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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β tan α -tan β tan(α -β )= 1+tan α tan β tan α +tan β tan(α +β )= 1-tan α tan β 2.二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) ,sin α ±cos α = 2 π? ? sin?α ± ?. 4? ? 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( ? )
2, 2 2 2 2 2

(C(α -β )) (C(α +β )) (S(α -β )) (S(α +β ))

(T(α -β )) (T(α +β ))

tan α +tan β (3)公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan 1-tan α tan β α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( ? )
1

(4)存在实数 α ,使 tan 2α =2tan α .( √ ) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α ,β 是任意的.( √ )

cos 40° 1.化简 = cos 25° 1-sin 40° 答案 2

.

cos 40° 解析 原式= cos 25° 1-cos 50° = sin 50° = = 2. cos 25°? 2sin 25° 2 sin 50° 2 . cos ?90°-50°?

sin α +cos α 1 2.若 = ,则 tan 2α = sin α -cos α 2 答案 3 4

sin α +cos α 1 tan α +1 1 解析 由 = ,等式左边分子、分母同除 cos α 得, = ,解得 tan sin α -cos α 2 tan α -1 2 α =-3, 2tan α 3 则 tan 2α = = . 2 1-tan α 4 1 1 3.(2015?重庆改编)若 tan α = ,tan(α +β )= ,则 tan β = 3 2 答案 1 7 .

tan?α +β ?-tan α 解析 tan β =tan[(α +β )-α ]= 1+tan?α +β ?tan α 1 1 - 2 3 1 = = . 1 1 7 1+ ? 2 3 4.(教材改编)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°= 答案 2 2 .

解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)?(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°

2

=sin(58°+77°)=sin 135°=

2 . 2 .

π 4 π 5.设 α 为锐角,若 cos(α + )= ,则 sin(2α + )的值为 6 5 12 答案 17 2 50

π 4 解析 ∵α 为锐角,cos(α + )= , 6 5 π ?π 2π ? π 3 ∴α + ∈? , ?,∴sin(α + )= , 3 ? 6 ?6 6 5 π π π 24 ∴sin(2α + )=2sin(α + )cos(α + )= , 3 6 6 25 π π 7 2 ∴cos(2α + )=2cos (α + )-1= , 3 6 25 π π π ∴sin(2α + )=sin(2α + - ) 12 3 4 = 2 π π 17 2 [sin(2α + )-cos(2α + )]= . 2 3 3 50

题型一 三角函数公式的基本应用 例1 3 π (1)已知 sin α = ,α ∈( ,π ),则 5 2 cos 2α π 2sin?α + ? 4 = .

?π ? (2)设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是 ?2 ?
7 答案 (1)- 5 解析 (1) (2) 3 cos 2α π? ? 2sin?α + ? 4? ?
2 2





cos α -sin α 2? 2 ? 2 ? sin α + cos α ? 2 2 ? ?

=cos α -sin α , 3 ?π ? ∵sin α = ,α ∈? ,π ?, 5 ?2 ?

3

4 ∴cos α =- . 5 7 ∴原式=- . 5 (2)∵sin 2α =2sin α cos α =-sin α , 1 ∴cos α =- , 2

?π ? 又 α ∈? ,π ?, ?2 ?
∴sin α = 3 ,tan α =- 3, 2

2tan α -2 3 ∴tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-?- 3?2 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式 求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. π π 1 (1)若 α ∈( ,π ),tan(α + )= ,则 sin α = 2 4 7 π 3 π (2)已知 cos(x- )=- ,则 cos x+cos(x- )的值是 6 3 3 3 答案 (1) (2)-1 5 π tan α +1 1 解析 (1)∵tan(α + )= = , 4 1-tan α 7 3 sin α ∴tan α =- = , 4 cos α 4 ∴cos α =- sin α . 3 又∵sin α +cos α =1, 9 2 ∴sin α = . 25 π 3 又∵α ∈( ,π ),∴sin α = . 2 5 π (2)cos x+cos(x- ) 3 1 3 =cos x+ cos x+ sin x 2 2 3 3 = cos x+ sin x 2 2
2 2

. .

4

= 3(

3 1 cos x+ sin x) 2 2

π = 3cos(x- )=-1. 6 题型二 三角函数公式的灵活应用 例 2 (1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)?cos(110°-x)的值为 cos 15°+sin 15° (2)求值: = cos 15°-sin 15° 答案 (1) 解析 2 2 (2) 3 . .

(1) 原式=sin(65°- x)?cos(x -20°)+cos(65°- x)cos[90°- (x -20°)]=

sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)] =sin 45°= 2 . 2

1+tan 15° tan 45°+tan 15° (2)原式= = 1-tan 15° 1-tan 45°tan 15° =tan(45°+15°)= 3. 思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用 及变形,如 tan α +tan β =tan(α +β )?(1-tan α tan β )和二倍角的余弦公式的多种 变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力. (1)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B?cos C,且 tan B?tan C=1- 2, 则角 A 的值为 . .

2 π (2)函数 f(x)=2sin ( +x)- 3cos 2x 的最大值为 4

π 答案 (1) 4

(2)3

解析 (1)由题意知:sin A=- 2cos B?cos C=sin(B+C)=sin B?cos C+cos B?sin C, 在等式- 2cos B?cos C=sin B?cos C+cos B?sin C 两边同除以 cos B?cos C 得 tan B tan B+tan C π +tan C=- 2,又 tan(B+C)= =-1=-tan A,所以 A= . 1-tan Btan C 4

? π ? (2)f(x)=1-cos?2? +x??- 3cos 2x 4 ? ?
π? ? =sin 2x- 3cos 2x+1=2sin?2x- ?+1, 3? ? 可得 f(x)的最大值是 3. 题型三 角的变换问题

5

例3

(1)设 α 、β 都是锐角,且 cos α =

5 3 ,sin(α +β )= ,则 cos β = 5 5 .

.

π 4 7π (2)已知 cos(α - )+sin α = 3,则 sin(α + )的值是 6 5 6 2 5 答案 (1) 25 4 (2)- 5
2

解析 (1)依题意得 sin α = 1-cos α =

2 5 , 5

4 2 cos(α +β )=± 1-sin ?α +β ?=± . 5 又 α ,β 均为锐角, 所以 0<α <α +β <π ,cos α >cos(α +β ). 4 5 4 因为 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α +β )=- . 5 于是 cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α 4 5 3 2 5 2 5 =- ? + ? = . 5 5 5 5 25 π 4 (2)∵cos(α - )+sin α = 3, 6 5 ∴ 3 3 4 cos α + sin α = 3, 2 2 5

1 3 4 3( cos α + sin α )= 3, 2 2 5 π 4 3sin( +α )= 3, 6 5 π 4 ∴sin( +α )= , 6 5 7π π 4 ∴sin(α + )=-sin( +α )=- . 6 6 5 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示. ①当“已 知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角” 有一个时, 此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧:2α =(α +β )+(α -β ),α =(α +β )- α +β α -β α +β α -β α -β β α β ,β = - ,α = + , =(α + )-( +β )等. 2 2 2 2 2 2 2
6

π π ?π 若 0<α < , - <β <0, cos? +α 2 2 ?4 = 答案 5 3 9 .

β ? 3 ?=1, ?π β ? ? 则 cos?α + ? ? 3 cos? 4 - 2 ?= 3 , 2? ? ? ? ?

β ? ? ??π ? ?π β ?? 解析 cos?α + ?=cos?? +α ?-? - ?? 2? ? ?? 4 ? ? 4 2 ??

?π ? ?π β ? ?π =cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?4 ? ?4 2? ?4
π π π 3π ∵0<α < ,∴ < +α < , 2 4 4 4

?sin?π -β ?, ? ?4 2? ? ? ?

?π ? 2 2. ∴sin? +α ?= ?4 ? 3
π π π β π 又- <β <0,则 < - < , 2 4 4 2 2 6 ?π β ? ∴sin? - ?= . ?4 2? 3 β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? 故 cos?α + ?= ? + ? = . 2? 3 3 3 3 9 ?

5.三角函数求值忽视角的范围致误 β ? π 1 ? ?α ? 2 典例 (1)已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,则 cos(α + 2? 2 9 ? ?2 ? 3 β )的值为 . .

2 3 (2)已知在△ABC 中,sin(A+B)= ,cos B=- ,则 cos A= 3 4

α β 易错分析 (1)角 -β ,α - 的范围没有确定准确,导致开方时符号错误. 2 2 (2)对三角形中角的范围挖掘不够,忽视隐含条件,B 为钝角. π 解析 (1)∵0<β < <α <π , 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?
β ? ? sin?α - ?= 2? ?

1-sin ?
2

?α -β ?= 5, ? 3 ?2 ?

β ? 4 5 2? 1-cos ?α - ?= , 2? 9 ?

7

β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2 2 2? ?2 ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?? + ? = , 9 3 27 ? 9? 3 ∴cos(α +β )=2cos
2

α +β -1 2

49?5 239 =2? -1=- . 729 729 3 (2)在△ABC 中,∵cos B=- , 4 π 7 2 ∴ <B<π ,sin B= 1-cos B= . 2 4 π 2 ∵ <B<A+B<π ,sin(A+B)= , 2 3 ∴cos(A+B)=- 1-sin ?A+B?=- ∴cos A=cos[(A+B)-B] =cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B =?-
2

5 , 3

? ?

7 3 5+2 7 5? ? 3? 2 . ???-4?+3? 4 = 12 3? ? ?

239 3 5+2 7 答案 (1)- (2) 729 12 温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时,要注意题目中角的范围的限制,特别是进行开 方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外,对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的 问题,解题时要加强对审题深度的要求与训练,以防出错.

[方法与技巧] 1.巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x±tan y=tan(x±y)?(1?tan x?tan y);倍角公式变形:降幂公式 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 cos α = ,sin α = , 2 2 α ?2 ? α 配方变形:1±sin α =?sin ±cos ? , 2 2? ?

8

1+cos α =2cos

2

α 2α ,1-cos α =2sin . 2 2

2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽 可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可 能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数 名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. [失误与防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降 次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2.在三角函数求值时,一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)

cos 85°+sin 25°cos 30° 1. = cos 25° 答案 1 2

.

3 sin 5°+ sin 25° 2 解析 原式= cos 25° sin?30°-25°?+ = 3 1 sin 25° cos 25° 2 2 1 = = . cos 25° cos 25° 2 .

π π 3 7 2.若 θ ∈[ , ],sin 2θ = ,则 sin θ = 4 2 8 答案 3 4

3 7 2 2 解析 由 sin 2θ = 和 sin θ +cos θ =1 得 8 3 7 3+ 7 2 2 (sin θ +cos θ ) = +1=( ), 8 4

9

π π 3+ 7 又 θ ∈[ , ],∴sin θ +cos θ = . 4 2 4 3- 7 3 同理,sin θ -cos θ = ,∴sin θ = . 4 4 sin 2θ 3.若 tan θ = 3,则 = 1+cos 2θ 答案 解析 3 sin 2θ 2sin θ cos θ = =tan θ = 3. 2 1+cos 2θ 1+2cos θ -1 5 1 3 π ,tan β = ,π <α < π ,0<β < ,则 α -β 的值为 5 3 2 2 . .

4.已知 cos α =- 答案 5 π 4

3 5 2 5 1 解析 因为 π <α < π ,cos α =- ,所以 sin α =- ,tan α =2,又 tan β = , 2 5 5 3 1 2- 3 3 π π 3 所以 tan(α -β )= =1,由 π <α < π ,- <-β <0 得 <α -β < π ,所以 α -β = 2 2 2 2 2 1+ 3 5 π. 4 π? 1 π? 2 ? ? 5.已知 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,那么 tan?α + ?= 4? 4 4? 5 ? ? 答案 3 22 .

π π 解析 因为 α + +β - =α +β , 4 4 π? π ? 所以 α + =(α +β )-?β - ?, 4? 4 ? π? π ?? ? ? ? 所以 tan?α + ?=tan??α +β ?-?β - ?? 4? 4 ?? ? ? ? π? ? tan?α +β ?-tan?β - ? 4? 3 ? = = . π ? 22 ? 1+tan?α +β ?tan?β - ? 4? ? 6. sin 50° = 1+sin 10° 1 2
2

.

答案

10

解析 =

sin 50° 1-cos 100° = 1+sin 10° 2?1+sin 10°?

2

1-cos?90°+10°? 1+sin 10° 1 = = . 2?1+sin 10°? 2?1+sin 10°? 2 .

7.已知 α 、β 均为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ),则 tan α = 答案 1 解析 根据已知条件: cos α cos β -sin α sin β =sin α cos β -cos α sin β , cos β (cos α -sin α )+sin β (cos α -sin α )=0, 即(cos β +sin β )(cos α -sin α )=0. 又 α 、β 为锐角,则 sin β +cos β >0, ∴cos α -sin α =0, ∴tan α =1. 1 π π 8.若 tan θ = ,θ ∈(0, ),则 sin(2θ + )= 2 4 4 答案 7 2 10 .

2sin θ cos θ 2tan θ 4 解析 因为 sin 2θ = 2 = 2 = , 2 sin θ +cos θ tan θ +1 5 π π 又由 θ ∈(0, ),得 2θ ∈(0, ), 4 2 3 2 所以 cos 2θ = 1-sin 2θ = , 5 π 所以 sin(2θ + ) 4 π π 4 2 3 2 7 2 =sin 2θ cos +cos 2θ sin = ? + ? = . 4 4 5 2 5 2 10 1 ?π ? ?π ? ?π π ? 9.已知 cos? +α ??cos? -α ?=- ,α ∈? , ?. 6 3 4 ? ? ? ? ?3 2? (1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α - 解 (1)cos? 1 的值. tan α

?π +α ??cos?π -α ? ? ?3 ? ?6 ? ? ?

?π ? ?π ? =cos? +α ??sin? +α ? ?6 ? ?6 ?
π? 1 ? 1 = sin?2α + ?=- , 3? 2 ? 4
11

π? 1 ? 即 sin?2α + ?=- . 3? 2 ? ∵α ∈?

?π ,π ?,∴2α +π ∈?π ,4π ?, ? ? 3 ? 3 ? ?3 2? ?

π? 3 ? ∴cos?2α + ?=- , 3? 2 ? π? π? ?? ∴sin 2α =sin??2α + ?- ? 3? 3? ?? π? π? π π ? ? =sin?2α + ?cos -cos?2α + ?sin 3 3 3 3 ? ? ? ? 1 = . 2

?π π ? ? 2π ? (2)∵α ∈? , ?,∴2α ∈? ,π ?, ?3 2? ? 3 ?
1 3 又由(1)知 sin 2α = ,∴cos 2α =- . 2 2 1 sin α cos α sin α -cos α ∴tan α - = - = tan α cos α sin α sin α cos α 3 - 2 -2cos 2α = =-2? =2 3. sin 2α 1 2 α α 6 ?π ? 10.已知 α ∈? ,π ?,且 sin +cos = . 2 2 2 ?2 ? (1)求 cos α 的值; 3 ?π ? (2)若 sin(α -β )=- ,β ∈? ,π ?,求 cos β 的值. 5 ?2 ? 解 (1)因为 sin α α 6 +cos = , 2 2 2
2 2

1 两边同时平方,得 sin α = . 2 π 3 又 <α <π ,所以 cos α =- . 2 2 π π (2)因为 <α <π , <β <π , 2 2 π π π 所以-π <-β <- ,故- <α -β < . 2 2 2 3 4 又 sin(α -β )=- ,得 cos(α -β )= . 5 5
12

cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) =- 3 4 1 ? 3? ? + ??- ? 2 5 2 ? 5?

4 3+3 =- . 10 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 1 π 2sin α +sin 2α 11.已知 tan(α + )= ,且- <α <0,则 = 4 2 2 π cos?α - ? 4 2 5 答案 - 5 π tan α +1 1 解析 由 tan(α + )= = , 4 1-tan α 2 1 得 tan α =- . 3 π 又- <α <0, 2 所以 sin α =-
2 2

.

10 . 10



2sin α +sin 2α 2sin α ?sin α +cos α ? = =2 2sin α π 2 cos?α - ? ?sin α +cos α ? 4 2

2 5 =- . 5

? π? ?π ? 2 2 12.已知 α ∈?0, ?,且 sin α -sin α cos α -2cos α =0,则 tan? -α ?= 2? ? ?3 ?
答案 8-5 3 11
2 2

.

解析 ∵sin α -sin α cos α -2cos α =0,cos α ≠0, ∴tan α -tan α -2=0. ∴tan α =2 或 tan α =-1,
2

? π? ∵α ∈?0, ?,∴tan α =2, 2? ?

13

π -tan α 3 π ? ? tan? -α ?= π ?3 ? 1+tan tan α 3 tan = 3-2 1+2 3 ? 3-2??2 3-1? ?2 3-1??2 3+1? 8-5 3 8-5 3 = . 12-1 11 .





π? 2 ? π? ? 4 4 13.已知 cos α -sin α = ,且 α ∈?0, ?,则 cos?2α + ?= 2 3? 3 ? ? ? 答案 2- 15 6
4 4 2 2 2 2

解析 ∵cos α -sin α =(sin α +cos α )(cos α -sin α ) 2 =cos 2α = , 3

? π? 又 α ∈?0, ?, 2? ?
∴2α ∈(0,π ), ∴sin 2α = 1-cos 2α =
2

5 , 3

π? 1 3 ? ∴cos?2α + ?= cos 2α - sin 2α 3? 2 2 ? 1 2 3 5 2- 15 = ? - ? = . 2 3 2 3 6 1+cos 2x ? π? 2 14.设 f(x)= +sin x+a sin?x+ ?的最大值为 2+3,则常数 a= 4? ? ?π ? 2sin? -x? 2 ? ? 答案 ± 3
2 1+2cos x-1 ? π? 2 解析 f(x)= +sin x+a sin?x+ ? 4? 2cos x ?

.

? π? 2 =cos x+sin x+a sin?x+ ? 4? ? ? π? 2 ? π? = 2sin?x+ ?+a sin?x+ ? 4? 4? ? ? ? π? 2 =( 2+a )sin?x+ ?. 4? ?

14

依题意有 2+a = 2+3, ∴a=± 3.

2

? π? 15.已知函数 f(x)=1-2sin?x+ ? 8? ? ? ? π? ? π ?? ??sin?x+ ?-cos?x+ ??. 8? 8 ?? ? ? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

? π π? ? π? (2)当 x∈?- , ?,求函数 f?x+ ?的值域. 2 12 8? ? ? ? ? π? ? π? ? π? 解 (1)函数 f(x)=1-2sin?x+ ?[sin?x+ ?-cos?x+ ?] 8? 8? 8? ? ? ?
π? ? π? ? π? 2? =1-2sin ?x+ ?+2sin?x+ ?cos?x+ ? 8? 8? 8? ? ? ? π? π? π? ? ? ? =cos?2x+ ?+sin?2x+ ?= 2sin?2x+ ? 4? 4? 2? ? ? ? = 2cos 2x, 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? ? π? ? (2)由(1)可知 f?x+ ?= 2cos?2x+ ?. 8? 4? ? ?

? π π? 由于 x∈?- , ?, ? 2 12?
π ? 3π 5π ? 所以 2x+ ∈?- , ?, 12 ? 4 ? 4 π? ? 2 ? ? 所以 cos?2x+ ?∈?- ,1?, 4 ? ? ? 2 ?

? π? 则 f?x+ ?∈[-1, 2], 8? ? ? π? 所以 f?x+ ?的值域为[-1, 2]. 8? ?

15


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