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2019年宁夏银川一中高三上学期第一次月考数学(文)试题(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5
银川一中高三年级第一次月考
数 学 试 卷(文)

命题人: 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。

1.若复数 (m2 ? 3m) ? (m2 ? 5m ? 6)i ( m?R )是纯虚数,则 m 的值为

A.0

B.2

C.0 或 3

2.设 U=R,A={x|x2-3x-4>0},B={x|x2-4<0} ,则 (CU A) ? B ?

A.{x|x≤-1,或 x≥2} B.{x|-1≤x<2} C.{x|-1≤x≤4}

D.2 或 3 D.{x|x≤4}

3.已知? 是第三象限角, tan? ? 4 ,则 cos? = 3

A. 4 5

B. 3 5

C. ? 3 5

D. ? 4 5

4.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2x ? 0 ; q :" x ? 1" 是" x ? 2" 的充分不必要条件,则下列命题

为真命题的是
A. p ? ?q

B.? p ? ?q

C.? p? q

D. p ? q

5.曲线 y ? x 在点(1, 1)处的切线方程为 x?2

A.y=x3

B.y=2x+1

C.y=2x4

D.y=2x-3

6.函数

f

(x)

?

?

1 x

?

log 2

x

的一个零点落在下列哪个区间

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)

7.已知函数 y ? f (x2 ?1) 定义域是 ??0, 5 ?? ,则 y=f(2x+1)的定义域

A.[0, 5] 2

B. [?4,7]

C. [?4,4]

D. [?1, 3] 2

8.将函数 y ? 3 cos(2x ? ? ) 的图像向右平移 m ?m ? 0? 个长度单位后,所得到的图像关于原点对称,则 3 m 的最小值是

A. ? 4

B. ? 3

C. 5? 6

D. 5? 12

9.函数 f (x) ? loga (2 ? ax) 在 ?0,3?上为增函数,则 a 的取值范围是

A. ?? 2 ,1?? ?3 ?

B.(0,1)

C. ?? 0, 2 ?? ? 3?

D. ?3,???

10.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

A

B

C

D

11.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增加的,又 f(-3)=0,

则 x·f(x)<0 的解集是

A.{x|-3<x<0,或 x>3}

B.{x|x<-3,或 0<x<3}

C.{x|-3<x<0,或 0<x<3}

D.{x|x<-3,或 x>3}

12.已知函数 y ? f (x) 的定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ?(??, 0) 时, xf '(x) ? f (?x) (其

中 f '(x) 是 f (x) 的导函数),若 a ?

3f(

3)



b

?

(lg 3)

f

(lg

3)



c

?

(log2

1) 4

f

(log2

1) 4

,则

A. c ? a ? b B. c ? b ? a

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第

22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.将函数 y ? 2sin(2x ? ? )的图像向右平移 1 个周期后,所得图像对应的函数为

3

4

___________________.

14.已知偶函数 f ? x? 在?0, ??? 单调递减,若 f(x-2)>f(3),则 x 的取值范围是__________.

15.已知直线 y=ex+1 与曲线 y ? ln(x ? a) 相切,则 a 的值为



16.已知函数

f(x)=

??2ex ?

,

x

?

0(其中

e

为自然对数的底数),则函数

y=f(f(x))的零点等于

.

?ln x, x ? 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

已知函数

f

(x)

?

Asin(?x ??) ?1(

A

?

0,?

?

0,?? 2

??

?

? 2

)的图像关于直线

x=π3对称,

最大值为 3,且图像上相邻两个最高点的距离为? 。

(1)求 f (x) 的最小正周期;

(2)求函数 f (x) 的解析式;

(3)若

f

? (

?

?

)

?

7

,求 sin?



23 5

18.(本小题满分 12 分)

设 f (x) ? 4sin(2x ? ? ) + 3 . 3

(1)求 f (x) 在[0, ? ]上的最大值和最小值; 2

(2)把 y ? f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象

向左平移 2? 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象,求 g(x)的单调减区间。 3
19.(本小题满分 12 分)

已知定义域为 R 的单调函数 f ? x? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? 2x .
3
(1)求 f ? x? 的解析式;

(2)若对任意的t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x ? a2 , g(x) ? x ? ln x ,其中 a ?1。 x
(1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,求 h(x) ? f (x) ? g(x) 在(1,h(1))处的切线方程;
? ? (2)若对任意的 x1, x2 ? 1, e ( e 为自然对数的底数)都有 f (x1 ) ? g(x2 ) 成立,求实数 a 的取
值范围。 21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x ) ? 1 x2 ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x 2
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最小值和最大值; (2)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性;

(3)是否存在实数

a,对任意的

x1,x2 ? (0,+∞),且

x1≠x2,都有

f(

x2 ) ? x2 ?

f( x1

x1

)

?

a 恒成立.若存在,求出

a 的取值范围;若不存在,说明理由.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B

铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

A

如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为

割线,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一

P

点,且 DE2=EF·EC? (1)求证:?P=?EDF;

·O

B

FE

(2)求证:CE·EB=EF·EP.

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

D

在平面直角坐标系

xOy

中,已知曲线 C1

:

?x

? ?

y

? ?

cos? sin?

(?为参数)

,以平面直角坐标系

xOy

的原

点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ?(2cos? ? sin? ) ? 6 .

(1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2 试写出 直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程;
(2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值.
24.(本小题满分 10)不等式选讲
已知函数 f (x) ?| x ? a | ? 2x ?1 (a ? R).

(1)当 a = 1时,求不等式 f (x) ? 2 的解集;

(2)若

f

( x)

?

2x

的解集包含

?1 ?? 2

,1???

,求

a

的取值范围.

银川一中高三第一次月考数学(文科)答案

一.A BCAB, BDDCD, CA

二.13. y ? 2sin(2x ? ? ) 6

14。 ??1,5?

15。 3 e

16。 e

17.(12 分)

解:(1)∵图像上相邻两个最高点的距离为? 。∴?(x)的最小正周期 T=π.……4 分

(2)∵最大值为 3, ∴A+1=3,∴A=2.

由(1)∴?(x)的最小正周期 T=π. ∴ ? ? 2 .

又因为 f(x)的图像关于直线 x=π3对称,

所以 2×π3+φ=kπ+π2,k=0,k∈Z, 则 φ=kπ-π6.

又?? 2

?

?

?

? 2

,所以

φ=-π6.

∴函数 f(x)的解析式为 f (x) ? 2sin(2x ? ? ) ?1. 6

…………8 分

(3)∵ f (? ? ? ) ? 2sin[2(? ? ? ) ? ? ] ?1 ? 2sin(? ? ? ) ?1 ? 2cos? ?1 ? 7 ,

23

23 6

2

5

∴ cos? ? 1 , ∴ sin? ? ? 1? cos2 ? ? ? 1? (1)2 ? ? 2 6 . …………12 分

5

5

5

18. (12 分)解:( ? ) f ? x? 的最大值是 4+ 3 ,最小值是 ? 3 。 …………6 分

(2)把 y ? f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到

y ? 4sin(x ? ? ) ? 3 的图像. 3

再把得到的图象向左平移 2? 个单位,得到 y ? 4sin(x ? ? ) ? 3 的图像.

3

3

∴ g(x) ? 4sin(x ? ? ) ? 3 。 3

…………9 分

由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3? ? 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 7? .

2

3

2

6

6

∴g(x)的单调减区间是[2k? ? ? , 2k? ? 7? ](k ? Z ).

6

6

…………12 分

19.(12 分)

解:(1) 定义域为 R 的函数 f ? x? 是奇函数 ? f ?0? ? 0 .

当 x ? 0 时, ?x ? 0
又 函数 f ? x? 是奇函数

? f ??x? ? ?x ? 2?x
3
? f ??x? ? ? f ?x?

? f ? x? ? x ? 2?x
3

…………………………………………5 分

综上所述

f

?

x?

?

? ? ? ?

x 3

? 2x 0

? ?

x

?

2?x

?3

?x ? 0? ?x ? 0? ?x ? 0?

………………………6 分

? ? (2)? f (?1) ? 1 ? f (0) ? 0 , f x 为 R 的单调函数 6
? f ? x? 在 R 上单调递减.

由 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 得 f (t2 ? 2t) ? ? f (2t2 ? k)

f (x) 是奇函数

? f (t2 ? 2t) ? f (k ? 2t 2 )

又 f (x) 是减函数 ? t2 ? 2t ? k ? 2t2

即 3t2 ? 2t ? k ? 0对任意 t ? R 恒成立

?? ? 4 ?12k ? 0 得 k ? ? 1 即为所求。 ……………………12 分
3

20.(12

分)(1)解:∵

f

?( x)

?1?

a2 x2

,

∵x=2

是函数

f(x)的极值点,

∴ f ??2? ? 0 , 即1? a2 .又 a≥1, ∴a=2
4

∴ h(x) ? f (x) ? g(x) ? 2x ? 4 ? ln x , x

∴ h?(x)

?

2?

4 x2

?

1 x

,

∴k

?

h?(1)

?

2

?

4 12

?

1 1

?

?1,

又h(1)=6

∴所求的切线方程是 y-1=-(x-6),即 y=-x+7. …………6 分

(2)解:对任意的 x1, x2 ??1,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1,e? 都有

?? f ? x???min ≥ ??g ? ?x ??max . ……5分

当 x ?[1, e ]时, g?? x? ? 1? 1 ? 0 .
x
∴函数 g ?x? ? x ? ln x 在?1,e?上是增函数.

∴ ??g ? x???max ? g ?e? ? e ?1 .



f

??x?

?1?

a2 x2

?

? x ? a??x ? a?
x2

,且

x??1,e?, a

?

0.

① 当1≤ a ≤ e 时,

若1≤

x

<a

,则

f

??

x?

?

?

x

?

a??x
x2

?

a?

?

0,



a



x



e

,则

f

??

x?

?

?

x

?

a??
x2

x

?

a?

?

0



∴函数 f ? x? ? x ? a2 在?1, a? 上是减函数,在 ?a,e?上是增函数.
x

∴ ?? f ? x???min ? f ?a? ? 2a .

由 2a ≥ e ?1,得 a ≥ e ?1 , 又 1≤ a ≤ e ,∴ e ?1 ≤ a ≤ e . …………9 分

2

2

②.当

a

?

e



x

? [1,

e

]时,

f

??x?

?

?

x

?

a??x
x2

?

a?

?

0,

∴函数 f ? x? ? x ? a2 在?1,e?上是减函数.
x

∴ ?? f

? x???min

?

f

?e? ? e?

a2 e

.由 e ?

a2 e

≥ e ?1,得 a ≥

e,

又 a ? e ,∴ a ? e .

综上所述,

a

的取值范围为

? ??

e

? 2

1

,

??

? ??



…………12 分

21.(本小题满分12分)

解:(1)当 a=1 时, f ( x ) ? 1 x2 ? 2ln x ? x . 2

则 f ?( x ) ? x ? 2 ?1 ? x2 ? x ? 2 ? ( x ?1)( x ? 2 ) . x ?[1,e]

x

x

x

∴当 x ? (1, 2) 时, f ?(x)?0, 当 x ? ( 2 e, 时) , f ?(x )? 0 .

∴f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,e)上是增函数。 ∴当 x=2 时,f(x)取得最小值,其最小值为 f(2)=-2ln2.

…………2 分

又 f (1) ? ? 1 ,

e2 f (e) ? ? e ? 2.

2

2

f (e) ? f (1) ? e2 ? e ? 2 ? 1 ? e2 ? 2e ? 3 ?0 ,

2

2

2

∴ f (e)? f (1)



f

( x)max

?

f

(1)

?

? 1 . …………4 分 2

(Ⅱ) f(x)的定义域为 (0, ??) ,

f ?(x) ? x ? a ? a ? 2 ? x2 ? (a ? 2)x ? 2a ? (x ? 2)(x ? a) 。

x

x

x

(1) 当 ?2?a ? 0 时,

f(x)在(0,-a)上是增函数,在(-a,2)上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数。

(2)当 a=-2 时,在 (0, ??) 上是增函数。

(3) a??2 时, 则 f(x)在(0,2)上是增函数,在(2,-a)上是减函数,

在 (?a, ??) 上是增函数。

………8 分

(Ⅲ)

假设存在实数 a,

对任意的 x1,x2?(0,+∞),且 x1≠x2,都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? a 恒成立

不妨设 0? x1? x2 ,



f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? a ,即

f (x2 ) ? ax2 ?

f

(x1) ? ax1 .

令 g(x)=f(x)-ax= 1 x2 ? 2a ln x ? ( a ? 2 )x -ax= 1 x2 ? 2a ln x ? ?2x .

2

2

只要 g(x)在(0,+∞)为增函数

g?(x) ? x ? 2a ? 2 ? x2 ? 2x ? 2a ? (x ?1)2 ?1? 2a

x

x

x

要使 g?(x) ? 0 在(0,+∞)恒成立,只需-1-2a≥0, a ? ? 1 . 2

故存在 a ? (??, ? 1] 满足题意。………12 分 2
22.(本小题满分 10 分)证明(1)∵DE2=EF·EC,

∴DE ? CE=EF? ED.

∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P.
∴?P=?EDF.…………5 分 (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA,
∴ΔDEF∽ΔPEA.∴DE ? PE=EF ? EA.即 EF·EP=DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E,∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP.…………10 分
23.(10 分)解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2x ? y ? 6 ? 0 ,………2 分

∵曲线 C2 的直角坐标方程为: (

x )2 ? ( y)2 32

?1,

∴曲线

C2

的参数方程为:

?? ? ??

x y

? ?

2

3 cos? sin ?

(?

为参数)

.…………5



(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2 sin? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:

d ? | 2 3 cos? ? 2sin? ? 6 | ? | 4sin(600 ?? ) ? 6 | ,………………7 分

5

5

∴当

sin(600-θ)=-1

时,点

P( ?

3 2

,1

),此时 dmax

?

|4?6| 5

?

2

5 .…………10 分

24.(本小题满分 10 分)解:(1)当 a = 1时,不等式 f (x) ? 2 可化为 | x ? 1| ? | 2x ?1 ? 2 |

①当 x ? 1 时,不等式为 3x ? 2 ,解得 x ? 2 ,故 x ? 2 ;

2

3

3

②当 ?1 ? x ? 1 时,不等式为 2? x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2

③当 x ? ?1时,不等式为 ?3x ? 2,解得 x ? ? 2 ,故 x ? ?1; 3

综上原不等式的解集为 ??x ?

x

?

0, 或x

?

2?

3

? ?



…………………………5 分

(2)因为

f (x)

?

2x

的解集包含

?1 ?? 2

,1???

,不等式可化为 |

x?

a

|? 1,解得 ?a

?1?

x

?

?a ?1,

由已知得

???a ?

?1?

1 2

,………………………9



???a ?1 ? 1

解得 ? 3 ? a ? 0 2



所以

a

的取值范围是

????

3 2

,

0???

.…………………10



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