当前位置:首页 >> 数学 >>

一道课本习题的延伸和推广


20

数 学 通 讯               2001 年第 18 期

一道课本习题的延伸和推广

专论荟萃

  

史有作
( 无锡市第一中学 , 江苏   214031)

   新编高中数学课本第二册 ( 上) 有这样一道练习 题: 一段长为 l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园 , 问这个矩形的长 、 宽各为多少时 , 菜园的面积 最大 ,最大值是多少 ? 下面 先 分 析 这 道 题 的 解 法. 解法 1   如图 1 , 设矩形的 图 1   解法 1 用图 宽为 x m , 则其长为 ( l - 2 x ) m , 面积 S = x ( l - 2 x ) = - 2 x + l x = - 2 ( x l
2 2

( l - 3 x) m, S = x ( l - 3 x) (0 < x < l

3

).
图2  延伸题用图

∵ x , l - 3x >0, ∴ S = x ( l - 3 x) =
( l - 3 x) 3 x?

1 ? 3

1 3 x + ( l - 3 x ) 2 l2 ≤ [ ] = . 3 2 12

当且仅当 3 x = l - 3 x , 即 x =
l

l

6

时 , 等式成立 ,

4

) +

2

此时 l - 3 x =
l

8

(0 < x <

l

2

). l

. ( 下略) 2 推广   如果注意到上面两题中的总宽 = 总长 =

l

所以当 x =

4

时 , S max =
l

l

2

8

, 此时 l - 2 x = l

l

2

.

2

时 , 面积 S 取得最大值 , 即
1) 当 x + x = l - 2 x =
l

答  矩形的长为 最大 , 最大值为
l l
2

2

m、 宽为

4

m 时 , 菜园的面积

2

时 , S max =
l

l2

4? 2

; l2

8 解法 2   同解法 1 , S = x ( l - 2 x ) , ∵ 0 < x <

m2 .

时 , S max = . 2 4? 3 那么我们不难猜想出下面的结论 : 设 x , y , l 均为正数 , n ∈N+ , x + x + …+ x + y
n个

2) 当 x + x + x = l - 3 x =

2

, ∴ l - 2x >0,

∴ S = x ( l - 2 x) =

1 ( l - 2 x) ? 2 x? 2 1 2 x + ( l - 2 x ) 2 l2 ≤ [ ] = . 2 2 8
l

= l , S = xy , 则

当 x + x + …+ x = l - nx =
n个

l

2

( n ∈N+ ) 时 ,

S max =

当且仅当 2 x = l - 2 x , 即 x =
( 下略)

4

时 , 等式成立 .

l2 . 4n

( 读者可以根据这个结论自己编题)

容易证明上面的猜想是正确的 : ∵0 < x <
l , ∴ l - nx > 0 , n

延伸   一段长为 l m 的篱笆围成一个一边靠墙 的两个相邻的矩形菜园 , 问菜园平行于墙的篱笆总 长及篱笆宽各为多少时 , 菜园的面积最大 , 最大值是 多少 ?
( 本题实质上是 1982 年全国高考文科试题 , 仅

S = x ( l - nx ) =

1
n

( l - nx ) ? nx ?

2 1 nx + ( l - nx ) 2 l ≤ [ ] = , n 2 4n

是文字叙述有所不同而己) 解  如图 2 , 设篱笆宽为 x m , 则菜园总长为

当且仅当 nx = l - nx , 即 x =

l l 时 , S max = . 2n 4n ( 收稿日期 :2001 - 05 - 11)

2


赞助商链接
相关文章:
农业推广复习题(答案版)
农业推广习题(答案版)_教育学_高等教育_教育专区。农学 一、名词解释 1....是申请科研课题立项,策划科研开展的一种文件,它的表达形式是科研项 目申请书。...
农业推广学复习题(有答案)
《农业推广学》复习题 一、名词解释 1.农业推广: ...A、农师;B、编制农;C;试验、示范、培训、推广...(3)农民自己操作练习 14.商业性推广组织的行为特点...
角的概念推广与弧度制练习题
角的概念推广与弧度制练习题_数学_高中教育_教育专区。角的概念推广与弧度制 1...有一条弧的长是 144mm ,求此弧对的圆心角的弧度数 ( ) A.1.2 B.1....
农业推广学相关复习题及答案
农业推广 1. 农业推广的内容、地位、和作用是什么 ...6. 衡量农业科技成果质量的标准有哪几? 国家科学...(如科研规划、计划、技术方案、任务书、协议书、 ...
农业推广学习题
农业推广习题_教育学_高等教育_教育专区。1.农业推广的基本内涵是什么? 2.农业推广学的研究对象是什么? 3.如何才能学好农业推广学? 4.创新的基本概念是什么?...
角的概念的推广练习题
角的概念的推广练习题_数学_高中教育_教育专区。1、下列说法正确的是( A 第一象限的角一定是锐角 ) B 锐角一定是第一象限角 C、小于 90 ? 的角一定是锐角...
《农业推广学》复习题
《农业推广学》复习题_农学_高等教育_教育专区。1.论述农业推广在农村城镇化过程中的作用。 (1)农业推广培养新型农民、发展农业,保持农产品供给,提高农业产业化,...
农业推广习题
农业推广习题 - 第二章 1.试述创新扩散的概念? 答:创新扩散是指一种新的观点、思想、等一旦被引入到一个社会系统,就会在这个社会系 统中从一个决策单位不断...
农业推广复习题及答案
1) 内容: i. 狭义的农业推广:把大学和科研机构的...9. 衡量农业科技成果质量的标准有哪几? 国家科学...(如科研规划、计划、 技术方案、任务书、协议书、...
五年级数学乘法运算定律在小数乘法中的推广练习题
五年级数学乘法运算定律在小数乘法中的推广练习题 - 卓越个性化教学讲义 乘法运算定律在小数乘法中的推广练习题 提示: 乘法交换律、结合律和分配律在小数乘法中一样...
更多相关文章: