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【重点推荐】2019高中数学 第一章 三角函数章末复习课学案 新人教A版必修4

第一章 三角函数
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒] 1.关注角的概念的推广 (1)由于角的概念的推广,有些术语的含义也发生了变化.如小于 90°的角可能是零角、 锐角或负角. (2)注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系,如锐角是第一象限角,但第一象限角不 一定是锐角. 2.确定角所在象限的关注点
1

由三角函数值符号确定角α 的象限时,不要忽视α 的终边可能落在坐标轴上,如 sin α <0 时,α 终边在第三、四象限或 y 轴负半轴上.
3.关注正切函数的定义域

(1)正切函数

y=tan

x

的定义域为???x∈R???x≠kπ

+π2

,k∈Z??,不可写为{x|x≠k·360°+
?

90°,k∈Z}.

(2)有关正切的公式(同角三角函数商关系,诱导公式)应用时有限制条件.

4.平方关系应用的关注点 由平方关系 sin2α +cos2α =1,开方后求另一个三角函数值,易错的地方是未对角所在象 限进行讨论.

5.正确应用诱导公式

(1)明确诱导公式的基本功能:将 k·π2 ±α (k∈Z)的三角函数值化为α 的三角函数值,实

现变名、变号或变角等作用.

(2)熟悉应用口诀解题,一方面注意函数名称,另一方面注意符号的变化.

6.关注三角函数的定义域、值域

(1)解正弦、余弦函数值问题时,应注意正弦、余弦函数的有界性,即-1≤sin x≤1,-

1≤cos x≤1.

(2)解正切函数问题时,应注意正切函数的定义域,即???x???x≠kπ

+π2

,k∈Z??.
?

7.正确掌握含三角函数的复合函数的单调性

(1)要求 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 ω >0)的单调区间,先研究正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的相应单调区间,再把其中的“x”用“ω x+φ ”代替,解关 于 x 的不等式即可求出所求的单调区间,但要特别关注 A 的正负.

(2)正切函数只有单调递增区间无单调递减区间.

专题一 三角函数的概念 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面:理解任意角的概念、弧度的意义,能正 确地进行弧度与角度的换算;掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够利用 三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域.

[例 1]

(1)设角α

属于第二象限,???cos

α 2

???=-cos

α 2

,试判定α2

角属于第几象限.

(2)求函数 y= 3tan x+ 3的定义域.

2

解:(1)依题意得 2kπ +π2 <α <2kπ +π (k∈Z),

所以 kπ +π4 <α2 <kπ +π2 (k∈Z).

当 k=2n(n∈Z)时,α2 为第一象限角;

当 k=2n+1(n∈Z)时,α2 为第三象限角.

又???cos

α 2

???=-cos

α 2

≥0,所以

cos

α 2

≤0.

所以α2 应为第二、三象限角或终边落在 x 非正半轴上或 y 轴上.

综上所述,α2 是第三象限角.

(2)3tan x+ 3≥0,即 tan x≥- 33.

所以





π 6

≤ x<k π



π 2

,所以函数

y=

3tan x+ 3 的 定 义 域 为

???x???kπ

-π6

≤x<kπ

+π2

,k∈Z??.
?

归纳升华

1.由α 所在象限,判断α2 角所在象限时,一般有两种方法:一种是利用终边相同角的集合

的几何意义,用数形结合的方法确定α2 的所属象限;另一种方法就是将 k 进行分类讨论.

2.求函数的定义域注意数形结合,应用单位圆中三角函数线或函数图象解题;求与正切函 数有关问题时,不要忽视正切函数自身的定义域.
[变式训练] (1)若 θ 为第四象限的角,试判断 sin(cos θ )·cos(sin θ )的符号;
(2)已知角α 的终边过点 P(-3cos θ ,4cos θ ),其中 θ ∈???π2 ,π ???,求α 的正切值.
解:(1)因为 θ 为第四象限角,所以 0<cos θ <1<π2 ,-π2 <-1<sin θ <0,

所以 sin(cos θ )>0,cos(sin θ )>0, 所以 sin(cos θ )·cos(sin θ )>0.
(2)因为 θ ∈???π2 ,π ???,所以 cos θ <0, 所以 r= x2+y2= 9cos2θ +16cos2θ =-5cos θ ,

3

故 sin α =yr=-45,

cos α =xr=35,tan α =yx=-43.

专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式

在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时,要注意题中的角的范围,必

要时按象限进行讨论,尽量少用平方关系,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方

法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简,求值时,要注意正负号的选取.

[例 2] 已知12++ttaann((2θπ--πθ ))=-4,求(sin θ -3cos θ )·(cos θ -sin θ )的值.

解:法一:由已知21+ -ttaann

θ θ

=-4,

所以 2+tan θ =-4(1-tan θ ),解得 tan θ =2,

所以(sin θ -3cos θ )(cos θ -sin θ )=

4sin θ cos θ -sin2θ -3cos2θ =

4sin

θ

cos θ -sin2θ -3cos2θ sin2θ +cos2θ

4tan =

θ -tan2θ tan2θ +1

-3 =

8-4+4-1 3=15.

法二:由已知21+ -ttaann

θ θ

=-4,

解得 tan

θ

=2,即scions

θ θ

=2,

所以 sin θ =2cos θ ,

所以(sin θ -3cos θ )(cos θ -sin θ )=

(2cos θ -3cos θ )(cos θ -2cos θ )=

cos2θ

=sin2θco+s2θcos2θ

1 =tan2θ

+1=15.

归纳升华

三角函数式的化简,求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.解

题中的常用技巧有:(1)弦切互化,减少或统一函数名称;(2)“1”的代换,如:1=sin2α +

cos2α

(常用于解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中),1=tan

π 4

等;(3)若式子中有角

kπ 2

,k∈Z,则先利用诱导公式化简.

[变式训练] 已知 tan α =2,求下列各式的值:

4

1 (1)sin2α -sin α cos α -cos2α ;

(2)2sin2α -32sin α cos α +5cos2α .

解:(1)原式=sin2α

sin2α +cos2α -sin α cos α -cos



=tan2

tan2α +1 α -tan α

-1=4-4+2-1 1=5.

2sin2α -32sin α cos α +5cos2α

(2)原式=

sin2α +cos2α

2tan2α -32tan α +5



tan2α +1

3 2×4-2×2+5 = 4+1 =2.

专题三 三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考

查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论

函数的有关性质.

[例 3] 函数 y=Asin(wx+φ )的部分图象如图所示,则( )

A.y=2sin???2x-π6 ??? B.y=2sin???2x-π3 ??? C.y=2sin???x+π6 ??? D.y=2sin???x+π3 ??? 解析:由图象知T2=π3 -???-π6 ???=π2 ,故 T=π ,因此ω =2ππ =2. 又图象的一个最高点坐标为???π3 ,2???,所以 A=2,且 2×π3 +φ =2kπ +π2 (k∈Z),故 φ =
5

2kπ -π6 (k∈Z),结合选项可知 y=2sin???2x-π6 ???.故选 A.
答案:A

归纳升华

1.求解析式的方法:A=ymax-2 ymin,k=ymax+2 ymin,ω =2Tπ ,由“五点作图法”中方法令ω x

+φ =0,π2 ,π ,32π 或 2π 求 φ .

2.图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应.

[变式训练]

函数 y=sin

x 2的图象沿

x

轴向左平移

π

个单位长度后得到函数的图象的一

个对称中心是( )

A.(0,0)

B.(π ,0)

C.???π2 ,0???

D.???-π2 ,0???

解析:函数 y=sin

x 2的图象沿

x

轴向左平移

π

个单位长度后得到函数 y=sin???12(x+π

)???

=sin???12x+π2 ??? =cos 12x 的图象,它的一个对称中心是(π ,0).

答案:B

专题四 三角函数的性质

三角函数的性质,重点应掌握 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的定义域、值域、单调性、

奇偶性、对称性等有关性质,在此基础上掌握函数 y=Asin(ω x+φ ),y=Acos(ω x+φ )及 y =Atan(ω x+φ )的相关性质.在研究其相关性质时,将ω x+φ 看成一个整体,利用整体代换 思想解题是常见的技巧.

[例 4] 已知函数 f(x)=2sin???2x+π6 ???+a+1(其中 a 为常数). (1)求 f(x)的单调区间;

(2)若 x∈???0,π2 ???时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; (3)求 f(x)取最大值时 x 的取值集合.

解:(1)由-π2 +2kπ ≤2x+π6 ≤π2 +2kπ ,k∈Z,解得-π3 +kπ ≤x≤π6 +kπ ,k∈Z,

6

所以函数 f(x)的单调增区间为???-π3 +kπ ,π6 +kπ ???(k∈Z),由π2 +2kπ ≤2x+π6 ≤3π2 +2k π ,k∈Z,解得π6 +kπ ≤x≤2π3 +kπ ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调减区间为???π6 +kπ ,2π3 +kπ ??? (k∈Z). (2)因为 0≤x≤π2 ,所以π6 ≤2x+π6 ≤7π6 ,

所以-12≤sin???2x+π6 ???≤1, 所以 f(x)的最大值为 2+a+1=4,所以 a=1,

(3)当 f(x)取最大值时,2x+π6 =π2 +2kπ ,

所以 2x=π3 +2kπ ,所以 x=π6 +kπ ,k∈Z.

所以当 f(x)取最大值时,x 的取值集合是

???x???x=π6

+kπ

,k∈Z??.
?

归纳升华

1.形如 y=Asin(ω x+φ )+k 单调区间求法策略:可把“ω x+φ ”看作一个整体,代入

正弦函数的相应区间求解.

2.求形如 y=Asin(ω x+φ )+k 的值域和最值时,先求复合角“ω x+φ ”的范围,再利

用 y=sin x 的性质来求解.

[变式训练] (2014·安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x,当 0≤x≤

π 时,f(x)=0,则 f???236π ???=(

)

A.12

B.

3 2

C.0

D.-12

解析:因为 f(x+2π )=f(x+π )+sin(x+π )=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以 f(x) 的周期 T=2π ,
又因为当 0≤x<π 时,f(x)=0,所以 f???5π6 ???=0,

即 f???-π6 +π ???=f???-π6 ???+sin???-π6 ???=0, 所以 f???-π6 ???=12,

7

所以 f???236π ???=f???4π -π6 ???=f???-π6 ???=12.

答案:A

专题五 转化与化归思想

化归思想贯穿本章的始终,在三角函数的恒等变形中,同角关系式和诱导公式常化繁为简,

化异为同,弦切互化;在研究三角函数的图象与性质时,常把函数 y=Asin(ω x+φ )化归为简 单的 y=sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.

[例 5] 求函数 y=12sin???π4 -32x???的单调区间.

解:将原函数化为 y=-12sin???23x-π4 ???.

由 2kπ -π2 ≤23x-π4 ≤2kπ +π2 (k∈Z),

得 3kπ -38π ≤x≤3kπ +98π (k∈Z),此时函数单调递减.



2kπ

+π2

≤23x-π4

≤2kπ

3 +2π

(k∈Z),得

3kπ

9 +8π

≤x≤3kπ

21 +8π

(k∈Z),此时函

数单调递增.

故原函数的单调递减区间为???3kπ

3 -8π

,3kπ

9 +8π

???

(k∈Z),

单调递增区间为???3kπ

9 +8π

,3kπ

21 +8π

???(k∈Z).

归纳升华

1.求形如函数 y=Asin(ω x+φ ),(ω <0)的单调区间时:先把此函数化为 y=-Asin(- ω x-φ )的形式后,再利用函数 y=sin x 的单调区间来求解是常用策略,其目的是使 x 的系数

为正数是关键.

2.在求形如 y=Asin2x+Bsin x+C 的值域或最值时,常令 t=sin x 转化为一元二次函数

来求解.

[变式训练]

已知函数

f(α

)=sin???α

-π2 ???cos???3π2 +α ???tan (2π -α
tan(α +π )sin(α +π )

) .

(1)化简 f(α );

(2)若 f(α )·f???α +π2 ???=-18,且5π4 ≤α ≤32π ,求 f(α )+f???α +π2 ???的值;

8

(3)若 f???α +π2 ???=2f(α ),求 f(α )·f???α +π2 ???的值. 解:(1)f(α )=-costaαn·αs·in(α-·si(n-αt)an α )=-cos α . (2)由(1)知 f???α +π2 ???=-cos???α +π2 ???=sin α , 因为 f(α )·f???α +π2 ???=-18,即 cos α ·sin α =18,
可得(sin α -cos α )2=34, 又5π4 ≤α ≤32π ,cos α ≥sin α ,
所以 f(α )+f???α +π2 ???=sin α -cos α =- 23. (3)由 f???α +π2 ???=2f(α )结合(2)得 sin α =-2cos α ,
联立 sin2α +cos2α =1,解得 cos2α =15,
所以 f(α )·f???α +π2 ???=-cos α ·sin α =2cos2α =25.
9


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