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www.77304z.com:最新-学年高中数学 第三章 统计案例模块复习课课件 北师大版选修2-3名师编辑资料_图文

第3章 统计案例

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要点梳理

①散点图;②2×2 列联表;③χ2=(+)((+)-(+)2)(+);④相关系数.

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要点梳理

1.变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是

相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.

(2)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变

量的这种相关关系称为正相关,点散布在左上角到右下角的区域内,

两个变量的相关关系为负相关.

2.回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其

基本步骤是:(ⅰ)画散点图;(ⅱ)求回归直线方程;(ⅲ)用回归直线方

程进行预测.

(1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线

附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归

直线.

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要点梳理

(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.

设具有线性相关关系的两个变量x,y的一组观察值为

(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归直线方程y=a+bx的系数为







=

∑=1(xi-x)(yi-y)

n


(-)2

=

∑=1-




2 -2

,

i= 1

=1

= -.

其中

=

1


∑ xi,
=1

=

1


∑ yi,(,
=1

)称为样本点的中心.

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要点梳理

(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这 类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数
列联表(称为2×2列联表)为

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要点梳理

2×2 列联表

y1

y2

总计

x1 x2 总计

a

b

a+b

c

d

c+d

a+c

b+d

a+b+c+d

构造一个随机变量 χ2=(+)(+()-(+)2)(+),其中 n=a+b+c+d 为 样本容量.
(3)独立性检验 利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独 立性检验.

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要点梳理

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)通过回归方程y=bx+a可以估计和观测变量的取值和变化趋势.
() (2)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的观测值越
大. ( ) (3)由独立性检验可知,有99%的把握认为物理成绩优秀与数学成
绩有关,某人数学成绩优秀,则他有99%的可能物理优秀. ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)×

专题归纳

高考体验

专题一

专题二

专题一 回归分析 【例1】 蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均 使用氮肥量x kg与每单位面积蔬菜年平均产量y t之间的关系有如 下数据:

年份 x(kg) y(t) 年份

1985 70 5.1
1993

1986 74 6.0
1994

1987 80 6.8
1995

1988 78 7.8
1996

1989 85 9.0
1997

1990 92 10.2
1998

1991 90 10.0
1999

1992 95 12.0

x(kg) 92 108 115 123 130 138 145

y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0

专题归纳

高考体验

专题一

专题二

(1)求x与y之间的相关系数,并检验是否线性相关; (2)若线性相关,求蔬菜产量y与使用氮肥量x之间的回归直线方程, 并估计每单位面积施肥150 kg时,每单位面积蔬菜年平均产量. 分析使用样本相关系数计算公式来完成,然后判断线性相关,再 计算出a,b,利用回归方程预测产量.

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高考体验

专题一

专题二

解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:

i1 2 3 4 xi 70 74 80 78 yi 5.1 6.0 6.8 7.8

56 85 92 9.0 10.2

78 90 95 10.0 12.0

xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1 140

i 9 10 11 12

13 14

15

xi 92 108 115 123 130 138 145

yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0

xiyi 1 058 1 188 1 357 1 500.6 1 625 1 766.4 1 885

专题归纳

高考体验

专题一

专题二



=

1 15515=101,

=

151.7 15

15
≈10.11,∑=1xi2=161

15
125,i∑=12=1

15
628.55, ∑ xiyi=16 076.8.
=1

故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数

r=

16 076.8-15×101×10.11

(161 125-15×1012)(1 628.55-15 ×10.112)

≈0.864 3. 由此可以有把握认为蔬菜产量与氮肥量之间存在线性相关关
系.

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高考体验

专题一

专题二

(2)设所求的回归直线方程为 y=bx+a,

15
则 b=∑=1∑152--11552 =1

=16

076 .8-15 × 101 × 10.11 161 125-15×1012

≈0.093

7,

a=-b ≈10.11-0.093 7×101

=0.646 3, 所以回归直线方程为 y=0.093 7x+0.646 3.

当 x=150 时,y=0.093 7×150+0.646 3=14.701 3.

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专题一

专题二

反思感悟 回归分析是对两个量进行线性相关强弱的判断及由回 归直线方程,根据一个变量的值,预测或控制另一个变量的值.判断 两个变量是否相关有两种方法:一是画出“散点图”;二是计算相 关系数r的值.值得一提的是,在求回归直线方程进行回归分析前,一 定要先判断出两个变量具有相关性,方可求回归直线方程,否则求 出的回归直线方程将毫无意义.

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高考体验

专题一

专题二

跟踪训练1安徽某所中学的10名女生在高一和高二的数学成绩 如下表:
x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72
其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩. (1)y与x是否具有相关关系? (2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.

专题归纳

高考体验

专题一

专题二

解(1)由已知表格中的数据,利用计算器进行计算,得
10
r= ∑=1(-)(-) ≈0.780 297.
1∑=01(-)21∑=01( -)2
所以 x 与 y 之间具有线性相关关系.
(2)设回归直线方程为 y=bx+a,
10
则 b=∑=11∑(0(-)-()2-) ≈1.22, =1
a=-b ≈72.3-1.22×71=-14.32, 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y=1.22x-14.32.

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专题一

专题二

专题二 独立性检验

【例2】 气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人员对两种

中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比,所得数据如下表.

药效情况 草药情况

有效 无效 总计

复方江剪刀草

184

61

245

胆黄片

91

9

100

总计

275

70

345

问:它们的疗效有无差异.

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高考体验

专题一

专题二

分析根据2×2列联表计算出χ2的值,再结合临界值即可作出合理

的判断.

解根据列联表的数据可以求得

χ2=34257×5

(184×9-61×91)2 ×70×245×100

≈11.098.

因为χ2>6.635,所以我们有99%的把握认为这两种药物的疗效有 差异.

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专题一

专题二

反思感悟 在实际问题中,经常会面临推断的问题,在对问题进行 推断时,我们不能仅凭主观意愿作出结论,还需要通过抽样收集数 据,并根据独立性检验的基本原理作出合理的推断.
独立性检验问题的基本步骤为:(1)找相关数据,作列联表;(2)求统 计量χ2;(3)判断可能性,注意与临界值作比较,得出事件有关的确信 度.若χ2>6.635,则有99%的把握认为“X与Y有关系”;若χ2>3.841,则 有95%的把握认为“X与Y有关系”;若χ2>2.706,则有90%的把握认 为“X与Y有关系”;如果χ2<2.706,就认为没有充分的证据显示“X 与Y有关系”.

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专题一

专题二

跟踪训练 2 为检验回答一个问题的对错是否和性别有关,有人作 了一个调查,其中女生人数是男生人数的12,男生答对人数占男生人 数的56,女生答错人数占女生人数的23.
(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则男生至少 有多少人?
(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则男生至 多有多少人?

专题归纳

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专题一

专题二

解设男生人数为 x,依题意可得 2×2 列联表如下:

男生 女生 总计

答对 5x 6 x 6
x

答错
x
6 x
3 x
2

总计
x x 2 3x 2

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高考体验

专题一

专题二

(1)若有 99%的把握认为回答结果的对错和性别有关,则

χ2>6.635.



χ2=32·56·2··32-·6·6

2

=

3 8

>6.635,

解得 x>17.693.

因为
2

,

6

,

3为整数,所以若有

99%的把握认为回答结果的对错和

性别有关,则男生至少有 18 人.

专题归纳

高考体验

专题一

专题二

(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关,则

χ2≤2.706.



χ2=32·56·2··32-·6·6

2

=

3 8

≤2.706,

解得 x≤7.216.

因为
2

,

3

,

6为整数,所以若没有充分的证据显示回答结果的对错

和性别有关,则男生至多有 6 人.

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考点一 回归分析

1.(2015·福建高考改编)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出 的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入 x/万元

8.2 8.6 10.0 11.3 11.9

支出 y/万元

6.2 7.5 8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=-b .据此估计, 该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元

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解析:∵



=

8.2+8.6+10+11.3+11.9 5

=10,

=

6.2+ 7.5+8 +8.5 5

+9.8=8,∴

a=-0.76=8-0.76×10=0.4.∴y=0.76x+0.4.当 x=15

时,y=0.76×15+0.4=11.8.

答案:B

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2.(2015·课标Ⅱ高考)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化
硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

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解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势, 故其排放量与年份负相关,故D错误. 答案:D

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3.(2015·重庆高考改编)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年 增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:

年份 时间代号 t

2010 1

2011 2

2012 3

2013 4

2014 5

储蓄存款 y/千亿元

5

6

7

8

10

(1)求 y 关于 t 的回归方程 y=bt+a;
(2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款.

附:回归方程 y=bt+a 中,b=∑=∑n1tiy2 i--t2y,a=-b. i=1

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解(1)列表计算如下:

i

ti

yi

ti2

tiyi

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

10

25

50



15

36

55

120

这里

n=5,

=

1

∑= 1ti=155

=3,y

=

1 n

i∑=n1yi =356 =7. 2.

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又 ltt=∑=12 -n2=55-5×32=10,lty=∑=1tiyi-n =120-5×3×7.2=12,

从而

b=

=

12 10

=1.2,a=-b=7.2-1.2×3=3.6,

故所求回归方程为 y=1.2t+3.6.

(2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存

款为 y=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).

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4.(2016·课标Ⅲ高考)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化
处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.

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(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数

加以说明;

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活

垃圾无害化处理量.

附注:

7

7

参考数据: ∑ yi=9.32, ∑ tiyi=40.17,

7


(-)2=0.55,√7

≈2.646.

=1

i=1

=1



参考公式:相关系数 r=

∑ (
=1

-)(-

)

,


∑ (
=1

-)2∑=1(

-)2

回归方程 y=a+bt 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:

b=∑=1∑((-) -()2 -),a=-b. =1

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解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

7
=4, ∑ (ti-t)2=28,

7


(-)2=0.55,

=1

i=1

7

7

7

∑ (ti-)(yi-)= ∑ tiyi- ∑ yi=40.17-4×9.32=2.89.r≈

=1

=1

=1

2.89 0.55 × 2× 2.646

≈0.99.

因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度

相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.

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(2)由

=

9.32 7

≈1.331

及(1)得

7

b=∑=1∑(7(-) -()2 -)

=

2.89 28

≈0.103,

=1

a=-b ≈1.331-0.103×4≈0.92.

所以,y 关于 t 的回归方程为 y=0.92+0.10t.

将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得 y=0.92+0.10×9=1.82.所

以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨.

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考点二 独立性检验 5.(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相 关.下列结论中正确的是( ) A.x与y负相关,x与z负相关 B.x与y正相关,x与z正相关 C.x与y正相关,x与z负相关 D.x与y负相关,x与z正相关 解析:由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关. 答案:A

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6.(2017·课标Ⅱ高考)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖
方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品 的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
旧养殖法

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新养殖法

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(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧养殖法的 箱产量低于 50 kg,新养殖法的箱产量不低于 50 kg”,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产 量与养殖方法有关;

箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的 估计值(精确到 0.01).

附:

,χ2=(+)((+)-(+)2)(+) .

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解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件 “新养殖法的箱产量不低于50 kg”.
由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,
故P(B)的估计值为0.62. 新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为
(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66.
故P(C)的估计值为0.66.
因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409 2.

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(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66

χ2=20100×0

(62×66-34× 38)2 ×100× 96×104

≈15.705.

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg

的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,

箱产量低于55 kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.05.-006.834 ≈52.35(kg).


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