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2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B


课时作业(二十八)B

[第 28 讲 等差数列]

[时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1. 数列{an}对任意 n∈N*,满足 an+1=an+3,且 a3=8,则 S10 等于( ) A.155 B.160 C.172 D.240 2. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a9+a11=30,那么 S13 的值是( ) A.65 B.70 C.130 D.260 3. 在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 ak=a1+a2+a3+…+a7,则 k=( ) A.21 B.22 C.23 D.24 4. Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 能力提升 S3 S2 5. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 - =1, 则数列{an}的公差 d 是( ) 3 2 1 A. B.1 2 C.2 D.3 6. {an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,令 bn=a3n,则数列{bn}的一个通项公式 是( ) A.bn=3n+2 B.bn=4n+1 C.bn=6n-1 D.bn=8n-3 7. 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 8. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=13, 3=S11, Sn 最大时, 的值是( S 当 n ) A.5 B.6 C.7 D.8 1 9. 已知数列{an}对于任意 p,q∈N*,有 ap+aq=ap+q,若 a1= ,则 a36=________. 9 1 1 10. 若数列{an}满足 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.记数 an+1 an ?1? 列?x ?为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________. ? n? 11. 已知数列{an}满足 a1=t,an+1-an+2=0(t∈N*,n∈N*),记数列{an}的前 n 项和 的最大值为 f(t),则 f(t)=________. 12.(13 分) 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

难点突破 13.(12 分) 设数列{an}满足 a1=0 且 (1)求{an}的通项公式;
1

1 1 - =1. 1-an+1 1-an

n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

2

课时作业(二十八)B 【基础热身】 1.A [解析] 由 an+1=an+3,得 an+1-an=3,则数列{an}是公差 d=3 的等差数列, 10×9 由 a3=8,得 a1+2d=8,a1=2,所以 S10=10×2+ ×3=155,故选 A. 2 2.C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,由 a1+a9+a11=30,得 a1+a1+8d+a1+10d=30,即 a1+6d=10, 13×12 ∴S13=13a1+ d=13(a1+6d)=130,故选 C. 2 7×6 3.B [解析] 由已知,有 a1+(k-1)d=7a1+ d,把 a1=0 代入,得 k=22,故选 2 B. 6×5 4.-1 [解析] 由 S2=S6,得 2a1+d=6a1+ d 解得 4(a1+3d)+2d=0,即 2a4+d 2 =0,所以 a4+(a4+d)=0,即 a5=-a4=-1. 【能力提升】 S3 S2 1 1 5.C [解析] 由 - =1,得 (3a1+3d)- (2a1+d)=1,解得 d=2,故选 C. 3 2 3 2 6. [解析] 由已知, n}的通项公式为 an=2n-1, C 得{a 则数列{bn}的前 4 项为 5,11,17,23, 即数列{bn}是首项 b1=5,公差为 6 的等差数列,它的一个通项公式为 bn=6n-1,故选 C. 7.B [解析] 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0, ∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20.故选 B. 8.C [解析] 方法 1:S3=S11 得 a4+a5+…+a11=0,根据等差数列性质可得 a7+a8= 0,根据首项等于 13 可推知这个数列递减,从而得到 a7>0,a8<0,故 n=7 时,Sn 最大. 方法 2:由 S3=S11 可得 3a1+3d=11a1+55d,把 a1=13 代入得 d=-2,故 Sn=13n- n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数性质,当 n=7 时 Sn 最大. 方法 3:根据 a1=13,S3=S11,这个数列的公差不等于零,说明这个数列的和先是单调 递增的,然后单调递减,根据公差不为零的等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,以及 3+11 二次函数图象的对称性,当 S3=S11 时,只有 n= =7 时,Sn 取得最大值. 2 1 9.4 [解析] 因为对于任意 p,q∈N*,有 ap+aq=ap+q,所以 an+1-an=a1= ,数列 9 1 1 1 1 {an}是以 a1= 为首项,公差为 的等差数列,故 a36= +(36-1)× =4. 9 9 9 9 10.20 [解析] 由调和数列的定义,得 xn+1-xn=d,即数列{xn}是等差数列, 则 x1+x20=x2+x19=…=x10+x11, ∴x1+x2+…+x20=10(x1+x20)=200, 故 x5+x16=x1+x20=20.

11.

? ??t+1? ? 4 ,?t为奇数?
2

t2+2t ,?t为偶数?, 4

[解析] 由已知 an+1-an=-2,则数列{an}是公差为-2 的

n?n-1? 等差数列,数列{an}的前 n 项和为 Sn=nt+ ×(-2) 2 2 =-n +(t+1)n t+1?2 ?t+1?2 =-?n- + . 4 2 ? ? t+1 t+1 ?t+1?2 若 t 为奇数, 是整数,则当 n= 时,Sn 有最大值 ; 2 2 4 t+1 t2+2t t t 若 t 为偶数,则 不是整数,则当 n= 或 n= +1 时,Sn 有最大值 . 2 2 2 4
3

?t +2t?t为偶数?, 4 故 f(t)=? ?t+1? ? 4 ?t为奇数?.
2

2

12 . [ 解 答 ] (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 因 为 a3 = 7 , a5 + a7 = 26 , 所 以 有 ? ?a1+2d=7, ? 解得 a1=3,d=2, ? ?2a1+10d=26, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 1 ? 1 1 1 1 1 ?1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = = · = · - , 2 4 n?n+1? 4 ?n n+1? an-1 ?2n+1? -1 1 1 1? 1 1 1 所以 Tn= ·1-2+2-3+…+n-n+1? 4? ? 1 1? = ·1-n+1? 4? ? n = , 4?n+1? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1? 【难点突破】 1 1 13.[解答] (1)由题设 - =1, 1-an+1 1-an ? 1 ? 即?1-a ?是公差为 1 的等差数列. ? n? 1 1 又 =1,故 =n. 1-a1 1-an 1 所以 an=1- . n (2)证明:由(1)得 1- an+1 n+1- n 1 1 bn= = = - , n n n+1· n n+1 n n 1 ? 1 ?1 ∴Sn=∑ bk=∑ ? k- <1. ?=1- k=1 k=1? k+1? n+1

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