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线性回归方程与独立性检验

某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表: 价格 x (元/kg) 日需求量 y (kg) 10 11 15 10 20 8 25 6 30 5

(Ⅰ) 求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ) 利用(Ⅰ)中的回归方程,当价格 x ? 40 元/kg 时,日需求量 y 的预测值为多少?

参考公式:线性回归方程 ? y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ?
n i ?1 i i

? ? x ? x?
n i ?1 i

2

, a ? y ? bx .

(2015,重庆,文 17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设 某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y (千亿元)
? ?

2010 1 5
?

2011 2 6

2012 3 7

2013 4 8

2014 5 10

(I)求 y 关于 t 的回归方程 y ? b t ? a ; (II)用所求回归方程预测该地区 2015 年( t ? 6 )的人民币储蓄存款. 附:回归方程 y ? b t ? a 中
? ? ?

n ? ( x i ? x)( y i ? y ) ? ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ?a ? y ? b x ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

(2014·辽宁,18,12 分,中)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在

全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示: 喜欢甜品 南方学生 北方学生 合计 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用 甜品的饮食习惯方面有差异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品, 现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.

n(n11n22-n12n21)2 附:χ = , n1+n2+n+1n+2
2

P(χ 2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 χ 2=

n(n11n22-n12n21)2 n1+n2+n+1n+2

100×(60×10-20×10)2 = 80×20×70×30 = 100 ≈4.762. 21

由于 4.762>3.841,所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品 的饮食习惯方面有差异. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω ={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,

b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}.
其中 ai 表示喜欢甜品的学生, i=1, 2, bj 表示不喜欢甜品的学生, j=1, 2, 3. Ω 由 10 个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则

A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),
(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}. 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= 7 . 10

1.(2012· 辽宁,19)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情

况.随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果 绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知 “体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷” 与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知 “超级体育迷”中有 2 名女性.若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. n(n11n22-n12n21)2 附:χ2= , n1+n2+n+1n+2 P(χ2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635 体育迷 合计

解 : (1) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 在 抽 取 的 100 人 中 , “体育迷”为 100×10×(0.02+0.005)=25(人),从而完成 2×2 列联表如下: 非体育迷 男 女 30 45 体育迷 15 10 合计 45 55

合计

75

25

100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n(n11n22-n12n21)2 χ= n1+n2+n+1n+2
2



100×(30×10-45×15)2 100 = 33 75×25×45×55

≈3.030. 因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知, “超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组 成的基本事件空间为

Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),
(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1.2.

Ω由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.
用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)}, 7 事件 A 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=10.

2.

(2014· 东北三校联考,17,12 分)某学生对其亲属 30 人的饮食习惯进

行了一次调查,并用下图所示的茎叶图表示 30 人的饮食指数.(说明:图中饮食 指数低于 70 的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于 70 的人,饮食以肉类为主)

(1)根据以上数据完成下列 2×2 列联表: 主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 (2)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析. n(ad-bc)2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

主食肉类

合计

P(K2≥k0) k0 解:(1)2×2 列联表如下:

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

主食蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 (2)因为 K2= 4 16 20

主食肉类 8 2 10

合计 12 18 30

30×(8-128)2 =10>6.635, 12×18×20×10

所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.

3.

(2013· 福建,19,12 分)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,

25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用 分层抽样的方法, 从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再 将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80),[80, 90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到 一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件 完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄 组有关”? 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 n(n11n22-n12n21)2 附:χ = n1+n2+n+1n+2
2

非生产能手

合计

P(χ2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

4.

(2014· 安徽,17,12 分)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500

人,女生 4 500 人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽 样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直 方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8], (8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率; (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完 成每周平均体育运动时间与性别列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该校学 生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 男生 每周平均体育运动时 间不超过 4 小时 每周平均体育运动时 间超过 4 小时 总计 女生 总计

n(ad-bc)2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

P(K2≥k0) k0 【思路导引】

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

(1)根据抽样比计算分层抽样中应抽取的人数;(2)利用对立

事件或互斥事件的概率公式求运动时间超过 4 小时的概率;(3)先列出 2×2 列联

表,根据 K2 的计算公式求解. 【解析】 4 500 (1)300×15 000=90,所以应收集 90 位女生的样本数据.

(2)由频率分布直方图得 1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平 均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225(人)的每周平均体育运动时间超 过 4 小时,75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的, 所以每周平均体育运动时间与性别列 联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时 间不超过 4 小时 每周平均体育运动时 间超过 4 小时 总计 结合列联表可算得 300×(2 250)2 100 K= = ≈4.762>3.841. 75×225×210×90 21
2

女生 30

总计 75

45

165 210

60 90

225 300

所以, 有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.


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