新编文档-5-3-1定积分的换元法和分部积分法-精品文档_图文

定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。

先来看一个例子 例1
1 2 x ? 1 则 x ? (t ?1) 换元求不定积分 令 t? 2 2 12 1 t ? t ? 2 13 3 x ? 2 2 2 dx ? dt? t ? t ?C ?2 ? 6 2 x ? 1 t
3 3 1 1 ?( 2 x ? 1 )2 ?( 2 x ? 1 )2 ? C 6 4 2

? 0

4

x?2 dx 2x ? 1

故

? 0

x ?2 22 dx? 2x?1 3

尝试一下直接换元求定积分 2 t ?1 x ? 1则 x ? 为去掉根号 令 t? 2 2

dx ? tdt

当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3

dt 1 ( ? ?0 ) dx 2 x? 1
于是
x ? 2 1 2 22 dx ?? ( t? 3 ) dt ? ? 2 x ? 1 2 3 0 1
4 3

由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式

一、换元公式
假 设

f ( x ) [ a , b ] （ 1 ） 在 上 连 续 ；

[ ? , ? ] （ 2 ） 函 数 在 上 是 单 值 的 且 有 连 续 x ? ? ( t )

导 数 ； t在 （ 3 ） 当 区 间 上 变 化 时 ， 的 值 x ? ? ( t) [ ? ,? ]
[ a ,b ] ? ( ? )? a 在 上 变 化 ， 且 、 ， ? ( ? )? b
? ? f ( x ) dx ? f [ ( t )] ( t ) dt 则 有 . a ?

?

b

? ??

证

设 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )

f ( x ) dx ? F ( b ) ? F ( a ), ? a

b

? ? ( t ) ? F [ ? ( t )],
dF dx ? ?(t) ? ? ? ? f ( x ) ? ( t )? ? f [ ? ( t )] ? ( t ), dx dt

? 是 的 一 个 原 函 数 . ? ? ( t ) f [ ( t )] ( t )
? f [ ? ( t )] ? ( t ) dt ? ? ( ? ) ? ? ( ? ), ? ?
?

? ?

? F [ ? ( ? )] ? F [ ? ( ? )] ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? F ( b ) ? F ( a ),

? ( ? ) ? b ? ( ? ) ? a
、 ,

f ( x ) dx ? F ( b ) ? F ( a ) ? a
? f [ ? ( t )] ? ( t ) dt . ? ? ( ? ) ? ? ( ? )? ? ?
?

b

? 注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .

? ?

应用换元公式时应注意:

t x x ? ( t ) 把 变 量 换 成 新 变 量 时 ， 积 分 限 也 （ 1） 用 相 应 的 改 变 .

?

? f[ ? ( t)] ? ( t) ? ( t)后 出 的 一 个 原 函 数 ， 不 （ 2） 求 ? ( t)变 必 象 计 算 不 定 积 分 那 样 再 要 把 换 成 原 x t的 变 量 的 函 数 ， 而 只 要 把 新 变 量 上 、 下 限 ? ( t)然 分 别 代 入 后 相 减 就 行 了 .

例2 计算
a

解1 由定积分的几何意义

? 0

a

a ? x dx
2 2

2 2 y? a ?x

x ? a

?a 等于圆周的第一象限部分的面积 ? 4 2 x2 2 a x 2 2 解2 a ? x dx ? a ? x ? arcsi ? C ? 2 2 a a 2 2 2 ? a a ? x dx ? 故 4 0
2

? 0

a ? x dx
2 2

o

?

? a sin t dx ? a cos t 解3 令 x
x ? 0 ? t ? 0 x?a? t?
?? a ? x dx ? ? a cos tdt
2 2
2 2
2 ? a a ? ?(1?cos 2t)dt ? 2 0 4
2 2

?

a

?

2

2

0

?

0

解4

令

x ? a cos t

仍可得到上述结果

例3

计算

cos x sin xdx . ? 0
5

? 2

解 令

? ? sin xdx , t? cos x , dt
t? 1 , x ? 0?

? t? 0 , x ? ? 2

? 0

? 2

5 cos x sin xdx

? ?? t dt ? 1

0 5

t 6

6 1

0

1 ? . 6

注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用 为方便计 将换元公式的左、右两边对调 同时把 x 换成 t ， t 换成 x
?
b

?

? ? ? ? f ? ( x ) ? ( x ) dx ?

这说明可用

t? ? (x ) 引入新变量

? a

f ( t ) dt

但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 t ? 整体视为新变量，则不必换限

? (x )

例4
解

计算

? 0

?

sin x ? sin x dx .
3 5

? ? x sin x ? f ( x ) ?sin x ? sin x ?cos
3 5
?
? 3 2

3 2

3 5 ? ? ? cos x sin x dx ? sin x ? sin x dx ? 0 ? 0

? ? ? x sin x ? cos
3 2
? 2

? dsin sin x x ? dsin ?? ? sin x x ?? ??
5 2 2 ? ?sin x ?2 ? ?sin x ? 5 5 0

? 2 0 ? 2 0

3 2
?

3 ? ? ? cos xsin x 2dx dx

?2

?

?

3 2

2 5 ? 2
? 2

4 ? . 5

例5

计算

?e

3 e4

dx . x ln x ( 1?ln x )
3 e4

解 原式

?? e

d(ln x ) ln x ( 1?ln x )
3 e4

?? e

3 4 e

d (ln x ) d ln x ?2 ? e 1?( lnx)2 ln x( 1 ?ln x )
3 4 e

? ?e ? 2 arcsin( ln x )

? ? . 6

1 例6 计算 ? dx . ( a ? 0 ) 2 2 0 x ?a ? x 解一 令 x ? a cos tdt , ? a sin t , dx ? x ? a t? 0 , ?t? ,x ? 0? 2 ?
a

a cos t dt 原式 ? ?a 2 2 sin t? a( 1 ? sin t )
2 0
? 2 0

??

1 cos t dt ? ? 2 sin t? cos t

? 2 0

cos t? sin t? ? 1 ? dt ? ? t? cos t? ? sin

1? 1 ? ? ? ?? ln sin t? cos t 22 2

? 2 0

? ? . 4

解二 接解一
?

cos t 对 ? dt sin t ? cos t 0
?

2

?

cost 令 I ?? dt sint ? cost 0
?

2

cost J ?? dt sint ? cost 0

2

则 I ? J ? ? dt ? ? 2 0
2

?

cos t? sin t I ? J ? dt ? ln(sin t? cos t ) ? 0 2 ? sin t? cos t 0 0
2

?

? I ?J ?

?

4

[?a, a]上 例7 当f (x)在 连 续 ， 则 有
f (x)dx? ?? f (x) ? f (?x)? dx ? ?a 0
①f (x)为 偶 函 数 ， 则
a a

且 有

??a f (x)dx? 2?0
a

a

a

f (x)dx ；
a

②f (x)为 奇 函 数 ， 则 ??a f (x)dx? 0.

证

f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx , ? ? ? ? a ? a 0

0

a

x ? ? t ( x ) dx 在 中 令 , ?f
? a

0

? f( ? t) dt ?? f ( x ) dx ? ? ? ? a
a

0

0

a

0

f (?t)dt ,

f ( ? t ) ? f ( t ), f ( x ) ① 为 偶 函 数 ， 则
f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx ?2 f ( t ) dt ; ? ? ? ? a ? a 0 ? 0
a

a

0

a

f ( ? t ) ? ? f ( t ), f ( x ) ② 为 奇 函 数 ， 则
f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx ?0 . ? ? ? ? a ? a 0
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
a 0 a

2 x ?x cos x 例8 计算 ? dx . 2 ? 1 1 ? 1 ?x 2 1 x cos x 1 2 x ?? dx dx 解 原式 ?? 2 ? 1 2 ? 1 1 ? 1 ?x 1? 1?x
1 2

偶函数

x ?4 dx ? 2 0 1 ? 1 ?x 2 2 1 x( 1 ?1 ?x ) ?4 dx ? 2 0 1 ? ( 1 ?x )
1
1 2

2

奇函数

? 4 ? 4 1 ? xdx ? 4 ( 1 ?1 ? x) dx ? ? 0 0
2

1

? 4 ? ? .

四分之一单位圆的面积

例9

若 f ( x ) 在[0,1] 上连续，证明
? 2 ? 2

（1） ? f (sin x )dx ? ? f (cos x )dx ;
0 0

? ? （2） ? xf (sin x )dx ? ? f (sin x )dx . 0 2 0 ? x sin x dx . 由此计算? 0 1 ? cos2 x
?

? dx ? ? dt , 证 （1）设 x ? ? t ? 2 ? ? ? t? 0 , ?t ? , x ? x ? 0 2 2 ? 0 ? ? ? ? ? 2 x)dx ? ? f? sin t? dt ? ? ?0 f(sin ? ? ? 2 ? ?2 ? ?
x ) dx ; ?? f(cos t)dt ?? f(cos
0
? 2

? 2

0

? ? ? t ? dx ? ? dt , （2）设 x
? ? ? t? 0 , x ? 0 ? t? ? , x

?0

?

? ? ? t ) f [sin( ? ? t )] dt xf (sin x )dx? ?(
?

0

? ? ? t ) f (sin t ) dt , ?(
0

?

f(sin t) dt ?? tf (sin x )dx?? (sin t)dt ? ?0 xf 0 0
? (sin x ) dx , ? ? x ) dx ? xf ? f(sin
0
0

?

?

?

?

?

? ? ? xf (sin x ) dx ? f (sin x ) dx . ? ? 0 0 2 ?

另证
将上式改写为

?

令 t ? x?
?

?
2
2

(x ? )f(sin x ) dx ? 0 ? 2 0
?

?

2 ? ?0 则 ( x ? )f(sin x ) dx ? tf (cos t) dt

? 0

xsin x ? sin ? x dx ? ? dx 2 ?0 1?cos 2 x 2 01 ? cos x
?
?

? 2

? ?

奇函数

2 ? ? 1 ? ? ? . ? ?? d (cos x ) ? ?? ? arctan(cos x ) 0 2 4 201 2 ? cos x

例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
a ? L

证明

f(x ) dx 的值与 a 无关 ? a
0 L a ? L

a ? L

f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? ? ? ? a a 0 L
a

a ? L

f ( x ) dx ( 令 x ? t ? L ) f ( t ? L ) dt ? ? L 0

?
a ? L

f ( x )dx ?0 f ( t )dt ? ? 0
a 0

a

a

? ) dx ? ) dx 与 a 的值无关 ? f(x ?f(x
a

例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明

a dx a dx f ( x? 2 ) ? f ( x ? ) ? ? xx x x 1 1
2

a

2

a

2

证明

2 比较等式两边的被积函数知， 令 u?x
2 a dx a du 2 f ( x? 2 ) ? f ( u ? ) ? ? u2 u x x 1 1 a 2
2 a

1 a2 du ? ? f (u? ) 21 u u
2 1 a du a du ?[ f ( u ? ) ? f ( u ? ) ] ? ? 2 uu a uu 1 a 2
2 a

a2

2 a

adu a at a f ( u ?) ( 令 t ?) f ( t ? )2 ( ? ) dt 2 ? ? u u u ta t a a
a2 dt ? ? f (t ? ) t t 1
2 a dx a dx 2 ? f ( x?2 ) 2? f ( x ?) ? ? xx xx 1 1 a 2 a

2

21

2

2

a

? (x )? f(xt ) dt 例12 设 f ( x ) 连续 0 f ( x ) 且 ? A( A 常数 ) lim x x ? 0 ? ? 求 ? ( x ) 并讨论 ? ( x ) 在 x ? 0 处的连 f( x ) 解 由 ? A 及 f( x ) 连续知 lim x x ? 0 f ( x ) f ( 0 ) ? f ( x ) ? [ ? x ] ? 0 lim lim x x ? 0 x ? 0
? ? ( 0 ) ? 0
x ?0时
1

?

1

1 x 令 xt?u f ( u ) du ? (x )? f ( xt ) dt ? ? 0 x0

? ? ( 0 ) ? lim
x ? 0

? ( x ) ? ? ( 0 )
f (x) A ? lim 2 x? 0 2x

xf (x )? f( u ) du ? 0 ? (x )? x ?0时 ? 2 x x xf ( x ) ? f ( u ) du ? 0 ? ? ? ( x ) ? 2 lim lim x x ? 0 x ? 0

? ? lim x?0

x ? 0 x 0 f (u)du 0 型L法则 0

x

2

x

f( u ) du f(x ) ? ?lim [ ?0 2 ] x x x ? 0

x

f( u ) du f(x ) ? 0 ? ? 2 lim lim x x x ? 0 x ? 0

x

A A ? A? ? 2 2 ? ? ? ? ( x ) ? ? ( 0 ) lim
x ? 0

? 即 ? ( x )在 x ? 0 处连续

二、小结
定积分的换元法
? f [ ? ( t )] ? ( t ) dt ?a f ( x)dx? ? ?
b

?

几个特殊积分、定积分的几个等式

思考题
?2

dx 指 出 求 的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确 ? 2 ? 2 xx ? 1
的 解 法 .
2? 3? ? sec t , t: ? , 解 令 x 3 4

dx ? tan t sec tdt ,

??2

? 2

3 ? 1 dx 4 ? sec t ?tan tdt 2 ? ? 2 t ?tan t x x ?1 3 sec

?

?

3? 4 2? 3

dt

? ? . 12

思考题解答
计算中第二步是错误的.
2? 3?? tan ? t? 0 , t ?? , ?, ?3 4?

? x ? sec t
2 x ? 1 ? tan t? tan t .

正确解法是

??2

? 2

dx x?sec t 1 sec t?tan tdt 2 ? sec t?tan t x x ?1
3 ? 4 2 ? 3
3? 4

? ? ?2 ?
3

? dt ? ? . 12

练习题
一、填空题：

? 1、 ?? sin( x ? )dx ? ___________________； 3 3
?

2、

?0

?

(1 ? sin 3 ? )d? ? ________________；
2 ? x 2 dx ? _____________；
2

3、 ?0 4、 ?

2

1? x 5 x 3 sin 2 x dx ? ________________________ .. 5、 ?? 5 4 2 x ? 2x ? 1

1 2 1 ? 2

(arcsin x ) 2

dx ? ___________；

二 、计算下列定积分： 1、

?

? 2 0

sin ? cos ? d ? ；
3

2、 ? 4、

3

dx x
2

1

3 、 ?3
4

1

dx ； 1? x ?1
?

?

? 2 ? ? 2

1? x

2

；

cos x ? cos 3 x dx ；
? 2 ? ? 2

5、

?0

1 ? cos 2 x dx ；
2

6、 ?

4 cos 4 ? dx ；

7 、 ?? 1 ( x
2 0 2
0

1

1 ? x 2 ? x 3 1 ? x 2 ) dx ；

8 、 ? max{ x , x 3 } dx ； 9 、 ? x x ? ? dx

（ ? 为参数

）.

? ? ?1 三 、设 f (x) ? ? ? ? ?1

1 , 当 x ? 0 时， ? x 求 1 , 当 x ? 0 时， x ? e

?

2 0

f ( x ? 1 ) dx .

四 、 设 f ( x )在 ? a , b ? 上 连 续 ， 证明

?
m

b a

f ( x ) dx ?

? ?

b a

f ( a ? b ? x ) dx .

五 、证明：

?

1 0

x ( 1 ? x ) dx ?
n

1 0`

x n ( 1 ? x ) m dx .

六、证明：

?

a ?a

f ( x ) dx ?

并求

?

? 4 ? ? 4

?

a 0

[ f ( x ) ? f ( ? x )] dx ,

dx . 1 ? sin x

七 、 设 f ( x )在 ? 0 , 1 ?上 连 续 ， 证明

?

? 2 0

1 2? f ( cos x ) dx ? ? f ( cos x ) dx . 4 0

练习题答案 ?3 4 ? 一 、 1、 0； 2、 ? ? ； 3、 ； 4、 ； 5 、 0. 32 3 2
1 二 、 1、 ； 4

17 8 当 ? ? 0 时 9 、 ； 10 、 , ? 2? ； 当 0 ? ? ? 2 4 3 8 ?3 8 ? ? 2 ? 2 ? ? 时, ； 当 时 , ? ? 2? . 3 3 3 ?1 三 、 1 ? ln( 1 ? e ) . 六 、 2.

3 5、 2 2 ； 6、 ? ； 2

2 3 2、 2 ? ； 3

3 、 1 ? 2 ln 2 ；

? 7、 ； 4

? 8、 ； 8

4 4、 ； 3