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高考数学一轮复习 考点热身训练 7.2空间点、线、面之间的位置关系


2014 年高考一轮复习考点热身训练: 7.2 空间点、线、面之间的位置关系
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 C1D,BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( (A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)垂直 )

2.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的 是( )

(A)A,M,O 三点共线 (B)A,M,O,A1 不共面 (C)A,M,C,O 不共面 (D)B,B1,O,M 共面 3.(预测题)设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,下列命题中正确的是( (A)若 m∥α ,m∥n,则 n∥α (B)若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则α ∥β (C)若α ⊥β ,m⊥α ,m⊥n,则 n∥β (D)若α ⊥β ,m⊥α ,n∥m,n β ,则 n∥ β ? 4.(2012·莆田模拟)已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面,给出下列命题 ①若 m∥α ,则 m 平行于平面α 内的无数条直线 ②若α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n ③若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n 则α ∥β ④若α ∥β ,m? α ,则 m∥β 其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 ) (D)4 )
1



(C)3

5.设α 、β 、γ 为平面,l、m、n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件为(

(A)α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l (B)n⊥α ,n⊥β ,m⊥α (C)α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ (D)α ⊥γ ,β ⊥γ ,m⊥α 6.(2012·重庆模拟)在一个 45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45°,则此 直线与二面 角的另一个面所成的角为( (A)30° (B)45° ) (D)90°

(C)60°

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对” ,在连接正方体各顶点的所 有直线中, “黄金异面直线对”共有_______对. 8.(2012·晋城模拟)已知 l、m、n 是互不相同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中所有真命题的序号为____ ________. 9.(2012·淮南模拟)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,点 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点,则 ①棱 AB 与 PD 所在的直线垂直; ②平面 PB C 与平面 ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积; ④直线 AE 与直线 BF 是异面直线. 以上结论正确的是__________.(写出所有正确结论的编号) 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为 CC1,AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平 面 ABCD 的交线. 11.(2012·大庆模拟)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点. (1)若 E 为 A1C1 的中点,求证:DE∥平面 ABB1A1; (2)若 E 为 A1C1 上一点,且 A1B∥平面 B1DE,求

A1E 的值. EC1

2

【探究创新】 (16 分)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,E 是侧棱 PC 上的动点.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

答案解析
3

1.【解析】选 A.直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF? 平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两 直线相交. 2.【解析】选 A.连接 A1C1,AC,则 A1C1∥AC, ∴A1,C1,A,C 四点共面, ∴A1C? 平面 ACC1A1, ∵M∈A1C,∴M∈平面 ACC1A1,又 M∈平面 AB1D1, ∴M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上, 同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上. ∴A,M,O 三点共线. 3.【解析】选 D.由 m∥α ,m∥n 可推得 n∥α 或 n? α ,故 A 错误;由 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β 不能推出α ∥β ,缺少条件 m 与 n 相交,故 B 错误;由α ⊥β ,m⊥α ,m⊥n,n 与 β 的位置关系可能平行,可能相交, 也可能 n? β ,故 C 错误;只有 D 正确. 4.【解析】选 C.由线面平行的定义可知①正确;②中 m 与 n 可能平行,也可能异面,故②错误;由面面平 行的判定可证明③正确;由面面平行的性质可知④正确,综合上述①③④正确,选 C. 5.【解析】选 B.如图①知 A 错;如图②知 C 错;如图③在正方体中,两侧面α 与β 相交于 l,都与底面γ 垂直,γ 内的直线 m⊥α ,但 m 与β 不垂直,故 D 错.由 n⊥α ,n⊥β 知α ∥β ,又 m⊥α ,故 m⊥β ,因 此 B 正确.

6.【解题指南】先根据已知条件作出正确图形,确定出所求的线面角是解题的关键,然后将所求的线面角 转化为求三角形内的角. 【解析】选 A.如图,二面角α -l-β 为 45°,AB? β , 且与棱 l 成 45°角,过 A 作 AO⊥α 于 O,作 AH⊥l 于 H. 连接 OH、OB,则∠AHO 为二面角α -l-β 的平面角, ∠ABO 为 AB 与平面α 所成角.不妨设 AH= 2 ,在 Rt△AOH 中,易得 AO=1;在 Rt△ABH 中,易得 AB=2.
4

故在 Rt△ABO 中, sin?ABO ?

AO 1 ? ,∴∠ABO=30°,为所求线面角. AB 2

7.【解析】正方体如图,若要出现所成角为 60°的异面直线, 则直线需为面对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线 对的直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体 的面对角线有 12 条,所以所求的黄金异面直线对共有

12 ? 4 ? 24 对(每一对被计算两次,所以记好要除以 2). 2
答案:24

8.【解析】①中,当α 、β 不平行时,也可能存在符合条件的 l、m;②中的直线 l、m 也可能异面;③中 由 l∥γ ,l? β ,γ ∩β =m 得 l∥m,同理 l∥n,故 m∥n. 答案:③ 9.【解析】由条件可得 AB⊥平面 PAD,所以 AB⊥PD,故①正确;∵PA⊥平面 ABCD,∴平面 PAB、平面 PA D 都与平面 ABCD 垂直, 故平面 PBC 不可能与平面 ABCD 垂直, ②错; S△PCD=

1 1 CD· PD, S△PAB= AB· PA, 由 AB=CD, 2 2

PD>PA 知③正确;由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点可得 EF∥CD,又 AB∥CD,所以 EF∥AB,故 AE 与 B F 共 面,故④错. 答案:①③ 10.【解题指南】根据公理 3,确定两平面的两个公共点即可得到交线. 【解析】在平面 AA1D1D 内,延长 D1F, ∵D1F 与 DA 不平行, ∴D1F 与 DA 必相交于一点,设为 P, 则 P∈D1F,P∈DA.
5

又∵D1F? 平面 BED1F,AD? 平面 ABCD, ∴P∈平面 BED1F,P∈平面 ABCD. 又 B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点,连接 PB, ∴PB 即为平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.如图所示.

11.【解析 】(1)取 B1C1 中点 G,连接 EG、GD, 则 EG∥A1B1,DG∥BB1, 又 EG∩DG=G,∴平面 DEG∥平面 ABB1A1, 又 DE? 平面 DEG, ∴DE∥平面 ABB1A1. (2)设 B1D 交 BC1 于点 F,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. 因为 A1B∥平面 B1DE,A1B? 平面 A1BC1, 所以 A1B∥EF.所以

A1E BF . ? EC1 FC1

又因为

BF BD 1 AE 1 ? ? ,所以 1 ? . FC1 B1C1 2 EC1 2

【探究创新】 【解题指南】(1)利用三视图与直观图之间的转化确定相应线段长度. (2)作辅助线,利用线面垂直证明线线垂直. (3)找到二面角的平面角,在三角形中利用余弦定理求解. 【解析】(1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 , 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2.

1 1 2 2 S 正方形 ABCD·PC= ×1 ×2= , 3 3 3 2 即四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 3
∴VP-ABCD=
6

(2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.

证明如下:连接 AC,∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥PC. 又∵ AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ∵不论点 E 在何位置,都有 AE? 平面 PAC. ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE. (3)在平面 DAE 内过 点 D 作 DF⊥AE 于 F,连接 BF. ∵AD=AB=1,DE=BE= 1 +1 = 2 ,AE=AE= 3 , ∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角. 在 Rt△ADE 中, DF ?
2 2

AD DE 1? 2 6 , ? ? AE 3 3

∴BF=

6 . 3

又 BD=

2 ,在△DFB 中,由余弦定理得
DF2 ? BF2 ? BD 2 1 2? ? ? ,∴∠DFB= , 2DF BF 2 3
2? . 3

cos?DFB ?

即二面角 D-AE-B 的大小为

7


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