明

?1? [例 1] 已知数列{an}是首项为 2,公差为-1 的等差数列,令 bn=? ?an,求证数 ?2?
列{bn}是等比数列,并求其通项公式. [解] 依题意 an=2+(n-1)?(-1)=3-n,

?1?3-n 于是 bn=? ? . ?2? ?1?3-n ? ? bn ?2? ?1?-1 而 = =? ? =2. bn-1 ?1?4-n ?2? ?2? ? ?
∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列,通项公式为 bn=2 [类题通法] 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法: 数列. (2)等比中项法:an+1=an?an+2(an≠0,n∈N )?{an}为等比数列. (3)通项公式法:an=a1q [活学活用] 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列. 证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1. 1 ∴an+1= an. 2 又∵S1=2-a1, ∴a1=1≠0. 1 又由 an+1= an 知 an≠0, 2
n-1
2 *

n-3

.

an+1 an =q(q 为常数且 q≠0)或 =q(q 为常数且 q≠0,n≥2)?{an}为等比 an an-1

(其中 a1,q 为非零常数,n∈N )?{an}为等比数列.

*

49



an+1 1 = . an 2

∴{an}是等比数列. 等比数列的通项公式 [例 2] 在等比数列{an}中, (1)a4=2,a7=8,求 an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n. [解]
? ?a4=a1q , (1)因为? 6 ?a7=a1q , ?
3

? ?a1q =2, 所以? 6 ?a1q =8, ?

3

① ②



② 3 3 3 得 q =4,从而 q= 4,而 a1q =2, ①

2 1 2n-5 n-1 于是 a1= 3= ,所以 an=a1q =2 . q 2 3
? ?a2+a5=a1q+a1q =18, ③ (2)法一:因为? 2 5 ?a3+a6=a1q +a1q =9, ④ ?
4



④ 1 得 q= ,从而 a1=32. ③ 2

?1?n-1 又 an=1,所以 32?? ? =1, ?2?
即2
6-n

=2 ,所以 n=6.

0

1 法二:因为 a3+a6=q(a2+a5),所以 q= . 2 由 a1q+a1q =18,得 a1=32. 由 an=a1q
n-1
4

=1,得 n=6.

[类题通法] 与求等差数列的通项公式的基本量一样, 求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程 的思想和方法. 从方程的观点看等比数列的通项公式, an=a1?q
n-1

(a1q≠0)中包含了四个量,

已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用 q≠0 验证求得的结果. [活学活用] 2.(1)若等比数列的前三项分别为 5,-15,45,则第 5 项是( A.405 C.135 B.-405 D.-135
2

)

(2)(2012?辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数列{an}的通项公式 an=________. 解析:(1)选 A ∵a5=a1q ,而 a1=5,q= =-3,
50
4

a2 a1

∴a5=405. (2)根据条件求出首项 a1 和公比 q,再求通项公式.由 2(an+an+2)=5an+1? 2q -5q+2 1 2 9 =0? q=2 或 ,由 a5=a10=a1q >0? a1>0,又数列{an}递增,所以 q=2. 2
4 2 9 n a2 5=a10>0? (a1q ) =a1q ? a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2 . 2

答案:(1)A (2)2

n

等比中项 [例 3] 设等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k 等 于( ) A.2 C.6
2

B.4 D.8

[解析] ∵an=(n+8)d,又∵ak=a1?a2k, ∴[(k+8)d] =9d?(2k+8)d,解得 k=-2(舍去),
2

k=4.
[答案] B [类题通法] 等比中项的应用主要有两点:①计算,与其它性质综合应用.可以简化计算、提高速度 和准确度.②用来判断或证明等比数列. [活学活用] 1 1 a+b 2 2 3.已知 1 既是 a 与 b 的等比中项,又是 与 的等差中项,则 2 的值是( a b a +b2 1 A.1 或 2 1 C.1 或 3 1 B.1 或- 2 1 D.1 或- 3 )

1 1 2 2 2 解析:选 D 由题意得,a b =(ab) =1, + =2,

a b

∴?

? ?ab=1, ?a+b=2 ?

或?

? ?ab=-1, ?a+b=-2. ?

因此

a+b 1 的值为 1 或- . a2+b2 3

51

4.求解等比中项中的误区

[典例] 等比数列{an}(an>0)满足 a1-a5=90,a2-a4=36,求 a5,a7 的等比中项. [解] 设该等比数列的公比为 q,首项为 a1,因 a1-a5=90,

a2-a4=36 得:
?a1-a1q =90, ? ? 3 ? ?a1q-a1q =36,
4

a1=96, ? ? 解得? 1 q= ? ? 2

或?

?a1=-6, ? ?q=2. ?

(舍)

?1?10 2 4 6 2 10 2 令 G 是 a5,a7 的等比中项,则应有 G =a5a7=a1q ?a1q =a1q =96 ?? ? =9, ?2?
所以 a5,a7 的等比中项是±3. [易错防范]

?1?5 5 1.误认为 a5,a7 的等比中项是 a6,故 a6=a1q =96?? ? =3. ?2?
2.要明确同号两数的等比中项 G 有两个且互为相反数,若 G 为 a,b 的等比中项,则 G =± ab. [成功破障] 1 等比数列{an}中,a1= ,q=2,则 a4 与 a8 的等比中项是 8 A.±4 1 C.± 4 B.4 D. 1 4

?1 5?2 2 3 7 5 2 解析:选 A 依题意得 a4?a8=(a1q )?(a1q )=(a1q ) =? ?2 ? =4 , ?8 ?
∴a4 与 a8 的等比中项为±4.

[随堂即时演练] 5 1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= ,则公比 q 等于( 4 )

52

A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.8
3

解析:选 B ∵{an}为等比数列,∴a4+a6=(a1+a3)q , 1 1 3 ∴q = ,∴q= . 8 2 2.已知等差数列{an}的公差为 3,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( A.9 C.-3 B.3 D.-9 )

解析:选 D a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3?2=a2+6, 由于 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a3=a1a4, 所以(a2+3) =(a2-3)(a2+6),解得 a2=-9. 3.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数 n,3an+1-an=0,则 an=________. 解析:∵3an+1-an=0, ∴
2 2

an+1 1 = , an 3

1 因此{an}是以 为公比的等比数列, 3

?1?n-1 又 a1=2,所以 an=2?? ? . ?3? ?1?n-1 答案:2?? ? ?3?
4.(2011?广东高考)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q =________. 解析:由题意得 2q -2q=4,解得 q=2 或 q=-1.又{an}单调递增,得 q>1,∴q=2. 答案:2 5.(1)已知{an}为等比数列,且 a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求 an. 9 1 2 (2)若等比数列{an}的首项 a1= ,末项 an= ,公比 q= ,求项数 n. 8 3 3 (3)若等比数列{an}中 an+4=a4,求公比 q.
?a1q =8, ? 解:(1)由已知得? 6 ?a1q =2, ?
4 2

1 ? ?q2= 4 得? ? ?a1=128



53

1 ? ?q= , ∵an>0,∴? 2 ? ?a1=128.

?1?n-1 8-n ∴an=128?? ? =2 . ?2?
(2)由 an=a1?q 1 9?2?n-1 得 = ? ? , 3 8?3?
n-1



?2?n-1 ?2?3 即? ? =? ? ,得 n=4. ?3? ?3?
(3)∵an+4=a4q
(n+4)-4

=a4q ,

n

又 an+4=a4,∴q =1, ∴当 n 为偶数时,q=±1;当 n 为奇数时,q=1. [课时达标检测] 一、选择题 2a1+a2 1.设 a1,a2,a3,a4 成等比数列,其公比为 2,则 的值为( 2a3+a4 A. C. 1 4 1 8
2

n

)

B.

1 2

D.1 2a1+a2 1 1 = 2= . q ?2a1+a2? q 4

解析:选 A 原式=

1 2.已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么-13 是此数列的第________ 2 项( ) A.2 C.6 B.4 D.8
2

解析:选 B 由 x,2x+2,3x+3 成等比数列,可知(2x+2) =x(3x+3),解得 x=-1 或-4,又当 x=-1 时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4, 3 ?3?n-1 由-4?3?n-1=-131, ∴该数列是首项为-4, 公比为 的等比数列, 其通项 an=-4? ? , ?2? 2 2 ?2? ? ? 得 n=4. 3.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,a 是 b,c 的等比中项,且 a+3b+c=10, 则 a 的值是( A.1 C.-3 ) B.-1 D.-4
54

2b=a+c, ? ? 2 解析:选 D 由题意,得?a =bc, ? ?a+3b+c=10, 解得 a=-4,b=2,c=8. 4.若 a,b,c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0( A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根 C.必无实根 D.以上三种情况均有可能 解析:选 C ∵a,b,c 成等比数列, ∴b =ac>0. 又∵Δ =b -4ac=-3ac<0, ∴方程无实数根. 5.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an 等于( A.(-2) C.(-2)
n-1
2 2 2

)

)

B.-(-2

n-1

)

n

D.-(-2)
4

n

解析:选 A 设公比为 q,则 a1q =-8a1q, 又 a1≠0,q≠0,所以 q =-8,q=-2, 又 a5>a2,所以 a2<0,a5>0, 从而 a1>0,即 a1=1,故 an=(-2) 二、填空题 6.等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,则 an=________.
n-1
3

.

a3 2 -8 2 解析:∵ =q ,∴q = =4,即 q=±2. a1 -2
当 q=-2 时,an=a1q 当 q=2 时,an=a1q 答案:(-2) 或-2
n n-1

=-2?(-2)
n-1

n-1

=(-2) ;

n

n-1

=-2?2

=-2 .

n

n

7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则 a4=________. 解析:设公比为 q,则 a1q =3,a1q =384, 所以 q =128,q=2,故 a4=a3q=3?2=6. 答案:6 8.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________. 解析:由 an=2Sn-3 得 an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得 an-an-1=2an(n≥2),
7 2 9

55

∴an=-an-1(n≥2),

an =-1(n≥2). an-1

故{an}是公比为-1 的等比数列, 令 n=1 得 a1=2a1-3,∴a1=3,故 an=3?(-1) 答案:an=3?(-1) 三、解答题 9.数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项,若
n-1 n-1

.

b2=5,求 bn.
解:∵{an}是等差数列, ∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d, 又 a5,a8,a13 是等比数列{bn}中相邻的三项, ∴a8=a5a13,即(a1+7d) =(a1+4d)(a1+12d), 解得 d=2a1.
2 2

a8 5 设等比数列{bn}的公比为 q(q≠0),则 q= = , a5 3
5 又 b2=b1q=5,即 b1=5,解得 b1=3, 3

?5?n-1 ∴bn=3?? ? . ?3?
10.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)法一:因为 an+1=2an+1, 所以 an+1+1=2(an+1). 由 a1=1,知 a1+1≠0,从而 an+1≠0. 所以

an+1+1 * =2(n∈N ).所以数列{an+1}是等比数列. an+1

法二:由 a1=1,知 a1+1≠0,从而 an+1≠0. ∵

an+1+1 2an+1+1 2?an+1? * = = =2(n∈N ), an+1 an+1 an+1

∴数列{an+1}是等比数列. (2)由(1)知{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an+1=2?2 =2 ,即 an=2 -1.
n n n-1

第二课时 等比数列的性质

56

等比数列性质的应用

1 2 [例 1] (2012?广东高考)(1)若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a3a5=________. 2 (2)已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求 a11 的值. 1 1 1 2 2 (1)[解析] 等比数列{an}中,因为 a2a4= ,所以 a3=a1a5=a2a4= ,所以 a1a3a5= . 2 2 4 [答案] 1 4

(2)[解] ∵{an}为等比数列, ∴a1?a9=a3?a7=64. 又∵a3+a7=20, ∴a3,a7 是方程 t -20t+64=0 的两个根. ∵t1=4,t2=16, ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4. ①当 a3=4,a7=16 时,
2

a7 4 8 2 =q =4,此时 a11=a3q =4?4 =64. a3
②当 a3=16,a7=4 时,

a7 4 1 ?1?2 8 =q = ,此时 a11=a3q =16?? ? =1. a3 4 ?4?
[类题通法] 等比数列常用性质 (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ), 则 am?an=ap?aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N ),则 am?an=ap. (2) =q
* 2 *

an am

n-m

(m,n∈N ).

*

(3)在等比数列{an}中,每隔 k 项取出一项,取出的项,按原来顺序组成新数列,该数 列仍然是等比数列. 1 (4)数列{an}为等比数列,则数列{λ an}(λ 为不等于 0 的常数){ }仍然成等比数列.

an

[活学活用]
57

1.(1)在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=12,则 a10= ________. (2)在等比数列{an}中,若 a7=-2,则此数列的前 13 项之积等于________. 解析:(1)法一:设{an}的公比为 q,则? 解得 q =6, ∴a10=a1q =a1q?(q ) =2?36=72. 法二:∵{an}是等比数列, ∴a6=a2?a10,
2 9 4 2 4

?a1q=2, ? ? ?a1q =12,
5

a6 12 144 于是 a10= = = =72. a2 2 2
(2)由于{an}是等比数列, ∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a7, ∴a1a2a3?a13=(a7) ?a7=a7 ,
2 6 13 2

2

2

而 a7=-2. ∴a1a2a3?a13=(-2) =-2 . 答案:(1)72 (2)-2
13 13 13

灵活设元求解等比数列 [例 2] 已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数. [解] 法一:设三个数依次为 a,aq,aq ,
?a?aq?aq =27, ? 由题意知? 2 2 2 2 4 ?a +a q +a q =91, ? ? ??aq? =27, ∴? 2 2 4 ?a ?1+q +q ?=91. ?
3 2 2

即?

?aq=3, ? ? ?a ?1+q +q ?=91.
2 2 4

q 9 解得 , 2 4= 1+q +q 91

2

1 4 2 2 2 得 9q -82q +9=0,即得 q =9 或 q = , 9 1 ∴q=±3 或 q=± , 3 若 q=3,则 a1=1;若 q=-3,则 a1=-1; 1 1 若 q= ,则 a1=9;若 q=- ,则 a1=-9. 3 3
58

故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1. 法二:设这三个数分别为 ,a,aq.

a q

a ? ?q?a?aq=27, ?a ? ?q +a +a q =91
2 2 2 2 2

a=3, ? ? ?? 2 1 a ? 2+1+q2?=91, ? q ?

得 9q -82q +9=0, 1 2 2 即得 q = 或 q =9. 9 1 ∴q=± 或 q=±3. 3 故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1. [类题通法] 三个数或四个数成等比数列的设元技巧: (1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq 或 ,a,aq; (2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq ,aq ;若四个数均为正(负)数,可设 3, ,
2 3 2

4

2

a q

a q

a q

aq,aq3.
[活学活用] 2.在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入 的两个数的和为( 1 A.-4 或 17 2 C.4 ) 1 B.4 或 17 2 1 D.17 2

解析:选 B 设插入的第一个数为 a,则插入的另一个数为 . 2 由 a, ,20 成等差数列得 2? =a+20. 2 2 ∴a -a-20=0,解得 a=-4 或 a=5. 当 a=-4 时,插入的两个数的和为 a+ =4. 2
2

a2

a2

a2

a2

a 1 当 a=5 时,插入的两个数的和为 a+ =17 . 2 2
等比数列的实际应用

2

59

[例 3] 某工厂 2011 年 1 月的生产总值为 a 万元,计划从 2011 年 2 月起,每月生产总 值比上一个月增长 m%,那么到 2012 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元? [解] 设从 2011 年 1 月开始,第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元,则 an+1=an+anm%, ∴

an+1 =1+m%. an

∴数列{an}是首项 a1=a,公比 q=1+m%的等比数列. ∴an=a(1+m%)
n-1

.
20-1

∴2012 年 8 月底该厂的生产总值为 a20=a(1+m%) [类题通法]

=a(1+m%) (万元).

19

数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系, 建立数学模型是解决这 类问题的核心,常用的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求 和公式解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解. [活学活用] 3. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB, 然后每 3 分钟自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后________分钟,该病毒占据内存 64 MB(1 MB= 2
10

KB). 解析:由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,令病毒占据 64 MB

时自身复制了 n 次,即 2?2 =64?2 =2 ,解得 n=15,从而复制的时间为 15?3=45 分 钟. 答案:45

n

10

16

3.等差数列和等比数列的性质对比

等差数列和等比数列从文字看,只是一字之差,但定义和性质相差甚远,下面对两类数 列的性质作一比对,若等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 【性质 1】 等差数列{an},当 d=0 时,数列为常数列,当 d>0 时,数列为递增数列, 当 d<0 时,数列为递减数列;等比数列{bn},当 q>1,b1>0 或 0<q<1,b1<0 时,数列 {an}是递增数列,当 q>1,b1<0 或 0<q<1,b1>0 时,数列{bn}是递减数列,当 q=1 时, 数列{bn}是常数列. [例 1] 设{an}是首项大于零的等比数列, 且 a1<a2<a3, 则数列{an}是________数列(填 “递增”、“递减”、“摆动”).
60

[解析] 设数列{an}的公比为 q(q≠0),因为 a1<a2<a3,所以 a1<a1q<a1q ,解得 q> 1,且 a1>0,所以数列{an}是递增数列. [答案] 递增 【性质 2】 等差数列{an}满足 an=am+(n-m)d(m, n∈N ), 等比数列{bn}满足 bn=bm?q
-m *

2

n

(m,n∈N ). (当 m=1 时,上述式子为通项公式). [例 2] 已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0,则{an}的通项公式为________. [解析] 因 a6=a3+3d,则 0=-6+3d,得 d=2, ∴an=a3+(n-3)d=-6+(n-3)?2=2n-12. [答案] 2n-12 【性质 3】 若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ),等差数列{an}满足 am+an=ap+aq,特别
*

*

地,若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项 之和,即 a1+an=a2+an-1=?=ai+1+an-i=?(n∈N ). 等比数列{bn}满足 bmbn=bpbq 特别地, 数列{bn}是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项 的积相等,且等于首末两项之积,即 b1?bn=b2?bn-1=b3?bn-2=?=bm?bn-m+1. [例 3] (1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 若 a3+a17=10,则 S19 的值是( A.55 C.100 B.95 D.105 ) )
*

(2)在等比数列{an}中,若 a2?a8=36,a3+a7=15,则公比 q 值的个数可能为( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

19?a1+a19? 19?a3+a17? 19?10 [解析] (1)S19= = = =95. 2 2 2 (2)∵a2?a8=a3?a7, ∴由?
?a3?a7=36, ? ?a3+a7=15, ?

解得 a3=3,a7=12,或 a3=12,a7=3. 若 a3=3,a7=12,则有 12=3?q , ∴q =4, ∴q =2,q=± 2. 若 a3=12,a7=3,则有 3=12?q , 1 1 2 4 2 ∴q = ,q = ,q=± . 4 2 2 ∴q 的值可能有 4 个.
4 2 4 4

61

[答案] (1)B (2)D. 【性质 4】 在等差(比)数列中,每隔 k 项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列 仍为等差(比)数列,公差为(k+1)d,(公比为 q 两数列对应项和(积)构成等差(比)数列. [例 4] 在 1 和 16 之间插入三个正数 a,b,c 使 1,a,b,c,16 成等比数列,求 a+b +c 的值. [解] ∵1,a,b,c,16 成等比数列, ∴1,b,16 为等比数列.∴b=4. ∴1,a,b 也成等比数列,b,c,16 也成等比数列. ∴a=2,c=8. ∴a+b+c=2+4+8=14.
k+1

),若两个数列分别成等差(比)数列,则

[随堂即时演练] 1. 将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2, a2a3, a3a4, ?. 此数列是( ) B.公比为 q 的等比数列 D.不一定是等比数列
2

A.公比为 q 的等比数列 C.公比为 q 的等比数列 解析:选 B 由于
2 3

anan+1 an an+1 2 * = ? =q?q=q ,n≥2 且 n∈N , an-1an an-1 an

∴{anan+1}是以 q 为公比的等比数列,故选 B. 2.若 1,a1,a2,4 成等差数列;1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 1 A.- 2 1 C.± 2 B. D. 1 2 1 4

a1-a2 的值等于( b2

)

解析:选 A ∵1,a1,a2,4 成等差数列, ∴3(a2-a1)=4-1, ∴a2-a1=1. 又∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q,则 b2=1?4=4,且 b2=1?q >0, ∴b2=2,
2 2

62



a1-a2 -?a2-a1? 1 = =- . b2 b2 2

3.在等比数列{an}中,a888=3,a891=81,则公比 q=________. 解析:∵a891=a888q ∴q =
3 891-888

=a888q ,

3

a891 81 = =27. a888 3

∴q=3. 答案:3 4.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则 a4+a8=________. 解析:∵a6a10=a8,a3a5=a4, ∴a4+a8=41, 又 a4a8=4, ∴(a4+a8) =a4+a8+2a4a8=41+8=49, ∵数列各项都是正数, ∴a4+a8=7. 答案:7 5.已知数列{an}为等比数列. (1)若 a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求 an; (2)若 a3a5=18,a4a8=72,求公比 q. 解:(1)∵a1a2a3=a2=216,∴a2=6, ∴a1a3=36. 又∵a1+a3=21-a2=15, ∴a1,a3 是方程 x -15x+36=0 的两根 3 和 12. 当 a1=3 时,q= =2,an=3?2
2 3 2 2 2 2 2 2 2

a2 a1

n-1



1 ?1?n-1 当 a1=12 时,q= ,an=12?? ? . 2 ?2? (2)∵a4a8=a3q?a5q =a3a5q =18q =72, ∴q =4,∴q=± 2. [课时达标检测] 一、选择题 1 1.等比数列{an}的公比 q=- ,a1= 2,则数列{an}是( 4 A.递增数列 C.常数数列 B.递减数列 D.摆动数列 )
4 3 4 4

63

1 解析:选 D 由于公比 q=- <0, 4 所以数列{an}是摆动数列. 2.已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则 a8 的值( A.35 C.21 3 解析:选 B ∵{an}成等比数列. ∴a4,a6,a8 成等比数列 21 2 ∴a6=a4?a8,即 a8= =63. 7 3.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9 等于( A.81 C.3 解析:选 A 3 B.27 27 D.243 因为数列 {an} 是等比数列,且 a1 = 1 , a10 = 3 ,所以 a2a3a4a5a6a7a8a9 =
4 4 2

)

B.63 D.±21 3

)

(a2a9)?(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10) =3 =81.故选 A. 4.设数列{an}为等比数列,则下面四个数列: ①{an};②{pan}(p 为非零常数);③{an?an+1};④{an+an+1}.其中是等比数列的有几 个( ) A.1 C.3 解析:选 D ①∵ ②∵ ③∵ ④∵ B.2 D.4
3

a3 n+1 ?an+1?3=q3,故{a3}是等比数列; =? ? n a3 n ? an ?

pan+1 an+1 = =q,故{pan}是等比数列; pan an an?an+1 an+1 2 = =q ,故{an?an+1}是等比数列; an-1?an an-1 an+an+1 q?an-1+an? = =q,故{an+an+1}是等比数列. an-1+an an-1+an
)

5. 已知等比数列{an}中, a3a11=4a7, 数列{bn}是等差数列, 且 b7=a7, 则 b5+b9 等于( A.2 C.8 B.4 D.16
2

解析:选 C 等比数列{an}中,a3a11=a7=4a7,解得 a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9= 2b7=2a7=8. 二、填空题 6.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a7+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,
64
2

则 b6b8=________. 解析:∵2a3-a7+2a11=2(a3+a11)-a7 =4a7-a7=0, ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4. ∴b6b8=b7=16. 答案:16 7.画一个边长为 2 厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第 2 个正方形,以 第 2 个正方形的对角线为边画第 3 个正方形, 这样一共画了 10 个正方形, 则第 10 个正方形 的面积等于________平方厘米. 解析:这 10 个正方形的边长构成以 2 为首项, 2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10,n ∈N ), 则第 10 个正方形的面积 S=a10=2 ?2 =2 =2 048. 答案:2048 8.在等比数列{an}中,a7?a11=6,a4+a14=5,则 解析:∵{an}是等比数列, ∴a7?a11=a4?a14=6, 又 a4+a14=5, ∴?
? ?a4=2, ?a14=3, ?
2 2 9 11 * 2 2 2 2

a20 =________. a10

或?

? ?a4=3, ?a14=2, ?



a14 10 =q , a4

2 3 10 10 ∴q = 或 q = . 3 2 而

a20 10 a20 2 a20 3 =q ,∴ = 或 = . a10 a10 3 a10 2

2 3 答案: 或 3 2 三、解答题 9.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三 个数的和为 6,求这三个数. 解:由已知,可设这三个数为 a-d,a,a+d,则

a-d+a+a+d=6,∴a=2,
这三个数可表示为 2-d,2,2+d, ①若 2-d 为等比中项,则有(2-d) =2(2+d),
2

65

解之得 d=6,或 d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8. ②若 2+d 是等比中项,则有(2+d) =2(2-d), 解之得 d=-6,或 d=0(舍去). 此时三个数为 8,2,-4. ③若 2 为等比中项,则 2 =(2+d)?(2-d), ∴d=0(舍去). 综上可求得此三数为-4,2,8. 10.如图所示,在边长为 1 的等边三角形 A1B1C1 中, 连结各边中点得 △A2B2C2,再连结△A2B2C2 的各边中点得△A3B3C3,?,如此继续下去,试 证明数列 S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,?是等比数列. 解:由题意,得△AnBnCn(n=1,2,3?)的边长 AnBn 是首项为 1,公比 3?1?2n ?2? 4 1 1 ? ? 1 3 S △ A B C n + 1 n + 1 n + 1 ? ?n-1 ? ?2n-2 为 的等比数列,故 AnBn=? ? ,所以 S△AnBnCn= ? ? ,所以 = 2 4 ?2? S△AnBnCn ?2? 3?1?2n-2 ? ? 4 ?2? 1 = . 4 因此,数列 S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,?是等比数列.
2 2

_2.5 等比数列的前 n 项和

第一课时 等比数列的前 n 项和

等比数列的前 n 项和公式 [提出问题] 已知等比数列{an}, 公比为 q, Sn 是其前 n 项的和, 则 Sn=a1+a2+?+an=a1+a1q+a1q +?+a1q
n-1
2

.

问题 1:若 q=1,则 Sn 与 a1 有何关系? 提示:Sn=na1. 问题 2:若 q≠1,你能用 a1,q 直接表示 Sn 吗?如何表示? 提示:∵Sn=a1+a1q+a1q +?+a1q 两边同乘以 q,可得:
66
2

n-1



qSn=a1q+a1q2+?+a1qn-1+a1qn②
①-②得: (1-q)Sn=a1-a1q , ∴当 q≠1 时,Sn=
n

a1?1-qn? . 1-q

[导入新知] 等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项 a1 与公比 q 首项 a1,末项 an 与公比 q

公式

Sn=
错误!

na1?q=1?, ? ? Sn=?a1-anq ?q≠1? ? ? 1-q

[化解疑难] 1.在运用等比数列的前 n 项和公式时,一定要注意对公比 q 的讨论(q=1 或 q≠1). 2.当 q≠1 时,若已知 a1 及 q,则用公式 Sn=

a1?1-qn? 较好;若已知 an,则用公式 1-q

a1-anq Sn= 较好. 1-q

等比数列的前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中, (1)若 a1=1,a5=16,且 q>0,求 S7; (2)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 3 9 (3)若 a3= ,S3= ,求 a1 和公比 q. 2 2 [解] (1)因{an}为等比数列且 a1=1,a5=16 ∴a5=a1q ∴16=q
4 4

∴q=2(负舍)

a1?1-q7? 1-27 ∴S7= = =127. 1-q 1-2

67

a1?1-2n? ? ? 189 = , a1?1-qn? n-1 1-2 (2)法一:由 Sn= ,an=a1q 以及已知条件得? 1-q ? ?96=a1?2n-1.
∴a1?2 =192, 192 n ∴2 = .
n

a1

∴189=a1(2 -1)=a1?
n

?192-1?, ? ? a1 ?

∴a1=3. 又∵2
n-1

96 = =32, 3

∴n=6. 法二:由公式 Sn= 189=

a1-anq 及条件得 1-q
n-1

a1-96?2
1-2
n-1

,解得 a1=3,又由 an=a1?q



得 96=3?2

,解得 n=6.

(3)①当 q≠1 时,S3= 3 2 又 a3=a1?q = , 2 9 2 ∴a1(1+q+q )= , 2 9 2 即 2(1+q+q )= , q 2 3 2

a1?1-q3? 9 = , 1-q 2

1 解得 q=- (q=1 舍去), 2 ∴a1=6. ②当 q=1 时,S3=3a1, 3 ∴a1= . 2

a1=6, ? ? 综上得? 1 q=- , ? 2 ?
[类题通法]

3 ? ?a1= , 2 或? ? ?q=1.

在等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1 与 q 是最基本的元素,当条件与结论 间的联系不明显时,均可以用 a1 与 q 表示 an 与 Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常
68

用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. [活学活用] 1.在等比数列{an}中, (1)若 q=2,S4=1,求 S8. 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S5; 4 解:(1)设首项为 a1, ∵q=2,S4=1, ∴

a1?1-24?
1-2

1 =1,即 a1= , 15
8

1 8 ?1-2 ? a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 (2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得

a1+a1q =10, ? ? ? 3 5 a1q +a1q5= , ? 4 ? a1?1+q ?=10 ? ? 即? 3 5 a1q ?1+q2?= ② ? 4 ?
2 2

2



∵a1≠0,1+q ≠0,∴②÷①得,

q3= ,即 q= ,
∴a1=8.

1 8

1 2

?1?3 3 ∴a4=a1q =8?? ? =1, ?2? ? ?1?5? 8??1-? ? ? a1?1-q ? ? ?2? ? 31 S5= = = 1-q 1 2 1- 2
5

等比数列前 n 项和的性质 [例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S4=2, S8=6, 求 a17+a18+a19+a20 的值. [解] 由等比数列前 n 项和的性质,可知 S4,S8-S4,S12-S8,?,S4n-S4n-4,?成等 比数列. 由题意可知上面数列的首项为 S4=2,公比为 所以 a17+a18+a19+a20=S20-S16=2 =32.
69
5

S8-S4 n =2,故 S4n-S4n-4=2 (n≥2), S4

[类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质 (1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,?成等比数列(其 中 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?均不为 0),这一性质可直接应用. (2)等比数列的项数是偶数时, 等比数列的项数是奇数时, [活学活用] 2.(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( A.2 C. 8 3 B. 7 3

S偶 =q; S奇

S奇-a1 =q. S偶

S6 S3

S9 S6

)

D.3

解析:(1)设公比为 q(q≠0),则题意知 q≠-1,根据等比数列前 n 项和的性质,得 = ?1+q ?S3 3 =1+q =3,
3

S6 S3

S3

即 q =2. 于是 = 答案:B (2)等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比

3

S9 1+q3+q6 1+2+4 7 = = . 3 S6 1+q 1+2 3

q=________.
解析:由题意知:?
? ?S奇=-80, ?S偶=-160. ? ?S奇+S偶=-240, ? ?S奇-S偶=80, ?

∴?

∴公比 q=

S偶 -160 = =2. S奇 -80

答案:2 等比数列的综合应用 [例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. [解] (1)∵S1,S3,S2 成等差数列, ∴2S3=S1+S2,显然{an}的公比 q≠1,
70

2a1?1-q ? a1?1-q ? 于是 =a1+ , 1-q 1-q 即 2(1+q+q )=2+q, 整理得 2q +q=0, 1 ∴q=- (q=0 舍去). 2 1 (2)∵q=- , 2 又 a1-a3=3, 1 2 ∴a1-a1?(- ) =3, 2 解得 a1=4.
2 2

3

2

? ? 1?n? 4?1-?- ? ? ? ? 2? ? 8? ? 1?n? 于是 Sn= = ?1-?- ? ?. 1? 3? ? 2? ? ? 1-?- ? ? 2?
[类题通法] 在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的 定义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键. [活学活用] 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-n ,an=log5bn,其中 bn>0,求数列{bn}的前 n 项 和 Tn. 解:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n-n )-[2(n-1)-(n-1) ]=-2n+3, 当 n=1 时,a1=S1=2?1-1 =1 也适合上式, ∴{an}的通项公式 an=-2n+3(n∈N ). 又 an=log5bn, ∴log5bn=-2n+3, 于是 bn=5 ∴
-2n+3 * 2 2 2 2

,bn+1=5

-2n+1



bn+1 5-2n+1 -2 1 = =5 = . bn 5-2n+3 25

1 -2+3 因此{bn}是公比为 的等比数列,且 b1=5 =5, 25

? ? 1 ?n? 5?1-? ? ? ? ?25? ? 于是{bn}的前 n 项和 Tn= 1 1- 25

71



125? ? 1 ?n? ?1-? ? ?. 24 ? ?25? ?

5.等比数列求和中的误区

[典例] 设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q. [解]当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;

a1?1-q3? 2 当 q≠1 时, =3a1q , 1-q
因为 a1≠0,所以 1+q+q =3q , 2q -q-1=0, 1 解得 q=- . 2 1 综上所述,公比 q 的值是 1 或- . 2 [易错防范] 1.易忽视 q=1 这一情况,从而得出错解. 2.在用等比数列求和公式求和前,先看公比 q,若其中含有字母,就应按 q=0,q=1,
2 2 2

q≠0 且 q≠1 讨论.
[成功破障] 已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求 a3 和 q. 解:若 q=1,则 S3=3a1=6,符合题意. 此时,q=1,a3=a1=2. 若 q≠1,则由等比数列的前 n 项和公式, 得 S3=

a1?1-q3? 2?1-q3? = =6, 1-q 1-q

解得 q=1(舍去)或 q=-2. 此时,a3=a1q =2?(-2) =8. 综上所述,q=1,a3=2 或 q=-2,a3=8.
2 2

72

[随堂即时演练] 1.数列{2 A.2 -1 C.2 -1 解析:选 C 数列{2 =2 -1. 2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比 q 等于( A.2 C.4 B. D. 1 2 1 4 )
99 99 100

n-1

}的前 99 项和为(

) B.1-2 D.1-2
100

99

n-1

1-2 }为等比数列,首项为 1,公比为 2,故其前 99 项和为 S99= 1-2

99

解析:选 C a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得 a4-a3=3a3 即 a4=4a3,∴q =4. 3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则 a1=________. 解析:∵q=2,n=5,Sn=62, ∴

a1?1-qn? a1?1-25? =62,即 =62, 1-q 1-2

∴a1=2. 答案:2 4. 等比数列{an}的前 5 项和 S5=10, 前 10 项和 S10=50, 则它的前 15 项和 S15=________. 解析:由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,

S15-S10 成等比数列,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),
即(50-10) =10(S15-50),解得 S15=210. 答案:210 5.在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; (2)若 Sn=189,a1=3,an=96,求 q 和 n. 解:(1)由题意知?
?a1?1+q?=30, ? ? ?a1?1+q+q ?=155,
2 2

?a1=5, ? 解得? ?q=5 ?

a1=180, ? ? 或? 5 q=- , ? 6 ?

73

1 5 n+1 从而 Sn= ?5 - 4 4

? ? 5?n? 1 080??1-?- ? ? ? ? 6? ? 或 Sn= . 11
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189, ∴ 3-96q =189. 1-q

∴q=2. ∴an=a1q
n-1

. .

∴96=3?2

n-1

∴n=5+1=6.

[课时达标检测]

一、选择题 1.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( A.135 C.95 B.100 D.80 )

解析:选 A 由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列,其首项 60 3 为 40,公比为 = . 40 2 3 3 ∴a7+a8=40?( ) =135. 2 2. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 4a1,2a2, a3 成等差数列. 若 a1=1, 则 S4 等于( A.7 C.15 解析:选 C 设{an}的公比为 q, ∵4a1,2a2,a3 成等差数列, ∴4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q , 即 q -4q+4=0, ∴q=2, 又 a1=1, 1-2 ∴S4= =15,故选 C. 1-2
4 2 2

)

B.8 D.16

74

?1? 3.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( A. C. 15 或5 8 31 16

) B. D. 31 或5 16 15 8

解析:选 C 易知公比 q≠1.

a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6,得 9? = , 1-q 1-q
解得 q=2.
?1? 1 ∴? ?是首项为 1,公比为 的等比数列. 2 ?an?

?1?5 1-? ? ?2? 31 ∴其前 5 项和为 = . 1 16 1- 2
4.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 C.35 解析:选 B 根据等比数列性质得 ∴ B.33 D.37 )

S10-S5 5 =q , S5

S10-1
1

=2 ,∴S10=33.

5

5.等比数列{an}的公比 q<0,已知 a2=1,an+2=an+1+2an,则{an}的前 2 010 项和等 于( ) A.2 010 C.1 解析:选 D 由 an+2=an+1+2an 得 q
2

B.-1 D.0
n+1

=q +2q

n

n-1



即 q -q-2=0,又 q<0,解得 q=-1, 又 a2=1,∴a1=-1,

S2 010=

-1?[1-?-1? 1-?-1?

2 010

] =0.

二、填空题 1 S4 6.设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 = 2 a4 ________.

75

解析:对于 S4= ∴ =

a1?1-q4? 3 ,a4=a1q , 1-q

4 S4 1-q =15. 3 a4 q ?1-q?

答案:15 7.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公比 q= ________. 解析:设{an}的公比为 q,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q ,首项为 a1,
2

a1[1-?q ? ] a1?1-q2n? S2n= ,S 奇= . 2 1-q 1-q
2

n

由题意得

a1?1-q2n? 3a1?1-q2n? = , 2 1-q 1-q

∴1+q=3, ∴q=2. 答案:2 1 1 8.已知等比数列的前 10 项中,所有奇数项之和为 85 ,所有偶数项之和为 170 ,则 S 4 2 =a3+a6+a9+a12 的值为________. 解析:设公比为 q,

S ? ?S =q=2, 由? a [1-?q ? ] 1 S = =85 , ? ? 1-q 4
偶 奇 2 5 1 奇 2

1 ? ?a1= , 4 得? ? ?q=2. ∴S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q +q +q ) 1-q 2 =a1q ? 3 =585. 1-q 答案:585 三、解答题 9.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.
?a1q=6, ? 解:设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ?6a1+a1q =30, ?
12 3 6 9

解得?

? ?a1=3, ?q=2, ?

或?

? ?a1=2, ?q=3. ? 76

当 a1=3,q=2 时,an=3?2 当 a1=2,q=3 时,an=2?3

n-1

,Sn=3(2 -1); ,Sn=3 -1.
n

n

n-1

1 1 10.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 ?1?n-1 1 解:(1)证明:因为 an= ?? ? = n, 3 ?3? 3 1? 1? 1 ?1- n? 1-3n 3? 3 ? Sn= = , 1 2 1- 3 1-an 所以 Sn=- . 2 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an=-(1+2+?+n)=- 所以{bn}的通项公式为 bn=-

n?n+1?
2

.

n?n+1?
2

.

第二课时 数列求和(习题课)

1.等差数列和等比数列求和公式是什么?其公式是如何推导的?

2.等差数列和等比数列的性质有哪些?

分组转化法求和 1 1 1 [例 1] 已知数列{cn}:1 ,2 ,3 ,?,试求{cn}的前 n 项和. 2 4 8
77

[解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn, 1 1 1 ? ?1?n? 则 Sn=1 +2 +3 +?+?n+? ? ? 2 4 8 ? ?2? ?

?1 1 1 ?1?n? =(1+2+3+?+n)+? + + +?+? ? ? ?2? ? ?2 4 8
1? ?1?n? 1-? ? ? ? n?n+1? 2? ?2? ? = + 2 1 1- 2 =

n?n+1?
2

?1?n +1-? ? . ?2?
n2+n

即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= [类题通法]

?1?n +1-? ? . 2 ?2?

当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列, 但如果它的通项公式可以拆分为几项的 和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前 n 项和 等于拆分成的每个数列前 n 项和的和. [活学活用]
n个 ? ? ? ? ? 1.求和:Sn=3+33+333+?+ 333? 3 . n个 ? ? ? ? ? 解:数列 3,33,333,?, 333? 3 的通项公式

an= (10n-1).
1 1 1 2 n ∴Sn= (10-1)+ (10 -1)+?+ (10 -1) 3 3 3 1 n 2 n = (10+10 +?+10 )- 3 3 1 10?1-10 ? n = ? - 3 1-10 3 = 10 n n (10 -1)- . 27 3 错位相减法求和 [例 2] (2012?浙江高考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N ,数列 {bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N . (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. [解]
78
* 2 *

1 3

n

(1)由 Sn=2n +n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1, 所以 an=4n-1,n∈N . 由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2 (2)由(1)知 an?bn=(4n-1)?2
2 *

2

n-1

,n∈N .
*

*

n-1

,n∈N ,
n-1,

所以 Tn=3+7?2+11?2 +?+(4n-1)?2 +(4n-1)?2 ,
n

2Tn=3?2+7?2 +?+(4n-5)?2

2

n-1

所以 2Tn-Tn=(4n-1)2 -[3+4(2+2 +?+2 故 Tn=(4n-5)2 +5,n∈N . [类题通法]
n
*

n

2

n-1

)]=(4n-5)2 +5.

n

如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an?bn}的前 n 项和时,可采用错位 相减法. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写 出“Sn-qSn”的表达式. [活学活用] 2.已知 an= n,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3 1 2 3 n-1 n 解:Sn= + 2+ 3+?+ n-1 + n, 3 3 3 3 3 1 1 2 n-1 n Sn= 2+ 3+?+ n + n+1, 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1 3 3 3 3 3 3 1? 1? ?1- n? 3? 3 ? n 1 1 n = - n+1= - n- n+1, 1 3 2 2?3 3 1- 3 3 1 n 3 2n+3 ∴Sn= - n-1- n= - n. 4 4?3 2?3 4 4?3 裂项相消法求和 [例 3] 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 * (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1
2

n

[解](1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26,

79

∴a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2. 由于 an=a1+(n-1)d,Sn=

n?a1+an?
2



∴an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)∵an=2n+1, ∴an-1=4n(n+1), 1 ? 1 1?1 因此 bn= = ? - ?. 4n?n+1? 4?n n+1? 故 Tn=b1+b2+?+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 = ?1- + - +?+ - 2 2 3 n n+1? 4? ? 1 ? 1? = ? 1- n+1? 4? ? =
2

n . 4?n+1?
. 4?n+1?

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= [类题通法]

n

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解, 然后重新组合使之能消去一些项, 最终达 到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项 一定要是同一数列相邻(相间)的两项,即这两项的结论应一致. [活学活用] 3.在数列{an}中,an= 的和. 解:an= ∵bn= ∴bn= 1 n (1+2+?+n)= , n+1 2 2 2 ? 2 2 , 1 1 =8( - ), n n+1 1 2 n 2 + +?+ ,且 bn= ,求数列{bn}的前 n 项 n+1 n+1 n+ 1 an?an+1

an?an+1

n n+1

∴数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 8n Sn=8[(1- )+( - )+( - )+?+( - )]=8(1- )= . 2 2 3 3 4 n n+ 1 n+1 n+1 数列求和的常用方法归纳

80

1.公式法(分组求和法) 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成, 并且各独立项也

可组成等差或等比数列,则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解. 2.裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列, 在求和时常用“裂项法”, 分式的求和多 利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些 项,保留哪些项,常见的拆项公式有: ① 1

n?n+k? k

1 1 1 = ?( - ); n n+k

②若{an}为等差数列,公差为 d, 则 ③ 1 1

an?an+1 d an an+1 n+1+ n

1 1 1 = ( - ); = n+1- n等.

3.错位相减法 若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数 列为{anbn},当求该数列的前 n 项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比 q,然后错位一 项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为 错位相减法. 4.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.

4.利用错位相减法解决数列求和

1 2 [典例] (2012?江西高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n +kn(其中 k∈N*), 且 Sn 2 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an;

81

?9-2an? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ?

[解题流程] 第(1)问

观察所求结论

― →

求k的值及an

应建立关 ― ― ― ― ― ― → 于k的方程

Sn的最大值为8,即Sk=8,k=4

可求Sn的表达式 1 2 ― ― ― ― ― ― ― → Sn=- n +4n 2

Sn是关于n的二次函数 1 2 观察条件 ― → Sn=- n +kn及Sn的最大值为8 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 2
当n=k时,Sn取得最大值

根据已知条件,可利用an与Sn的关系求通项公式 ???????
注意公式的使用条件

an=Sn-Sn-1= -n?n≥2?,a1=S1=
第(2)问

9 2

7 9 验证n=1时,an 是否成立 an= -n. ???????? 2 2

?9-2an? 观察所求结论 ― → 求数列? n ?的前n项和Tn ? 2 ?

????? ?

分析通项

n 2n?1

可利用错位相减法求和

可化简数列? n ? ?9-2an? 9 9-2an n ? 2 ? 观察条件 ― → an= -n及数列? n ? ??????? = n-1 n 2 2 2 ? 2 ?

? 9? 2 an ?

等式两边 2 3 n-1 n 条 件 具 备 , 代 入 求 和 : Tn = 1 + + 2 + ? + n-2 + n-1 ① ― ― ― ― → 2 2 2 2 同乘以2 3 n-1 n 错位相减 ? 2Tn=2+2+ +?+ n-3 + n-2② ???? 2 2 2
82

1 1 n 1 n n+2 ②-①:2Tn-Tn=2+1+ +?+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4- n-1 2 2 2 2 2 2 [规范解答] 1 2 1 2 1 2 2 2 (1)当 n=k∈N 时,Sn=- n +kn 取得最大值,即 8=Sk=- k +k = k ,故 k =16, 2 2 2

k=4.(3 分)
1 7 当 n=1 时,a1=S1=- +4= ,(4 分) 2 2 9 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= -n. 2 9 当 n=1 时,上式也成立,综上,an= -n.(6 分) 2 9-2an n (2)因为 n = n-1,(7 分) 2 2 2 3 n-1 n 所以 Tn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1,(8 分) ① 2 2 2 2 3 n-1 n 所以 2Tn=2+2+ +?+ n-3 + n-2,(9 分) ② 2 2 2 1 1 n ②-①:2Tn-Tn=2+1+ +?+ n-2- n-1 2 2 2 1 n n+2 =4- n-2- n-1=4- n-1 .(11 分) 2 2 2 故 Tn=4-

n+2
2
n-1

.(12 分) [名师批注]

7 9 1.利用 an=Sn-Sn-1 时,易忽视条件 n≥2. 又 a1=S1= ,所以 an= -n. 2 2

2.两式相减时,注意不要漏项,由 Sn-qSn 得 Sn 时应注意 q 是否等于 1.

[活学活用] 设数列{an}的通项公式为 an=(2n-1)a
n-1

(a≠0),求其前 n 项和.

解:当 a=1 时,an=2n-1 是等差数列, ∴Sn=

n?1+2n-1?
2

=n .
2 3

2

当 a≠1 时,Sn=1+3a+5a +7a +?+(2n-1)a

n-1



83

aSn=a+3a2+5a3+?+(2n-3)an-1+(2n-1)an②
①-②得 (1 - a)Sn = 1 + 2a + 2a + 2a +?+ 2a 1)a
n
2 3

n-1

- (2n - 1)a = 1 +2?

n

a-an - (2n - 1-a

∵a≠1, 1-?2n-1?a 2?a-a ? ∴Sn= + 2 . 1-a ?1-a? 综上所述:当 a=1 时,Sn=n ; 当 a≠1 时,
2

n

n

Sn=

1-?2n-1?a 2?a-a ? + 2 . 1-a ?1-a?

n

n

[随堂即时演练] 1.已知 an=(-1) ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是( A.1,1 C.1,0 B.-1,-1 D.-1,0
n

)

解析:选 D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

S10=S9+a10=-1+1=0.

2.数列{an},{bn}满足 anbn=1,an=n +3n+2,则{bn}的前 10 项和为( A. C. 1 4 3 4 1 B. D. 5 12 7 12 1 = 1 - 1

2

)

1 解析:选 B 依题意 bn= =

an n2+3n+2 ?n+1??n+2? n+1 n+2



,所以{bn}的

?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 5 前 10 项和为 S10=? - ?+? - ?+? - ?+?+? - ?= - = ,故选 B. ?2 3? ?3 4? ?4 5? ?11 12? 2 12 12
1 ? 1 1 1 ? 1? ? 1 1? ? 1 1 3 . 求 和 : Sn = 1 + ?1+ ? + ?1+ + ? + 1 + + + + ? + ?1+ + +?+ n-1? = 2 ? 2 4 8 ? 2? ? 2 4? ? 2 4 ________. 解析:被求和式的第 k 项为:

84

?1?k 1-? ? 1 1 1 ?2? ? 1? ak=1+ + +?+ k-1= =2?1- k?. 2 4 2 1 ? 2? 1- 2 ?? 1? ? 1 ? ? 1 ?? 所以 Sn=2??1- ?+?1- 2?+?+?1- n?? ?? 2? ? 2 ? ? 2 ??
1 ?? ? ?1 1 1 =2?n-? + 2+ 3+?+ n?? 2 2 2 2 ? ? ??

?1- 1 ?? ? 1 ? 2? 2? ? =2?n- 1 ? 1- 2 ? ?
n

? ? 1 ?? =2?n-?1- n?? ? ? 2 ??
=2n+ 1 2
n-1

-2. 1 2 -2
n

答案:2n+

n-1

2 -1 321 4.已知数列{an}的通项公式 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于________. 2 64 2 -1 1 解析:an= n =1- n 2 2 1? 1? ?1- n? 2? 2 ? 1 321 1 ∴Sn=n- =n-1+ n= =5+ , 1 2 64 64 1- 2 ∴n=6. 答案:6 5.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=512. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1) = ∴q=4. ∴an=a2?4
n-2 n

a5 512 3 =64=q , a2 8

=8?4

n-2

=2

2n-1

.
3 5 2n-1

(2)由 bn=nan=n?2
2 3

2n-1

知 Sn=1?2+2?2 +3?2 +?+n?2
5 7 2n+1

①,

从而 2 ?Sn=1?2 +2?2 +3?2 +?+n?2 ①-②得(1-2 )?Sn=2+2 +2 +?+2
2 3 5 2n-1

②,
2n+1

-n?2

1 2n+1 ,即 Sn= [(3n-1)2 +2]. 9
85

[课时达标检测] 一、选择题 1.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2?a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 5 ,则 S5 等于( 4 A.35 C.31 解析:选 C 设{an}的公比为 q, ) B.33 D.29

a1q?a1q =2a1 ? ? 则有? 3 5 a1q +2a1q6= ? 2 ? a1=16 ? ? 解得? 1 q= ? ? 2

2





1 5 16[1-? ? ] 2 1? ? ∴S5= =32?1- ?=31,故选 C. 32 1 ? ? 1- 2 2.数列{(-1) n}的前 n 项和为 Sn,则 S2 012 等于( A.1 006 C.2 012 B.-1 006 D.-2 012
n

)

解析:选 A S2 012=(-1+2)+(-3+4)+?+(-2 011+2 012)=1 006. 3.数列{an}的通项公式是 an= A.11 C.120 解析:选 C ∵an= ∴Sn=a1+a2+?+an =( 2-1)+( 3- 2)+?+( n+1- n) = n+1-1, 令 n+1-1=10,得 n=120. 1 1 1 4.数列 1, , ,?, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+?+n A. 2n 2n+1 B. 2n n+1
86

1

n+ n+1
B.99

,若前 n 项和为 10,则项数为(

)

D.121 1

n+ n+1

= n+1- n,

)

C.

n+2 n+1

D.

n 2n+1
1 ? ?1 ,分裂为两项差的形式为 an=2? - ?, n n + 1? ?

解析:选 B 该数列的通项为 an= 令 n=1,2,3,?,

2

n?n+1?

1 1 ? ? 1 1 1 1 1 则 Sn=2?1- + - + - +?+ - , 2 2 3 3 4 n n + 1? ? ? ∴Sn=2?1-

? ?

1 ? 2n = . n+1? ? n+1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 5.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,?,那么数列{bn}={ }前 n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 anan+1 项的和为( A.4(1- C.1- ) 1 ) n+1 1 1 B.4( - ) 2 n+1 1 1 D. - 2 n+ 1

1 n+1

n?n+1?
1+2+3+?+n 解析:选 A ∵an= = n+1 ∴bn= 1 2 n+1 = , 2

n

anan+1



4 1 1 =4( - ). n?n+1? n n+1

1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=4(1- + - + - +?+ - ) 2 2 3 3 4 n n+1 =4(1- 1

n+1

).

二、填空题 6.数列{an}中,Sn=3 +m,当 m=________时,数列{an}是等比数列. 解析:因为 a1=S1=3+m,a2=S2-S1=3 -3=6,a3=S3-S2=3 -3 =18,又由 a1?a3 =a2,得 m=-1. 答案:-1 7.设数列{an}的通项为 an=2n-7(n∈N ),则|a1|+|a2|+?+|a15|=________. 解析:∵an=2n-7, ∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1,a5=3,?,a15=23, 12??1+23? ∴|a1|+|a2|+?+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+?+23)=9+ =153. 2 答案:153 8.数列 11,103,1 005,10 007,?的前 n 项和 Sn=________. 解析:数列的通项公式 an=10 +(2n-1).
87
n
* 2 2 3 2

n

所以 Sn=(10+1)+(10 +3)+?+(10 +2n-1)=(10+10 +?+10 )+[1+3+?+ 10?1-10 ? n?1+2n-1? 10 n 2 (2n-1)]= + = (10 -1)+n . 1-10 2 9 10 n 2 答案: (10 -1)+n 9 三、解答题 9.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q =2q+4,即 q -q- 2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项为 an=2?2 (2)易知 bn=2n-1, 2?1-2 ? n?n-1? n+1 2 则 Sn= +n?1+ ?2=2 +n -2. 1-2 2 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设? ?的前 n 项和为 Tn,求证 Tn<1. ?Sn?
2 2 2

2

n

2

n

n

n-1

=2 (n∈N ).

n

*

n

解:(1)∵Sn=n +n, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n-(n-1) -(n-1)=2n, 又 a1=2 满足上式, ∴an=2n(n∈N ). (2)证明:∵Sn=n +n=n(n+1), 1 ∴ = 1
2 * 2 2

2

Sn n?n+1? n n+1

1 1 = - ,

1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 ∴Tn=?1- ?+? - ?+?+? - ?=1-n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? ∵n∈N ,∴
*

1

n+1

>0,即 Tn<1.

数 列

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
88

1.数列 3,5,9,17,33,?的通项公式 an 等于( A.2
n

)

B.2 +1 D.2
2

n

C.2 -1

n

n+1

解析:选 B 由于 3=2+1,5=2 +1,9=2 +1,?,所以通项公式是 an=2 +1,故选 B. 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,? 2 3 4 B.-1,2,-3,4,? 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,? 2 4 8 D.1, 2, 3,?, n 解析:选 C A 为递减数列,B 为摆动数列,D 为有穷数列. 3. 记等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 S2=4, S4=20, 则该数列的公差 d=________.( A.2 C.6 B.3 D.7 ) )

3

n

解析:选 B S4-S2=a3+a4=20-4=16, ∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)=4d=16-4=12, ∴d=3. 4.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( A.49 C.51 解析:选 D ∵2an+1-2an=1, 1 ∴an+1-an= , 2 1 ∴数列{an}是首项 a1=2,公差 d= 的等差数列, 2 1 ∴a101=2+ (101-1)=52. 2 5.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是( A.90 C.145 解析:选 B 设公差为 d, ∴(1+d) =1?(1+4d),
2

)

B.50 D.52

) B.100 D.190

89

∵d≠0, ∴d=2,从而 S10=100. 6.(2012?安徽高考)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5= ( ) A.1 C.4
2 7

B.2 D.8
2

解析: 选 A 因为 a3a11=a , 又数列{an}的各项都是正数, 所以解得 a7=4, 由 a7=a5?2 =4a5,求得 a5=1.
? 1 ? ?是等差数列,则 a11 等于( 7.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列? ?1+an?

)

A.0 C. 2 3

B.

1 2

D.-1

1 1 1 1 解析:选 B 设数列{bn}的通项 bn= ,因{bn}为等差数列,b3= = ,b7= 1+an 1+a3 3 1+a7 1 b7-b3 1 = ,公差 d= = , 2 4 24 1 1 2 3 1 ∴b11=b3+(11-3)d= +8? = ,即得 1+a11= ,a11= . 3 24 3 2 2 8.等比数列{an}的通项为 an=2?3
n-1

,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个 )

新的数列{bn},那么 162 是新数列{bn}的( A.第 5 项 C.第 13 项

B.第 12 项 D.第 6 项

解析:选 C 162 是数列{an}的第 5 项,则它是新数列{bn}的第 5+(5-1)?2=13 项. 9.设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等 比数列,则 ab1+ab2+?+ab10 等于( A.1 033 C.2 057 ) B.1 034 D.2 058
n-1

解析:选 A 由已知可得 an=n+1,bn=2 于是 abn=bn+1,



因此 ab1+ab2+?+ab10=(b1+1)+(b2+1)+?+(b10+1)=b1+b2+?+b10+10=2 + 1-2 2 +?+2 +10= +10=1 033. 1-2
1 9 10

0

10.我们把 1,3,6,10,15,?这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正 三角形,如下图所示:
90

则第七个三角形数是( A.27 C.29 解析:选 B

) B.28 D.30

法一:∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,

a4-a3=4,a5-a4=5,
∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28. 法二:由图可知第 n 个三角形数为 7?8 ∴a7= =28. 2 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N ),则 a5=________;前 8 项的和 S8= ________(用数字作答). 解析:由 a1=1,an+1=2an(n∈N )知{an}是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,由通 项公式及前 n 项和公式知 a5=a1q =16,S8= 答案:16 255 12.数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n(n≥2),则 a5=________. 解析:由 an=an-1+n(n≥2),得 an-an-1=n.则 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5 -a4=5,把各式相加,得 a5-a1=2+3+4+5=14, ∴a5=14+a1=14+1=15. 答案:15 13.等比数列{an}中,a2+a4+?+a20=6,公比 q=3,则前 20 项和 S20=________. 解析:S 偶=a2+a4+?+a20,
4 * *

n?n+1?
2



a1?1-q8? 1??1-28? = =255. 1- q 1-2

S 奇=a1+a3+?+a19,


S偶 =q, S奇 S偶 6 = =2. q 3

∴S 奇=

∴S20=S 偶+S 奇=6+2=8. 答案:8 14.在等差数列{an}中,其前 n 项的和为 Sn,且 S6<S7,S7>S8,有下列四个命题: ①此数列的公差 d<0;
91

②S9 一定小于 S6; ③a7 是各项中最大的一项; ④S7 一定是 Sn 中的最大项. 其中正确的命题是________.(填入所有正确命题的序号) 解析:∵S7>S6,即 S6<S6+a7, ∴a7>0.同理可知 a8<0. ∴d=a8-a7<0. 又∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0, ∴S9<S6. ∵数列{an}为递减数列,且 a7>0,a8<0, ∴可知 S7 为 Sn 中的最大项. 答案:①②③ 三、解答题(共 4 小题,共 50 分) 15.(12 分)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16, (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 解:(1)设{an}的公比为 q,由已知得 16=2q ,解得 q=2, ∴an=2 . (2)由(1)得 a3=8,a5=32, 则 b3=8,b5=32. 设{bn}的公差为 d, 则有?
? ? ?b1+2d=8, ?
n
3

b1+4d=32,

解得?

? ?b1=-16, ?d=12. ?

从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28, 所以数列{bn}的前 n 项和

n?-16+12n-28? 2 Sn= =6n -22n.
2 16.(12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),若 an +Sn=n,cn=an-1. (1)求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
92

解:(1)证明:∵a1=S1,an+Sn=n①, 1 ∴a1+S1=1,得 a1= . 2 又 an+1+Sn+1=n+1②, ①②两式相减得 2(an+1-1)=an-1, 即

an+1-1 1 cn+1 1 = ,也即 = , an-1 2 cn 2

故数列{cn}是等比数列. 1 (2)∵c1=a1-1=- , 2 1 1 ∴cn=- n,an=cn+1=1- n, 2 2

an-1=1-

1

2

n-1

. 1 2 1 1 - n= n. 2 2

故当 n≥2 时,bn=an-an-1= 1 1 又 b1=a1= ,即 bn= n. 2 2

n-1

17.(12 分)已知{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是各项都是正数的等比数列, (1)若 a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 b1=1,且 b2, b3,2b1 成等差数列,求数列{bn}的通项公式. 2 解:(1)由题意可设公差为 d,则 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+ 2d 解得 d=1 或 d=0(舍去), 故数列{an}的通项公式为 an=1+(n-1)?1=n. (2)由题意可设公比为 q,则 q>0, 1 由 b1=1,且 b2, b3,2b1 成等差数列得 b3=b2+2b1, 2 ∴q =2+q, 解得 q=2 或 q=-1(舍去), 故数列{bn}的通项公式为 bn=1?2
n-1
2

=2

n-1

.

18.(14 分)数列{an}满足 a1=1,an+1= 2 (1)证明:数列{ }是等差数列;
n

2

n+1

an

an+2n

(n∈N ).

*

an

93

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)证明:由已知可得 n+1= , 2 an+2n 即 2
n+1

an+1

an

an+1 an
n

2 2 = +1,即

n

n+1

an+1 an

2 - =1.

n

2 ∴数列{ }是公差为 1 的等差数列.

an

2 2 (2)由(1)知 = +(n-1)?1=n+1,

n

an a1

∴an=

2 . n+1
n

n

(3)由(2)知 bn=n?2 .

Sn=1?2+2?22+3?23+?+n?2n,
2Sn=1?2 +2?2 +?+(n-1)?2 +n?2 相减得 -Sn=2+2 +2 +?+2 -n?2 2?1-2 ? n+1 = -n?2 1-2 =2
n+1 n
2 3 2 3

n

n+1



n

n+1

-2-n?2

n+1

, +2.

∴Sn=(n-1)?2

n+1

94


赞助商链接
相关文章:
高中数学第二章数列数列的概念教学案新人教A版必修5
高中数学第二章数列数列的概念教学案新人教A版必修5 - 云南省师范大学五华区实验中学高中数学 第二章 数列 数列的 概念教学案 新人教 A 版必修 5 本节课先...
高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法教学案新...
高中数学第二章数列21数列的概念与简单表示法教学案新人教A版必修5_数学_高中...高中数学函数的表示法教案,高中数学函数题库,高中数学函数怎么学,高中数学函数有...
高中数学第二章数列22等差数列教案新人教A版必修5
高中数学第二章数列22等差数列教案新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中数学第二章数列22等差数列教案新人教A版必修5,等差数列公式大全,高中数学等差数列...
...二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5
(浙江专版)2018年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和学案新人教A版必修5 - 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前 n 项和 预习课本 P55~58,...
...第二章 数列 2.2 等差数列学案 新人教A版必修5
(浙江版)2018年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列学案 新人教A版必修5 - 2.2 等差数列 第一课时 等差数列的概念及通项公式 预习课本 P36~38,思考并...
...25等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(数学教案)
浙江专版高中数学第二章数列25等比数列的前n项和学案新人教A版必修5(数学教案) - 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前 n 项和 预习课本 P55~58,...
...第二章 数列 2.4 等比数列学案 新人教A版必修5
(浙江版)2018年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列学案 新人教A版必修5 - 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念及通项公式 预习课本 P48~50,思考并完成...
高中数学第二章数列学案等差数列的前n项和(2)新人教A版...
高中数学第二章数列学案等差数列的前n项和(2)新人教A版必修5 - §2.3 等差数列的前 n 项和(2) 主备人: 王浩 审核人: 马琦 学习目标 1. 进一步熟练...
高中数学数列学案新人教A版A版必修5
高中数学数列学案新人教A版A版必修5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学数列学案新人教A版A版必修5 数列 学习目标:总结数列求通项、求和问题 学习过程: ...
...高中数学第二章数列22等差数列教案新人教A版必修5(...
浙江省杭州市高中数学第二章数列22等差数列教案新人教A版必修5(数学教案) - 等差数列 时间段落 教学目标 1. 通过具体实例的研究,学生能 第 1 段落 10 分钟。...
更多相关文章: