当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届高考数学一轮复习 必考部分 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线应用能力提升 文


第 5 节 抛物线

【选题明细表】 知识点、方法 抛物线的定义 抛物线的标准方程 抛物线的几何性质 直线与抛物线的关系 综合 基础对点练(时间:30 分钟) 2 1.(2015 河北唐山摸底)抛物线 y=2x 的准线方程是( D ) (A)x=- (B)y=题号 2,3 1,6 5,7,11 4,12,13 8,9,10,14,15

(C)x=- (D)y=-

解析:抛物线 y=2x 可化为 x = y,焦点在 y 轴上,2p= ,所以 = ,

2

2

所以抛物线 y=2x 的准线方程是 y=- . 2.在平面直角坐标系中,到点(1,1)和直线 2x+y=3 距离相等的点的轨迹是( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)圆 (D)双曲线 解析:因为点(1,1)在直线 2x+y=3 上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线 2x+y=3 垂直的直 线. 2 3.抛物线 x =4y 上一点 A(x0,2),则点 A 到点 M(0,1)的距离为( C ) (A) (B)2
2

2

(C)3

(D)4

解析:抛物线 x =4y 的焦点为(0,1),准线 l:y=-1. 而 M 点恰好为抛物线的焦点,故由定义得|AM|等于点 A 到准线的距离 d,则 d=2-(-1)=3. 2 4.已知点 A(2,1),抛物线 y =4x 的焦点是 F,若抛物线上存在一点 P,使得|PA|+|PF|最小,则 P 点的坐标为( D ) (A)(2,1) (B)(1,1) (C)( ,1) (D)( ,1) 解析:如图,设抛物线准线为 l,

1

作 AA′⊥l 于 A′, 则|PA|+|PF|≥AA′, 即当 P 点为 AA′与抛物线交点时, |PA|+|PF|最小,此时 P( ,1). 故选 D. 2 5.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( C ) (A) (B) (C) (D)2

解析:法一 由题意设 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),如图所示,

|AF|=x1+1=3, 所以 x1=2,y1=2 .

设 AB 的方程为 x-1=ty,由 所以 y1y2=-4, 所以 y2=,x2= ,

消去 x 得 y -4ty-4=0.

2

所以 S△AOB= ×1×|y1-y2|=

.

法二 不妨设 A(x1,y1),B( ,y2),y1>0,y2<0,

由|AF|=x1+1=3 得 x1=2 于是 y1=2

,

2

由 A,B,F 三点共线知

=

,

整理解得 y2=-

,

所以 S△AOB= ×1×|y1-y2|=

.

6.(2016 河北石家庄五校联考)抛物线 y= x 的焦点坐标是

2

.

解析:抛物线 y= x 即 x =4y,

2

2

所以 p=2, =1,故焦点坐标是(0,1). 答案:(0,1) 2 7.抛物线 y =16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是 . 2 解析:设 P(x0,y0),抛物线 y =16x 的顶点为 O(0,0),焦点为(4,0),准线为 x=-4. 由题意得:|x0-(-4)|= 即(x0+4) = +16x0, 解得 x0=2. 代入抛物线方程得 =16×2=32, 故 y0=±4 . ). ) 米.
2

,

所以 P(2,±4 答案:(2,±4

8.抛物线形拱桥顶距离水面 2 米,水面宽 4 米,当水上升 1 米时,水面宽将减少 2 解析:设方程为 x =-2py(p>0),由已知过点(2,-2),代入得 p=1,即方 程为 x =-2y;当 y=-1 时,x=± 答案:4-2 9.设 P 是曲线 y =4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最 小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
2 2

,此时水面宽为 2

米,那么减少了(4-2

)米 .

3

解:(1)如图(1),易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知,点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1) 的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小.显然,连接 AF 交抛物线于点 P,故最小值为 = .

(2)如图(2),过 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于 P1,此时,|P1Q|= |P1F|,

那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4, 当且仅当 B,Q,P 三点共线时,等号成立,故最小值为 4. 10.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,斜率为 2 两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ 的值.
2

的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)

解:(1)由题意得直线 AB 的方程为 y=2 从而有 4x -5px+p =0, 所以 x1+x2= .
2 2

(x- ),与 y =2px 联立,

2

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p= +p=9, 所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y =8x. 2 2 (2)由(1)得 4x -5px+p =0 2 即 x -5x+4=0, 则 x1=1,x2=4, 于是 y1=-2 从而 A(1,-2 设 C(x3,y3), 则 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ (4,4 )=(4λ +1,4 λ -2 ). ,y2=4 , ).
2

),B(4,4

4

又 =8x3, 所以[2 (2λ -1)] =8(4λ +1),
2 2

整理得(2λ -1) =4λ +1, 解得λ =0 或λ =2. 能力提升练(时间:15 分钟) 2 2 11.(2015 东北三省四市教研联合体三模)某抛物线的通径与圆 x +y -4x+2y-11=0 的半径相等, 则该抛物线的焦点到其准线的距离为( A ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 2 2 2 2 解析:圆 x +y -4x+2y-11=0 可化为(x-2) +(y+1) =16,半径为 4, 所以抛物线的通径为 4,即 2p=4, 所以 p=2, 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为 2. 2 12.已知抛物线 y =2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( C ) (A)相离 (B)相交 (C)相切 (D)不确定 解析:如图所示,设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线为 l,A1、B1 分别为 A、B 在直线 l 上的 射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故圆与抛物线准线相切.

13.(2016 辽宁锦州质检)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A,B 两点,则 的值等于 .

2

解析: 如图,分别过 A,B 作准线 l:x=- 的垂线,垂足分别为 D,E.

过 B 作 BH⊥AD,垂足为 H. 设|AF|=m,|BF|=n.

5

则由抛物线定义得 |AD|=m,|BE|=n. 故|AH|=m-n. 又|AB|=|AF|+|BF|=m+n. 在 Rt△ABH 中,cos ∠BAD= = ,



=cos 60°= .

解得 =3. 答案:3 2 14. 如图,已知直线与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,OD⊥AB 交 AB 于 D,且 点 D 的坐标为(3, ).

(1)求 p 的值; (2)若 F 为抛物线的焦点,M 为抛物线上任一点,求|MD|+|MF|的最 小值. 解:(1)设 A( ,y1),B( ,y2),kO D= ,则 kAB=,直线 AB 的方程为 y=(x-3),即

x+y-4

=0,将 x= 代入上式,整理得

y +2py-8

2

p=0,

所以 y1y2=-8p,由 OA⊥OB 得

+y1y2=0,即 y1y2+4p =0,所以-8p+4p =0,又 p>0,则 p=2.
2

2

2

(2)由抛物线定义知|MD|+|MF|的最小值为 D 点到抛物线 y =4x 准线的距离, 又准线方程为 x=-1,因此|MD|+|MF|的最小值为 4. 2 2 2 15.已知抛物线 E:y =2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C:(x-2) +y =1 的两条切线, 切点为 A,B,|AB|= .

(1)求抛物线 E 的方程; (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为坐标原点)三点共 线,求点 N 的坐标.

6

解:(1)如图(1),由已知得 M(- ,0),C(2,0).

设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|=

.

于是|CR|=

= ,

所以|CM|=

=3,即 2+ =3,p=2.
2

故抛物线 E 的方程为 y =4x. (2)如图(2),设 N(s,t), P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点, 圆 D 方程为(x2 2

) +(y- ) =

2

2

,

即 x +y -(s+2)x-ty+2s=0. ① 2 2 又圆 C 方程为 x +y -4x+3=0.② ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程.因为直线 PQ 经 过点 O,所以 3-2s=0,s= .

故点 N 坐标为( ,

)或( ,-

).

精彩 5 分钟 2 1.(2015 河南省六市第二次联考)从抛物线 y =4x 图像上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=3,设抛物线焦点为 F,则△MPF 周长为( D ) (A)6+3 (C)8 (B)5+2 (D)6+2

解题关键:关键根据题意找 M 点坐标,由两点距离公式求解.

7

解析: 如图,设 P(x0,y0),

抛物线 y =4x 的准线 x=-1,F(1,0) 则 M(-1,y0), |PF|=|PM|=x0+1=3, 解得 x0=2.所以 =4x0=8, 所以|MF|= = =2 .
2

2

,

所以 C△MPF=|PM|+|PF|+|MF|=6+2

2.(2015 沈阳市郊联体二模)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,△ABC 的顶点都在抛物线上且满 足 + + =0,则 + + 等于( D )

(A)

(B)-

(C)2

(D)0

解题关键:关键是设出三顶点坐标,由向量关系转化为三边斜率关系. 解析:设 A( ,y1),B( ,y2),C( ,y3).



+

+

=0,

知 F( ,0)为△ABC 的重心,

所以

而 kAB=

=

kBC=

=

,

kCA=

=

,

8

所以

+

+

=

+

+

= (y1+y2+y3) =0.

9


赞助商链接
相关文章:
...考试大纲解读 专题06 平面解析几何学案含答案(全国...
2018届高考数学轮复习(理数)考试大纲解读 专题06 平面解析几何学案含答案(全国...简单几何 性质,重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用,注重运算求解能力的...
...考试大纲解读系类微刊【上册】理科:专题5 平面解析几何
【名师课堂】高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】理科:专题5 平面解析几何_...选择题第 10 抛物线的几何性质 题 2014 Ⅱ 卷 填空题第 16 直线与圆的...
[精品解析]学科网2012年高考数学必考题型解答策略题型...
2012年高考数学必考题型解答策略题型 解析几何(学生...掌握一元二次方程的知识在解析几 何中的应用, ...当直线与抛物线的对称轴平行时,属于相交的情况,但...
更多相关文章:

相关文章