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2015-2016学年高中数学 1.2.2同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4


第一章
三角函数

1.2 任意角的三角函数

1.2.2 预习篇

同角三角函数的基本关系 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.记住并能推导同角三角函数基本关系式. 2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简 和证明.

重点难点
重点:同角三角函数关系式的应用; 难点:同角三角函数关系式的推导及应用.

预习篇01
新知导学

同角三角函数基本关系式

2 2 (1)平方关系: sin α+cos α=1.

sinα tanα=cosα π (2)商数关系: ,其中α≠kπ+2(k∈Z).

1.同角三角函数基本关系中,角α是否是任意角? 答:平方关系中的角α是任意角,商数关系中的角α并 π 非任意角,α≠kπ+ ,k∈Z. 2

2.如何理解同角三角函数基本关系中的“同角”? 答:同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名” 的三角函数的运算规律.这里,“同角”有两层含义,一 是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使得函数有意义 的前提下)关系都成立.

同角三角函数的基本关系式的变形公式

除了掌握两个基本公式外,还要熟练掌握其等价形 式:
2 1 - cos α sin α+cos α=1?sin α=

2

2

2



2 1 - sin α ; cos α=

2

sinα π tan α · cos α tanα=cosα?sinα= (α≠kπ+2,k∈Z);

(sinα+cosα)2= 1+2sinαcosα , (sinα-cosα)2= 1-2sinαcosα .

3.利用同角三角函数关系式及变形公式可以解决哪些 问题? 答:(1)求值:已知一个角的三角函数值,求这个角的 其他三角函数的值;(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等 式.

(1)同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的 三角函数的运算规律,这里,“同角”有两层含义:一是 “角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前 提下),关系式成立与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α =1. (2)sin2α是(sinα)2的简写,不能写成sinα2.

(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 sin90° 义,如式子tan90° =cos90° 不成立. (4)注意公式变形的灵活应用. (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时,其正负号是由角 α所在的象限决定的.当角所在象限不明确时,要进行分类 讨论.

课堂篇02
合作探究

已知一个角的三角函数值,求其他三角函数值
【例1】 【分析】 3 已知cosα=-5,求sinα,tanα的值. 3 (1)由cosα=- 5 ,可判断角α的终边在哪

些象限?(第二或第三象限) (2)当角α所在的象限不确定时,如何处理?(分类讨 论求解)

【解】

∵cosα<0且cosα≠-1,

∴α是第二或第三象限角. 当α为第二象限角时, sinα= 1-cos α= sinα 4 tanα=cosα=-3. 当α为第三象限角时,
2

32 4 1-?-5? =5,

sinα=- 1-cos α=- sinα 4 tanα=cosα=3.

2

32 4 1-?-5? =-5,

通法提炼 已知角α的某种三角函数值,求角α的其余三角函数值 时,要注意公式的合理选择;若角所在的象限已经确定, 求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角所在的象限 不确定,应分类讨论,有两组结果.

3π 已知α∈(π, ),tanα=2,则cosα=________. 2

sinα 解析:由tanα=cosα=2得, sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1, 1 ∴4cos2α+cos2α=1,即cos2α=5,
? 3 ? 又α∈?π,2π?,∴cosα=- ? ?

5 5.

5 答案:- 5

三角函数式的化简与证明

【例2】

化简下列各式: 1 sin2α-1,其中α是第二象限角.

(1)化简tanα

tanα-sinα sinα (2)化简 · . 1-cosα tanα+sinα

【解】 故tanα

(1)因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0. 1 sin2α-1=tanα 1-sin2α sin2α =tanα cos2α sin2α

sinα cosα sinα -cosα =cosα· | sinα |=cosα· sinα =-1. sinα (2)原式= · 1-cosα sinα -sinα cosα sinα +sinα cosα

1-cosα sinα = · 1-cosα 1+cosα ?1-cosα?2 sinα = · 1-cosα 1-cos2α sinα 1-cosα = · 1-cosα |sinα| =± 1.

通法提炼 同角三角函数关系化简常用方法有: ①化切为弦,减少函数名称;②对含根号的,应先把 被开方式化为完全平方,去掉根号;③对含有高次的三角 函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以降幂化 简.

求证:

sinα cosα· tanα · =1. 1-cosα 1+cosα

sinα cosα· cosα sinα cosαtanα sinα 证明: · = · 1-cosα 1+cosα 1-cosα 1+cosα sinα sinα = · 1-cosα 1+cosα sin2α sin2α = = 2 =1. 1-cos2α sin α

sinα± cosα型求值问题

【例3】

1 已知sinθ+cosθ=5,θ∈(0,π),求:

(1)tanθ;(2)sinθ-cosθ. 【分析】 利用平方关系构造方程,再根据θ的取

值范围求得sinθ和cosθ的值,进而求得结果.

【解】

1 方法一:(1)由sinθ+cosθ=5,

1 得cosθ=5-sinθ. 1 又sin θ+cos θ=1,代入得sin θ+(5-sinθ)2=1,
2 2 2

1 12 整理得sin θ-5sinθ-25=0,
2

3 4 即(sinθ+5)(sinθ-5)=0,

3 4 解得sinθ=-5或sinθ=5. 4 又θ∈(0,π),所以sinθ>0,故sinθ=5. 1 1 4 3 所以cosθ=5-sinθ=5-5=-5, sinθ 4 故tanθ=cosθ=-3. 4 3 7 (2)由(1)可知,sinθ-cosθ=5-(-5)=5.

方法二:因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,又sinθ+cosθ= 1 12 ,两边平方,整理得sinθcosθ=- <0,所以cosθ<0. 5 25 1 12 故sinθ,cosθ是方程x - 5 x- 25 =0的两根,解得x1=
2

4 3 4 3 5,x2=-5,所以sinθ=5,cosθ=-5.

通法提炼 ?1?sinα+cosα,sinαcosα ,sinα-cosα 三个式子中,已 知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”. ?2?求 sinα+cosα 或 sinα-cosα 的值,要注意判断它们 的符号.

1 若 sinθ-cosθ= 2,则 tanθ+ =________. tanθ

解析:由已知得(sinθ-cosθ)2=2, 1 ∴sinθcosθ=-2. 1 sinθ cosθ 1 ∴tanθ+tanθ=cosθ+ sinθ =sinθcosθ=-2.
答案:-2

提高篇03
自我超越

——多维探究系列—— 化切求值问题 近两年高考较少考查此类题目, 但是仍然是一类重要的 考查题型.给定角 α 的正切值,要求某一三角函数式的值, 所给三角函数式的一般形式为分子、分母是正、余弦的一次 (或二次)齐次式,突破口是:把分子、分母同除以 cosα(或 cos2α),将分子、分母转化为关于 tanα 的代数式,从而求值.

【例】

已知 tanα=2,则

2sinα-3cosα (1) =________; 4sinα-9cosα (2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=________.

【思维导图】

【解】

2sinα-3cosα 2tanα-3 2×2-3 (1) = = =-1. 4sinα-9cosα 4tanα-9 4×2-9

(2)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α = , sin2α+cos2α 因为 cos2α≠0,所以分子和分母同除以 cos2α,
2 4tan α-3tanα-5 2 2 则 4sin α-3sinαcosα-5cos α= tan2α+1

4×4-3×2-5 = =1. 4+1

【评析】

形如(2)式的求解,应灵活利用“1”的代换,

将整式变为分式, 即可利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式,从而代入求值.

(2013· 浙 江 改 编 ) 若 tanα = 3 , 则 sinα + 2cosα = ________.

解析:(sinα+2cosα)2=sin2α+4sinαcosα+4cos2α sin2α+4sinαcosα+4cos2α tan2α+4tanα+4 = = sin2α+cos2α tan2α+1 32+4×3+4 5 = =2, 32+1 又 tanα=3>0,则 sinα,cosα 同号, 10 10 故 sinα+2cosα= 或- . 2 2
10 10 答案: 或- 2 2


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