当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2013届高考数学(理)一轮复习课件:第六篇 数列第2讲 等差数列及其前n项和)


第2讲 等差数列及其前n项和

【2013年高考会这样考】 1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用. 【复习指导】 1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等. 2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.

基础梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于

同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示.
2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=

a1+(n-1)d .

3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项. 2 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ 则 am+an=ap+aq

(n-m)d (n,m∈N*).

(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q, (m,n,p,q∈N*).

(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是 公差为 md 的等差数列.

(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. nd (6)若n为偶数,则S偶-S奇= ; 2 若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). 5.等差数列的前n项和公式 n?a1+an? 若已知首项a1和末项an,则Sn= ,或等差数列{an}的首项是 2 n?n-1? a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn= na1+ d. 2

6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
? d 2 d? Sn = n + ?a1- ? n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+ 2 2? ?

Bn(A,B为常数). 7.最值问题 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在 最大值 ,若a1<0,d> 0,则Sn存在 最小值 .

一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式: Sn=a1+a2+a3+?+an,① Sn=an+an-1+?+a1,② n?a1+an? ①+②得:Sn= . 2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-2d,a-d, a,a+d,a+2d,?. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-3d,a-d, a+d,a+3d,?,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.

四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立; (3)通项公式法:验证an=pn+q; (4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等 差数列.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5 等于( A.4 解析 答案 ). B.5 C.6 D.7

a2+a8=2a5,∴a5=6. C

2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8 等于( A.31 ). B.32 C.33 D.34

解析

26 ? ?a +5d=2, ?a1= 3 , ? 1 由已知可得? 解得? ?5a1+10d=30, ? ?d=-4. 3 ?

8×7 ∴S8=8a1+ 2 d=32. 答案 B

3.(2011· 江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1= 1.那么a10=( A.1 解析 答案 B.9 ). C.10 D.55

由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10?a10=S10-S9=S1=a1=1. A

4.(2012· 杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6= 11,则S7等于( A.13 解析 答案 B.35 ). C.49 D.63

7?a1+a7? ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7= =49. 2 C

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________. 解析 设公差为d. 则a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13

考向一 等差数列基本量的计算 【例1】?(2011· 福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值. [审题视点] 第(1)问,求公差d; 第(2)问,由(1)求Sn,列方程可求k.



(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.

由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3. 解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以Sn= =2n-n2. 2 进而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7为所求.

等差数列的通项公式及前n项和公式中,共涉及五个量,知 三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用 等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决 问题的方法.

【训练1】

(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节

的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升. 解析 设竹子从上到下的容积依次为a1,a2,?,a9,由题意可得a1

+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,设等差数列{an}的公差为d,则有 7 13 4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,由①②可得d= ,a1= ,所以a5 66 22 13 7 67 =a1+4d= +4× = . 22 66 66 答案 67 66

考向二

等差数列的判定或证明

【例2】?已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·n-1=0(n≥2), S 1 a1 = . 2
?1? (1)求证:? ?是等差数列; ?Sn?

(2)求an的表达式. [审题视点] (1)化简所给式子,然后利用定义证明. (2)根据Sn与an之间关系求an.

(1)证明

∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·n-1, S

1 1 ∴Sn-1-Sn=2Sn·n-1,Sn≠0,∴ - S =2(n≥2). S n S n -1
?1? 1 1 ? ? 是以 = =2为首项,以2为公差的等差数 由等差数列的定义知 S S1 a1 ? n?

列. (2)解 1 1 由(1)知 = +(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, Sn S1

1 1 ∴Sn= .当n≥2时,有an=-2Sn×Sn-1=- , 2n 2n?n-1? ?1 ?2,n=1, 1 又∵a1= ,不适合上式,∴an=? 1 2 ?- ,n≥2. 2n?n-1? ?

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通 项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断.

【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2 =2,S3=6. (1)求Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列. ?-2=A+B+C, ? 2 (1)解 设Sn=An +Bn+C(A≠0),则?0=4A+2B+C, ?6=9A+3B+C, ? 解得:A=2,B=-4,C=0. ∴Sn=2n2-4n.

(2)证明 当n=1时,a1=S1=-2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)] =4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*). 当n=1时符合上式,故an=4n-6, ∴an+1-an=4, ∴数列{an}成等差数列.

考向三 等差数列前n项和的最值 【例3】?设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值. [审题视点] 第(1)问:列方程组求a1与d; 第(2)问:由(1)写出前n项和公式,利用函数思想解决.

解 (1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
?a +2d=5, ? 1 ? ?a1+9d=-9, ? ?a =9, ? 1 可解得? ?d=-2. ?

数列{an}的通项公式为an=11-2n. n?n-1? (2)由(1)知,Sn=na1+ 2 d=10n-n2. 因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.

求等差数列前n项和的最值,常用的方法: (1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的 最值. (2)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)为二次函数,根 据二次函数的性质求最值.

【训练3】 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10= S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 解 法一 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d=- . 3
? 5? 5 65 ∴an=20+(n-1)×?-3?=-3n+ 3 . ? ?

∴a13=0.即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0.

∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+ 12×11 ? 5? ? ? 2 ×?-3?=130. 法二 5 同法一求得d=- . 3

n?n-1? ? 5? ?- ∴Sn=20n+ 2 · 3? ? ? 5 2 125 =-6n + 6 n 5? 25?2 3 125 =- ?n- ? + . 6? 2? 24 ∵n∈N*, ∴当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.

5 法三 同法一得d=-3. 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130.

考向四

等差数列性质的应用

【例4】?设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324, 最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n. [审题视点] 在等差数列 {an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+

aq(m,n,p,q∈N*)用此性质可优化解题过程.



由题意可知a1+a2+?+a6=36①

an+an-1+an-2+?+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+?+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. n?a1+an? ∴a1+an=36.又Sn= =324, 2 ∴18n=324. ∴n=18. 本题的解题关键是将性质m+n=p+q?am+an=ap+aq与前n项 n?a1+an? 和公式Sn= 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程. 2

【训练4】

(1)设数列{an}的首项a1=-7,且满足an+1=an+2(n∈N+),

则a1+a2+?+a17=________. (2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20项和等于________. 解析 (1)∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列.

∴an=-7+(n-1)· 2,∴a17=-7+16×2=25, ?a1+a17?×17 ?-7+25?×17 S17= = =153. 2 2 (2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78?(a1+a20)+(a2+ a1+a20 18 a19)+(a3+a18)=54?a1+a20=18?S20= 2 ×20= 2 ×20=180. 答案 (1)153 (2)180

阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误
【问题诊断】 在数列问题中,数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之 间存在下列关系:an=\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1?n=1?,,Sn-Sn-
1?n≥2?.))这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关

系式是分段的,在 n=1 和 n≥2 时这个关系式具有完全不同的表 现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式 时要牢牢记住其“分段”的特点. 【防范措施】 由 an=Sn-Sn-1 求出 an 后,一定不要忘记验证 n= 1 是否适合 an.

【示例】?(2009· 安徽改编)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列 {bn}的前n项和Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式. 实录 ∵an=Sn-Sn-1, ∴an=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n. 又Tn=2-bn, ∴bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1,
?1? - 1 即bn= bn-1,∴bn=? ?n 1=21-n. 2 ?2?

错因 求an、bn时均未验证n=1.

正解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n, 又a1=S1=4,故an=4n, 当n≥2时,由bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1, 1 得bn=2bn-1, 又T1=2-b1,∴b1=1,
?1? - ∴bn=? ?n 1=21-n. ?2?

【试一试】 已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足: 1 Sn=8(an+2)2. (1)求证:{an}为等差数列. 1 (2)若bn= an-30.求数列{bn}的前n项和的最小值. 2 [尝试解答] 1 (1)证明:当n=1时,S1=a1=8(a1+2)2,

∴(a1-2)2=0,∴a1=2. 1 1 2 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2)2, 8 8

∴an-an-1=4, ∴{an}为等差数列. (2)由(1)知:an=a1+(n-1)4=4n-2, 1 31 由bn= an-30=2n-31≤0得n≤ . 2 2 ∴{bn}的前15项之和最小,且最小值为-225.

单击此处进入

活页限时训练


赞助商链接
相关文章:
...第六篇 数列第2讲 等差数列及其前n项和 理 新人教A...
高考数学总复习导学 第六篇 数列第2讲 等差数列及其前n项和 理 新人教A版 第2讲【2013 年高考会这样考】 等差数列及其前 n 项和 1.考查运用基本量法求解...
...轮复习配套讲义:第5篇 第2讲 等差数列及其前n项和
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第5篇 第2讲 等差数列及其前n项和 - 第2讲 [最新考纲] 1.理解等差数列的概念. 等差数列及其前 ...
...数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和理
2018版高考数学一轮复习第六数列6.2等差数列及其前n项和理_数学_高中教育_教育专区。第六数列 6.2 等差数列及其前 n 项和 理 1.等差数列的定义 一般...
高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.2 等差数列及其前n...
高考数学(理)一轮复习讲练测:专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)答案解析 - 【课前小测摸底细】 1.【必修 5P46T5 改编】在 100 以内的正整数中有___...
2018届高三数学(理)一轮复习课后作业:第五章 数列 第2...
2018届高三数学(理)一轮复习课后作业:第五章 数列 第2等差数列及其前n项和 - 课时作业 A组 基础对点练 1.在数列{an}中,若 a1=2,且对任意正整数 m...
...数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学...
(全国版)2019版高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第2讲 等差数列及其前 n 项和 板块一 知识梳理·...
高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及前n项和课时...
高考数学一轮复习第六数列6.2等差数列前n项和课时练理【含答案】_高考_高中教育_教育专区。高考数学一轮复习第六数列6.2等差数列前n项和课时练理【...
...一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和实战...
高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和实战演练理_四年级数学_数学_小学教育_教育专区。高考数学一轮复习第五章数列第29讲等差数列及其前n项和...
...一轮复习第五章数列第2课时等差数列及其前n项和课时...
高考数学一轮复习第五章数列第2课时等差数列及其前n项和课时作业理新人教版 - 第 2 课时 考纲 1. 等差数列的概念及其性质. 等差数列及其前 n 项和 索 2. ...
...数学大一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和学...
(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第六数列6.2等差数列及其前n项和学案 - §6.2 最新考纲 1.理解等差数列的概念. 等差数列及其前 n 项和 考情考向分析...
更多相关文章: