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高中函数的周期性和对称性绝对实用


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关于函数的对称性和周期性
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中,研究一个函数,首看定义域、值域,然后就 要研究对称性(中心对称、轴对称) 、周期性,并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的 联系。 一、函数的对称性 1、函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) 时,函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 证明: 在函数 y ? f ( x ) 上任取一点 1, 1) 则 y1 ? f ( x1 ) , (x1, 1) (x y , 点 y 关于直线 x ?
a ?b 2 a ?b 2

对称。 的对称点 a ? b ? x1 , (

y1) ,当 x ? a ? b ? x1 时, f ( a ? b ? x1 ) ? f [ a ? ( b ? x1 )] ? f [ b ? ( b ? x1 )] ? f ( x1 ) ? y 1 ,故点( a ? b ? x1 , y1) 也在函数 y ? f ( x ) 图象上。 由于点 1, 1) (x y 是图象上任意一点, 因此, 函数的图象关于直线 x ? 对称。 (注:特别地,a=b=0 时,该函数为偶函数。 ) 2、函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( b ? x ) ? c 时,函数 y ? f ( x ) 的图象关于点(
a?b 2 a ?b 2

, (

c 2

)对称。 ,
c 2

证明:在函数 y ? f ( x ) 上任取一点(x1,y1) ,则 y1 ? f ( x1 ) ,点(x1,y1)关于点

a?b 2

)的对称

点( a ? b ? x 1 ,c-y1) ,当 x ? a ? b ? x1 时, f ( a ? b ? x1 ) ? c ? f [ b ? ( b ? x1 )] ? c ? f ( x1 ) ? c ? y 1 ,即 点( a ? b ? x 1 ,c-y1)在函数 y ? f ( x ) 的图象上。由于点(x1,y1)为函数 y ? f ( x ) 图象上的任意一 点可知,函数 y ? f ( x ) 的图象关于点(
a?b 2



c 2

)对称。 (注:当 a=b=c=0 时,函数为奇函数。 )
b?a 2

3、函数 y ? f ( a ? x ) 的图象与 y ? f ( b ? x ) 的图象关于直线 x ?

对称。
b?a 2

证明:在函数 y ? f ( a ? x ) 上任取一点(x1,y1) ,则 y1 ? f ( a ? x1 ) ,点(x1,y1)关于直线 x ?

对称点

( b ? a ? x1 ,y1) 。由于 f [ b ? ( b ? a ? x1 )] ? f [ b ? b ? a ? x1 ] ? f ( a ? x1 ) ? y 1 ,故点( b ? a ? x1 ,y1) 在函数 y ? f ( b ? x ) 上。由点(x1 ,y1 )是函数 y ? f ( a ? x ) 图象上任一点,因此 y ? f ( a ? x ) 与
y ? f ( b ? x ) 关于直线 x ?
b?a 2

对称。

二、周期性 1、一般地,对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有
f ( x ? T ) ? f ( x ),那么函数 f ( x )

就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。

2、对于非零常数 A,若函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? A ) ? ? f ( x ) ,则函数 y ? f ( x ) 必有一个周期为 2A。 证明: f ( x ? 2 A ) ? f [ x ? ( x ? A )] ? ? f ( x ? A ) ? ? [ ? f ( x )] ? f ( x ) ∴函数 y ? f ( x ) 的一个周期为 2A。

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3、对于非零常数 A,函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? A ) ? 证明:略。 4、对于非零常数 A,函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ) ? ? 证明:略。 三、对称性和周期性之间的联系 1、函数 y ? f ( x ) 有两根对称轴 x=a,x=b 时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距离的两倍必是函数 的一个周期。 已知:函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) , f ( b ? x ) ? f ( b ? x ) (a≠b) ,求证:函数 y ? f ( x ) 是周期函数。 证明:∵ f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) 得 f ( x ) ? f ( 2 a ? x )
f (b ? x ) ? f (b ? x )
1 f (x) 1 f (x)

,则函数 y ? f ( x ) 的一个周期为 2A。

,则函数 y ? f ( x ) 的一个周期为 2A。

得 f ( x ) ? f (2b ? x )

∴ f (2 a ? x ) ? f (2b ? x ) ∴ f ( x ) ? f (2b ? 2 a ? x) ∴函数 y ? f ( x ) 是周期函数,且 2 b ? 2 a 是一个周期。 2、函数 y ? f ( x ) 满足 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? c 和 f ( b ? x ) ? f ( b ? x ) ? c (a≠b)时,函数 y ? f ( x ) 是周期函数。 (函数 y ? f ( x ) 图象有两个对称中心(a, 的两倍,是函数的一个周期。 ) 证明:由 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? c ? f ( x ) ? f ( 2 a ? x ) ? c
f (b ? x ) ? f (b ? x ) ? c ? f ( x ) ? f ( 2 b ? x ) ? c

c 2

)(b, 、

c 2

)时,函数 y ? f ( x ) 是周期函数,且对称中心距离

得 f (2 a ? x ) ? f (2b ? x ) 得 f ( x ) ? f (2b ? 2 a ? x) ∴函数 y ? f ( x ) 是以 2b-2a 为周期的函数。 3、函数 y ? f ( x ) 有一个对称中心(a,c)和一个对称轴 x ? b ) (a≠b)时,该函数也是周期函数,且一个 周期是 4 ( b ? a ) 。 证明:略。 四、知识运用 1、 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f ( 2 ) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 在区间(0,6)内解的个数的 最小值是( A.2 ) B.3 C.4 D.5

解: f ( x ) 是 R 上的奇函数,则 f (0 ) ? 0 ,由 f ( x ? 3) ? f ( x ) 得 f (3) ? 0 , f ( 2 ) ? 0 ? f (5) ? 0
f( 2 ) ? 0 f (? 1 ) ? ?
? f 0 (? ) 1 0 ∴ f (4) ? 0

∴x=1,2,3,4,5 时, f ( x ) ? 0
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这是答案中的五个解。 但是 又 而
f ( ? 1 ? 5 )? f f ( ? 1? 5 ? ? f ) 0 ? f ( 1? 5 ) f ? (? 1? 5? 3 ) ? f ( ?1 5 )

知 ?( 1 5 )
( ?1 ? 5

f (1 ? 5) ? 0
3?) f ( 知 5x )? 1 .5, x ? 4 .5, f ( x ) ? 0 ? 4

也成立,可知:在(0,6)内的解的

个数的最小值为 7。 2、设函数 f ( x ) 在( ? ? , ? ? )上满足 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ,且在闭区间[0,7]上,只 有 f (1) ? f (3) ? 0 。 ⑴试判断函数 y ? f ( x ) 的奇偶性; ⑵试求方程 f ( x ) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。 解:⑴由 f ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) , f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) 得函数 y ? f ( x ) 的对称轴为 x ? 2 , x ? 7 。由前面的知识 可知函数的一个周期为 T=10。因为函数 y ? f ( x ) 在[0,7]上只有 f (1) ? f (3) ? 0 可知
f(0 ) ? 0 , f (7 ) ? 0 又 f(7 ) ?
f(3) ? 0, f 且 ( ? )f 3 ?( 3 ? 0 )? 1 f ( 7 )

∴ f (?7) ? 0 而

0 且 ? f (7 ) ? 0 ,则 f ( ? 7 ) ? f (7 ) , f ( ? 7 ) ? ? f (7 )

因此,函数 y ? f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数。 ⑵由 f (3) ? f (1) ? 0 ,可得 f (1 1) ? f (1 3) ? f ( ? 7 ) ? f ( ? 9 ) ? 0 故函数 y ? f ( x ) 在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,满足 f ( x ) ? 0 ;从而可知函数 y ? f ( x ) 在[0,2005] 上有 402 个解,在[-2005,0]上有 400 个解。所以,函数 y ? f ( x ) 在[-2005,2005]上共有 802 个解。 例 1、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (B) (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性,基础题。 解析:由 f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 4 ? ? ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 由 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数得 f ? 0 ? ? 0 ,∴ f ?6 ? ? f ? 4 ? 2 ? ? f ? 2 ? ? ? f ?0 ? ? 0 ,故选择 B。 【窥管之见】本题用到两重要性质:① f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 的周期为 2 a ;②如 f ? x ? 是定义在 R 上的 奇函数,则 f ? 0 ? ? 0 。 例 2、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析: f ? ? 0 ? ? ? f ? 0 ? 得 f ? 0 ? ? 0 ,假设 f ? n ? ? 0 因为点( ? n ,0)和点( n ? 1, 0 )关于 x ? 因此,对一切正整数 n 都有: f ? n ? ? 0 从而: f ? 1 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3 ? ? f ? 4 ? ? f ? 5 ? ? 0 。本题答案填写:0 例 3、已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? lg x . 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则
5 2 2 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a 解:已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? lg x . 6 3 5
1 2
? 1 2

对称,则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f

对称,所以 f ? n ? 1 ? ? f ? ? n ? ? ? f ? n ? ? 0

(D) c ? a ? b

设 a ? f ( ) ? f (?
5

6

4 3 1 1 5 1 ) ? ? f ( ) , b ? f ( ) ? f ( ? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0,∴ c ? a ? b ,选 D. 5 5 2 2 2 2 2
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例 4、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
1 f

?x?

,若 f ? 1 ? ? ? 5, 则 f

? f ? 5 ? ? ? __________。

【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值,中档题。 解析:由 f ? x ? 2 ? ?
f

1 f

?x?

得 f ?x ? 4? ?
1 f (?1 ? 2)

1 f

? x ? 2?
1 5

? f ( x ) ,所以 f (5) ? f (1) ? ? 5 ,则

? f ?5?? ?
? x ? 2? ?

f ( ? 5 ) ? f ( ? 1) ?

? ?



【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,一般都比较灵活。本题应直观理解
f 1 f

?x?

“只要加 2,则变倒数,加两次则回原位” 则一通尽通也。 )

例 5、设 f ? x ? 是 ? ? ? , ?? ? 上的奇函数, f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ,当 0≤x≤1 时, f ? x ? ? x ,则 f(7.5)等于( A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解 析 : 由 f ? x ? 2 ? ? ? f ? x ? ? f ?7 . 5 ? ? ? f ?5 . 5 ? ? f ?3 . 5 ? ? ? f ?1 . 5 ? ? f ? ? 0 . 5 ? , 又 f ? x ? 是 奇 函 数 , 故
f ? ? 0 . 5 ? ? ? f ? 0 . 5 ? ? ? 0 . 5 ,故选择 B。

例 6、 f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f ( 2 ) ? 0 ,则方程 f ( x ) =0 在区间(0,6)内解的个数的 最小值是 ( B ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:由 f ( x ) 的周期性知, f ( 2 ) ? f ?5 ? ? f ? ? 1 ? ? ? f ?1 ? ? ? f ? 4 ? ? 0 即至少有根 1,2,4,5。故选择 B。

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