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2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题:第331—335题(含答案解析)

感知高考刺金 331 ??? ? ???? ? ???? ???? ? ?? ???? ?? ? 设 OM ? e1 ,ON ? e2 是夹角为 60? 的两个单位向量,若 OP ? xOM ? yON ? x, y ? R ? , ?PMN 是 以 M 为直角顶点的直角三角形,则 x ? y ? ???? ?? ?? ? ???? ??? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 解法一: OP ? xe1 ? ye2 , MP ? ? x ? 1? e1 ? ye2 , MN ? ?e1 ? e2 。 因为 MN ?MP ? 0 , ?? ?? ? ?? ?? ? ?? 2 ?? ?2 ?? ?? ? 1 1 ?? x ? 1? e1 ? ye2 ?? ?e1 ? e2 ? ?1 ? x ? e1 ? ye2 ? ? x ? 1 ? y ? e1 ? e2 ? 1 ? x ? y ? ? x ? 1 ? y ? ? ?1 ? x ? y ? ? 0 ? ? 2 2 ???? ? ???? ? ? 即 x? y ?1 解法二:反向延长 ON 到 OQ ,使 OQ ? 1 ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? OP ? xOM ? yON ? xOM ? ? ? y ? OQ ? x, y ? R ? ???? 因 为 O N ? O M ? O Q?1 , 故 由 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 得 ?NMQ 是直角三角形, ???? ????? ???? 即 ?NMQ ? 90? ,因为 ?NMP ? 90? ,所以 P, M , Q 三点共线,故 x ? y ? 1 感知高考刺金 332 2 2 已知 x ? y ? 4 ,则 x ? y ? xy 的最大值是_______。 1 2 ?2 解 法 一 : 令 x ? y ? m , xy ? n , 则 n ? m x ? y ? xy ? m ? n 2 ? ? 2 2 ?m ?2 2, 目 标 函 数 为 ? 画出 ? m, n? 点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点, 如图,目标函数 n ? m ? z 与 n ? m2 ? 2 相切时 1 2 ? ? 0 ? zmax ? 5 2 3 1? 7 1? 7 时取得 ,y? 2 2 2 解法二:令 x ? y ? m , xy ? n ,则 2n ? m 2 ? 4 , 当且仅当 m ? 1, n ? ? ,即 x ? m2 ? 4 1 5 5 2 ? ? ? m ? 1? ? ? 2 2 2 2 x ? 2cos ? , y ? 2sin ? , 则 解 法 三 : 三 角 换 元 , x ? y ? x2 ? y s ? i n ? ?2 c o ? ? s , 4 ? s i n c o s 所以 x ? y ? xy ? m ? n ? m ? 2 ? , sin ? cos ? ? t ? 1 ? 2, 2 令 sin ? ? cos ? ? t ? ? ? ? 2 ? 1? 5 5 ? ? 2? 2 2 解法四:令 x ? u ? v , y ? u ? v ,则 u 2 ? v 2 ? 2 故 x ? y ? xy ? 2t ? 2 t 2 ? 1 ? ?2 ? t ? ? ? ? ? 2 则 x ? y ? xy ? 2u ? ? u ? v ?? u ? v ? ? 2u ? u 2 ? v 2 ? ?2 ? u ? ? ? ? ? 1? 2? 2 5 5 ? , 2 2 点评:本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想,即 xy ? ? x ? y? ? ? x ? y? 2 2 4 。 感知高考刺金 333 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 正 实 数 集 上 的 单 调 函 数 , 且 满 足 对 任 意 x > 0 , 都 有 f [ f ( x) ? ln x ] ? 1 ? e ,则 f (1) = . 解:f ( x) ? ln x 必为常数函数, 否则存在两个不同数, 其对应值均为 1 ? e , 与单调函数矛盾. 所 以可设 f ( x) ? ln x ? c .则 f ( x) ? ln x ? c . 将 c 代入,得 f (c) ? 1 ? e ,即 ln c ? c ? 1 ? e . ∵ y ? ln x ? x 是单调增函数,当 c ? e 时, ln c ? c ? 1 ? e 成立, ∴ f ( x) ? ln x ? e .则 f (1) ? e . 感知高考刺金 334 ???? ???? ???? ? ?1 1? 设直角 ?ABC 的三个顶点都在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,点 M ? , ? ,则 MA ? MB ? MC 的最 ?2 2? 大值是 . ???? ???? ???? ? 解:设 ?ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形,则 MA ? MB ? 2MO ???? ???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? 所以 MA ? MB ? MC ? 2MO ? MO ? OC ? OC ? 3OM ???? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 3 2 所以 MA ? MB ? MC ? OC ? 3OM ? OC ? 3OM ? 1 ? 2 ???? ? ??? ? (这里可以理解为三角形两边之和大于第三边,也可以理解为圆外一点 E ( 3OM ? OE ) 到圆上一点 C 距离,同时连最小值 3 2 ? 1 也可以求出) 2 ???? ???? ???? ? 当且仅当 O, M , C 三点共线且点 C 在第三象限时, MA ? MB ? MC max ? 1? 3 2 2 感知高考刺金 335

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