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高二上学期文科数学竞赛试题(330份)

高二上学期文科数学竞赛试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 ? 1、在 ?ABC 中, B ? 60 , b ? ac ,则 ?ABC 一定是

A.直角三角形

B.等边三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

2、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程 A. x ? 4 y ? 5 ? 0 B. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 ) B. 数列 {an } 是公差为 2 的等差数列 D. 数列 {an } 是公比为 2 的等比数列 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3、已知数列 ?an ? 满足 an ? 22n ,则( A. 数列 {an } 是公差为 4 的等差数列 C. 数列 {an } 是公比为 4 的等比数列 4、双曲线

x2 y 2 2 ? ? 1? mn ? 0 ? 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y ? 4x 的 m n

焦点重合,则 mn 的值为
3 3 16 8 B. C. D. 16 8 3 3 5、8.全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定(

A.



A.所有被 5 整除的整数都不是奇数 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数

B.所有奇数都不能被 5 整除 D.存在一个奇数,不能被 5 整除 )

x2 ? y2 ? 1 2 2 6、 “ a ? 1 ” 是“方程 a 表示椭圆”的(

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 7. 函数 y = x 2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2
(A) ( ? 1,1] (B) (0,1] (C)

[ 1, ? + )

? 1) (D) ( ? ?,

8、F 是抛物线 y 2 =2 x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点,且 | AF | ? | BF |? 6 ,则线段 AB
的中点到 y 轴的距离为( )
1

(A) 5

2

(B)

5

(C) 3

(D)

3 2

x ?1 ? ? y ?1 9、已知变量 x, y 满足, ? 目标函数是 z ? 2 x ? y ,则有 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

A. z max ? 5, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 10、 已知点 P 为椭圆 C : 的最大值为( A. 2 ) B. 3

B. z max ? 5 , z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值

x2 y 2 则 PF1 ? PF2 F1 , F2 分别是椭圆 C 的焦点, ? ? 1 上动点, 4 3

C. 2 3

D. 4

11、抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 A. 3 B.
7 5

C.

8 5

D.

4 3

12、设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,若椭圆 C 上存在点 P ,使 a 2 b2

线段 PF1 的垂直平分线过点 F2 ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(
1 1 1 2 A. (0, ] B. ( , ) C. [ ,1) 3 3 2 3 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
1 2 D. [ , ) 3 3

)

13、曲线 y ? 4 x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是________.

1 数列?an ?的通项公式an ? n(n ? 1),则Sn为数列{ }的前n项 an 14、 的和,则Sn = _________ .
2 3 15、已知 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_________ x y

16、已知 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) 的左、右焦点, A 为椭圆 C 的短轴 4 b2
2

的一个端点,若 ?AF1F2 为正三角形,则 b ? _____________ 三. 解答题:本大题共 4 小题,共 40 分) 17、已知在锐角Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, sin A ?
2 2 .a=2, 3

S ?ABC ? 2 .求 b 的值.(8 分)
1 18、 (10 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? S n , n ? 1, n ? N ? . 3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)a2+ a4+ a6+?+ a2n 的值.

19、 (10 分) 设椭圆中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 一个顶点 ?2,0? , 离心率为 (1)求椭圆的方程;

3 . 2

(2)若椭圆左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,过 F1 且斜率为 1 的直线交椭圆于 B ,求

?ABF 2 的面积.
20、 (12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) , 离心率为 . 直 2 a b 2

线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 交于不同的两点 P , Q . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若 OP ? OQ (其中 O 为原点) ,求 k 的值.

3


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