当前位置:首页 >> 数学 >>

(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件_图文

第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

本节主要学习正弦定理及用正弦定理解三角形。以嫦娥奔 月的故事和如何测量恒星之间的距离引入新课。教学过程以 学生探究为主,利用直角三角形中的正弦定理探究锐角三角 形和钝角三角形中的正弦定理,引导学生借助三角形的外接 圆和三角形的面积两种方法证明正弦定理,使学生能够灵活 应用所学知识,加深对定理的理解。针对定理所解决的两类 问题给出 2 个例题和变式,通过解决问题引出三角形的解的 不同情况,强调正确应用定理的重要性。 教学过程例题与变式结合,通过例1和变式1巩固掌握已知 两角和任意边,求其他两边和一角的解三角形问题。通过例 2和变式巩固掌握已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 的解三角形问题。通过思考已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形解的情况,加深对正弦定理的理解。

问题1:在我国古代就有嫦娥 奔月的神话故事.明月高悬,我 们仰望夜空,会有无限遐想,不 禁会问,月亮离我们地球有多 远呢?科学家们是怎样测出来 的呢?

我们应该如何测的 恒星之间的距离呢?

如何测的恒星之间的距离

http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo .resId=53fda464083a1dccccc9559d

回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B ? sin A ? c c
两等式间有联系吗?
B

A c a b

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

C

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐 三角形的定义,得到
C

a
B

E

b
D

CD ? a sin B, CD ? b sin A
所以 a sin B ? b sin A
得到 a b ? sin A sin B

c

A

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

(2)当 ?ABC是钝角三 角形时,结论是否还 成立呢?有兴趣的同 学可以课后证明一 下。

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 C

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C
B

a c

b
A

定理解析: 1、对边、对角 2、A+B+C=π 3、大角对大边,大边对大角 4、R为三角形外接圆的半径

解三角形:
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素 .

已知三角形的几个元素求其他几个元素的过程叫做解三角形. 说明: 根据初中学习的三角形全等,我们知道确定一个三角需要
三个条件,所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边,才可以进一步确定三角形其它 的边和角.

正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边

变式训练一

二、已知两个边和其中一边的一个对角

变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,先判断 三角形是否有解?有解的作出解答. (1)a=7,b=8,∠A=105°; (2)a=10,b=20,∠A=80°; (3)b=10,c=5,∠C=60°; (4)a=2,b=6,∠A=30°.
注意:在例题当中我们会发现存在两解的情况,那么这4个变式题会不会 存在两解甚至别的情况呢? 提示:(1)大边对大角,小边对小角;(2)三角形内角和为180°.

【解析】 (1)∵ a =7,b=8, ∴ a <b,又∵∠A=105°>∠B=90°, 验证大边对大角,小边对小角 ∴本题无解.

(2) a =10,b=20,a<b,∠A=80°<90°,
∵ sinB == >2·sin30°=1, 即:sinB > 1 ∴本题无解.

任何角度的正弦值在[-1,1]间, 而三角形中的角度在(0°, 180°)间, 所以三角形内角的正弦在(0,1]

(3)b=10,c=5,b<c,C=60°<90°,

∴= 45°或135°

又当= 135°时+ C= 195°> 180°故舍去.
∴= 45, = 75°

+1)

注意:本题验证了三角形内角和舍去了一解。一个角的正弦值在(0,1) 时,三角的的内角是在(0°,180°),这是对应这个正弦值的角度一 定有2个,但是这2个是否都符合条件却有待验证。

(4)a=2 3,b=6,a<b,∠A=30° <90° , 由正弦定理得 sin B= ∴∠B=60° 或 120° . (1)当∠B=60° 时,∠C=90° , asin C 2 3sin90° c= sin A = sin30° =4 3;
(2)当∠B=120° 时,∠C=30° , asin C 2 3sin30° c= sin A = sin30° =2 3. ∴∠B=60° , ∠C=90° , c=4 3或∠B=120° , ∠C=30° , c=2 3.

bsin A 6sin 30° 3 a = 2 3 =2,

注意:与上题不 一样,这题的两 解都是有效解。 为什么呢?

画三角形使得a=14,b=16,∠A=45°,你能画出几个? 【提示】 作 45°角为 ∠ A ,在 ∠ A 的一

边上取一点 C ,使 AC = 16 ,以点 C 为
圆 心 ,以 14 为半 径 画弧 , 因为 16sin 45°= 8 < 14 ,所以能作出两个三角 形. 根据上面的例题和变式训练,同学一起来讨论一下什么时 候有一解?什么时候有两解?什么时候无解?甚至会不会 有其他情况?

∠A为锐角

∠A为钝角或直角

图 形

内容:
正弦定理 已知两角和一边

应用
已知两边和一对角

1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理

本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主,利用向量法证 明余弦定理定理,引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理,使学生能够灵活应用所学知识, 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式, 通过解决问题引出三角形的解的不同情况,强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题,通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题,通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题,每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导,既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。

余弦定理的由来 http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6

高铁隧道招标,利用三角形确定隧道长度 http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc

余弦定理是什么?怎样证明?
A
c b a C
2

如图所示,根据向量的数量积,可以得到

a 2 ? BC ? BC ? ( AC ? AB)( AC ? AB) ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
2 2

B

? b ? 2bc cos A ? c
2

2

即 a ?b 同理可证

2

? c2 ? 2bc cos A

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC

余弦定理:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法? (1)坐标法
证 明 方 法

(2)直角三角形的边角关系

(3)正弦定理(三角变换)

坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明,下面我们给出 坐标法证明.
证明:如图所示,以△ ABC 的顶点 A 为原点 ,射线 AC 为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系 ,这时顶点B可作角A终边上的一个点,它到 原点的距离 r = c ,设点B的坐标为 (x , y),由 三角函数的定义可得:x=ccos A,y=csin A ,即点B为(ccos A,csin A),又点C的坐标是

(b,0).

由两点间的距离公式,可得: a=BC= ?b-ccos A?2+?-csin A?2. 两边平方得: a2=(b-ccos A)2+(-csin A)2=b2+c2-2bccos A.

以△ABC 的顶点 B 或顶点 C 为原点,建立直角坐标系,同 样可证 b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍.

思考:你会用直角三角形或正弦定理来证明余弦定 理吗?

想一想: 余弦定理能够解决什么问题?

a2=b2+c2-2bccosA 2 2 2 b =c +a -2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
A c b
变 一 变 乐 在 其 中

方程思想:四个量,知三求一 1.已知两边和它们的夹角求另 一边(直接用); 2.已知三边求角(变形). 3.判断三角形形状

变形

B

a

C

b2+c2 - a2 cosA= 2bc a2+c2 - b2 cosB= 2ac a2+b2 - c2 cosC= 2ab

例1. 如图,在△ABC中,已知a=5,b=4, ∠C=120°,求c.
A

解:由余弦定理,得
b

c 120? C a B

c ? a ? b ? 2abcos120?
2 2 2

1 因此 c ? 5 ? 4 ? 2?5?4?(? ) ? 61 2
2 2

例2、在△ABC中,已知 a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm, 解三角形(角度 精确到1?) 解:由余弦定理的推论得

b 2 ? c 2 ? a 2 87.8 2 ? 161.7 2 ? 134.6 2 cos A ? ? ? 0.5543 , 2bc 2 ? 87.8 ? 161.7
? A ? 56?20?

a 2 ? c 2 ? b 2 134.6 2 ? 161.7 2 ? 87.82 cosB ? ? ? 0.8398 , 2ac 2 ? 134.6 ? 161.7
? B ? 32?53?

C ? 180 ? ? A ? B ? 180 ? ? 56?20? ? 32?53? ? 90?47?

变式训练一: 已知在ΔABC中,根据下列条件解三角形。

b ? 3,c ? 3 3,B ? 30 ;
?

解:(法一)由正弦定理,得

? C ? 60? 或C ? 120?

当C ? 60? 时,A ? 90? ? a ? 6

当C ? 120? 时,A ? 30? ? a ? 3

已知在ΔABC中,根据下列条件解三角形。

b ? 3,c ? 3 3,B ? 30 ;
?

解:(法二) 由余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

1 6? a sin B 2 ?1 当a ? 6时,由正弦定理,得 sin A ? = b 3 ? A ? 90? , C ? 60?
当a ? 3时,a ? b ? 3,?? ABC为等腰三角形 ? A ? 30?,C ? 120?

解得a ? 6

或 a?3

变式训练二: 已知在Δ ABC中,根据下列条件解三角形。

解:

试判断该三角形的形状.

变式3:在△ABC 中,已知 a=10, b=8, c=6,判断△ABC的形状.

三角形中的边角关系
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

余弦定理

定 理 内 容

定 理 证 明

定 理 应 用

(2) (1)已知三 (3)判断三角形形状 已知 两边 和它 们的 夹角, 求第 三边 和其 它两 个角。

课后练习

课后习题

THANK YOU !


相关文章:
(人教新课标)高二数学必修5第一章解三角形《正、余弦定....ppt
(人教新课标)高二数学必修5第一章解三角形《正余弦定理》精品课件分解 - 第一
(人教新课标)高二数学必修5第一章-解三角形《正、余弦....ppt
(人教新课标)高二数学必修5第一章-解三角形《正余弦定理》精品课件 - 第一章
人教课标版(B版)高中数学必修5第一章 解三角形正弦定理....ppt
人教课标版(B版)高中数学必修5第一章 解三角形正弦定理和余弦定理课件3_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦定理 正弦定理、余弦定理回忆一下直角三角形的边...
高一数学必修5第一章解三角形1.1.1《正弦定理》课件_图文.ppt
高一数学必修5第一章解三角形1.1.1《正弦定理》课件_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 本节...
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和....ppt
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理》示范课课件_17 - 正弦定理和余弦定理 备高考 三个任务: 1.利用正、余弦定理实现边、角的...
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和....ppt
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理》示范课课件_4_教学案例/设计_教学研究_教育专区。解三角形 (第一课时)正弦定理和余弦定理的...
[精品课件]高中数学 第一章 解三角形本章整合课件 新人....ppt
[精品课件]高中数学 第一章 解三角形本章整合课件 新人教A版必修5_数学_高中...余弦定理解三角形问题往往和三角形面积公式、正、余弦定理的变 形等结合.在解...
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和....ppt
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理》示范课课件_5_教学案例/设计_教学研究_教育专区。1.1.1正弦定理 一. 问题的引入: (1)元宵...
[精品课件]201x-201x学年高中数学 第一章 解三角形 1.1....ppt
[精品课件]201x-201x学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。 【课标要求】 1.掌握余弦定理及其推论....
新课标高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2....ppt
新课标高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理课件新人教B必修5 - 新课标导学 数学 必修5 人教B版 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和...
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和....ppt
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 解三角形的进一步讨论》示范课课件_1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。解三角形高三术...
2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理....ppt
2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5 (_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦...
2019版高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定....ppt
2019版高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1.1.2 余弦...
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第3....ppt
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第3课时 正、余弦定理的综合应用课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。新课标导学数学必修5 ...
新课标高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第3....ppt
新课标高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第3课时正余弦定理的综合应用课件新人教A必修5 - 新课标导学 数学 必修5 人教A版 第一章 解三角形 1....
...年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)课件新....ppt
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理()课件新人教B版必修5_数学_高中教育_教育专区。2017_2018 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1...
[精品课件]201x-201x版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2....ppt
[精品课件]201x-201x版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。阶 阶 段 段 一 三 1.1.2 余弦定理 ...
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦....ppt
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理课件新人教A版必修5 - 新课标导学 数学 必修5 人教A版 第一章 解三角形 1.1 ...
...年高中数学(人教版必修5)配套课件第一章解三角形1.2....ppt
《创新设计-课堂讲义2016-2017学年高中数学(人教必修5)配套课件第一章解三角形1.2(一) - 第一章 解三角形 §1.2 应用举例(一) 学习 目标 利用正弦、...
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2.2正、余弦定....ppt
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用课件新人教A版必修5 - 【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形...