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一道课本习题的延伸和推广


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数 学 通 讯               2001 年第 18 期

一道课本习题的延伸和推广

专论荟萃

  

史有作
( 无锡市第一中学 , 江苏   214031)

   新编高中数学课本第二册 ( 上) 有这样一道练习 题: 一段长为 l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园 , 问这个矩形的长 、 宽各为多少时 , 菜园的面积 最大 ,最大值是多少 ? 下面 先 分 析 这 道 题 的 解 法. 解法 1   如图 1 , 设矩形的 图 1   解法 1 用图 宽为 x m , 则其长为 ( l - 2 x ) m , 面积 S = x ( l - 2 x ) = - 2 x + l x = - 2 ( x l
2 2

( l - 3 x) m, S = x ( l - 3 x) (0 < x < l

3

).
图2  延伸题用图

∵ x , l - 3x >0, ∴ S = x ( l - 3 x) =
( l - 3 x) 3 x?

1 ? 3

1 3 x + ( l - 3 x ) 2 l2 ≤ [ ] = . 3 2 12

当且仅当 3 x = l - 3 x , 即 x =
l

l

6

时 , 等式成立 ,

4

) +

2

此时 l - 3 x =
l

8

(0 < x <

l

2

). l

. ( 下略) 2 推广   如果注意到上面两题中的总宽 = 总长 =

l

所以当 x =

4

时 , S max =
l

l

2

8

, 此时 l - 2 x = l

l

2

.

2

时 , 面积 S 取得最大值 , 即
1) 当 x + x = l - 2 x =
l

答  矩形的长为 最大 , 最大值为
l l
2

2

m、 宽为

4

m 时 , 菜园的面积

2

时 , S max =
l

l2

4? 2

; l2

8 解法 2   同解法 1 , S = x ( l - 2 x ) , ∵ 0 < x <

m2 .

时 , S max = . 2 4? 3 那么我们不难猜想出下面的结论 : 设 x , y , l 均为正数 , n ∈N+ , x + x + …+ x + y
n个

2) 当 x + x + x = l - 3 x =

2

, ∴ l - 2x >0,

∴ S = x ( l - 2 x) =

1 ( l - 2 x) ? 2 x? 2 1 2 x + ( l - 2 x ) 2 l2 ≤ [ ] = . 2 2 8
l

= l , S = xy , 则

当 x + x + …+ x = l - nx =
n个

l

2

( n ∈N+ ) 时 ,

S max =

当且仅当 2 x = l - 2 x , 即 x =
( 下略)

4

时 , 等式成立 .

l2 . 4n

( 读者可以根据这个结论自己编题)

容易证明上面的猜想是正确的 : ∵0 < x <
l , ∴ l - nx > 0 , n

延伸   一段长为 l m 的篱笆围成一个一边靠墙 的两个相邻的矩形菜园 , 问菜园平行于墙的篱笆总 长及篱笆宽各为多少时 , 菜园的面积最大 , 最大值是 多少 ?
( 本题实质上是 1982 年全国高考文科试题 , 仅

S = x ( l - nx ) =

1
n

( l - nx ) ? nx ?

2 1 nx + ( l - nx ) 2 l ≤ [ ] = , n 2 4n

是文字叙述有所不同而己) 解  如图 2 , 设篱笆宽为 x m , 则菜园总长为

当且仅当 nx = l - nx , 即 x =

l l 时 , S max = . 2n 4n ( 收稿日期 :2001 - 05 - 11)

2


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