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高二期末复习直线和圆


平面解析几何复习
一.直线和圆 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线倾斜角 ? 的范围是 0 ≤? ? 180 . (2)直线的斜率 k ? tan ? . 注:①每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. ②当 ? ? 90? 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率 k 不存在. ③过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线斜率公式 k ? tan ? ? 2.直线方程的五种形式及适用条件 (1)斜截式 (3)两点式
y2 ? y1 x2 ? x1

y=kx+b
y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1

(2)点斜式 (4)截距式
x a

y-y0=k(x-x0) + =1
y b

(5)一般式 Ax+By+C=0 (A、B 不全为零) 3. 两直线的位置关系 两直线 l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0,

l 2 ? A1B2 ? A2 B1且AC (1)平行: l 1 ∥ 1 2
(2)垂直:l1⊥l2 ? A1A2+B1B2 = 0 4.距离公式。

? A2C1

(x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 (1)两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间距离 PP 1 2 ?

(2)已知一点 P(x0,y0)及一条直线 l:Ax+By+C=0,则 点 P 到直线 l 的距离 d=
| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2


| C1 ? C2 | A2 ? B 2

(3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d=



5. 圆的方程形式: ⑴圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; D E ⑵圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为( ? , ? ) , 2 2 半径为 r=

D 2 ? E 2 ? 4F . 2

6. 直线与圆的位置关系:相离、相切、相交,判定方法有两种: ⑴ 代 数 法 : 直 线 : Ax+By+C=0 , 圆 : x2+y2+Dx+Ey+F=0 , 联 立 得 方 程 组
-1-

? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

?? ? 0相交 ? 消元的一元二次方程,判别式 ? ? b ? 4ac ??=0相切 ?? ? 0相离 ?
2

(2)几何法:直线:Ax+By+C=0,圆:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离 为 d=

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

?d ? r相交 ? ,则 ?d=r相切 ?d ? r相离 ?

7.圆和圆的位置关系: 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1,r2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关 系如下: ①|O1O2|>r1+r2 ? 两圆外离; ②|O1O2|=r1+r2 ? 两圆外切; ③| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2 ? 两圆相交; ④| O1O2 |=| r1-r2| ? 两圆内切; ⑤0 ? | O1O2|<| r1-r2| ? 两圆内含。 当堂检测 1.过点 M (?2, a) 和 N (a,4) 的直线的斜率等于 1, 则 a 的值为___________

2. 与直线 l : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行且过点 A(1, ?4) 的直线 l ? 的方程是__________。

(m ? 2)x ? (2m ? 1) y ? (3m ? 4) ? 0 ,不管 m 怎样变化恒过点______; 3.直线

=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 相切,则 a 的值为___________ 4.若直线 ?1 ? a ?x ? y ? 1

5.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与(x+2)2+(y-2)2=9 的位置关系是___________

6.过点 (?1,1) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 截得的弦长为 2 ,则此直线的方程 为

7.圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________;

-2-

一.直线和圆 1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线倾斜角 ? 的范围是

,直线的斜率 k ? tan ? . 。

k? (2)过两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线斜率公式

2.直线方程的五种形式及适用条件 (1)斜截式

(2)点斜式

(3)两点式

(4)截距式

(5)一般式 3. 两直线的位置关系 两直线 l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0,

l 2? (1)平行: l 1 ∥
(2)垂直:l1⊥l2 ? 4.距离公式。 (1)两点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间距离 PP 1 2 ? (2)已知一点 P(x0,y0)及一条直线 l:Ax+By+C=0,则点 P 到直线 l 的距离 d= ; (3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d= 5. 圆的方程形式: ⑴圆的标准方程: ,其中 是圆心坐标, ⑵圆的一般方程: (D2+E2-4F>0),圆心坐标为

。 是圆的半径; ,

半径为 . 6. 直线与圆的位置关系:相离、相切、相交,判定方法有两种: (2)几何法:直线:Ax+By+C=0,圆:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离 为 d=
?d ? r ? ,则 ? d= r ?d ? r ?

7.圆和圆的位置关系: 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1,r2,d 为圆心距,则两圆位置关系如下: ? 两圆外离; ? 两圆外切; ① ② ③ ⑤

? 两圆相交; ? 两圆内含。



? 两圆内切;

-3-

专项训练

平面解析几何(直线与圆)

1. 经过两直线 11x-3y-9=0 与 12x+y-19=0 的交点, 且过点(3,-2)的直线方程为_______.

2.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 4 y ? a 2 ? 12 ? 0 有两个不同的公共点,则实数 a 的取值范围是_______

3.设直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 和 l 2 ? (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l 2 ;当

m =________时 l1 ? ? l 2 ;当 m _________时 l1 与 l 2 相交;当 m =_________时 l1 与 l 2 重合;

4.直线 l 过点 ? ?1, 2? 且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是_____________.

5.点 p 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,O 为坐标原点,则|OP|的最小值是____________

2 2 6.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于



7.若三点 A(2,2) ,B(a,0),C(0,b)(a,b 均不为 0)共线,则

1 1 ? 的值等于 a b



8.已知两平行线 l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0, l 2 : 6 x ? 8 y ? 15 ? 0 之间的距离是________________

-4-

9.已知直线 l1 方程为 x + y – 3 = 0 与 x 轴交于点 A,直线 l2 方程是 y = 2x,l2 与 l1 交于点 B,点 C 在 y 轴负半轴上,AC = 2 3. (1)写出点 A、B、C 的坐标; (2)求△ABC 的面积; (3)求△ABC 外接圆方程.

10.设圆上点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交 的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

11. (2014 苏北四市)已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为 H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使得 点 M 是线段 PN 的中点,求 C 的半径 r 的取值范围.

1.过点 A(-1,4)作圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 的切线,则切线长为____________
2 2

-5-

2.以圆 x2 ? y 2 ? 4 上点 1, 3 为切点的圆切线方程是_____________.

?

?

3.以两点 A ? ?3, ?1? 和 B ?5,5? 为直径端点的圆的一般方程是_____________.

4.点 P ? 3, ?5? 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点 Q 的坐标为_____________.

5.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线 方程是 .

6 . 已 知 集 合 A?

?? x, y ? ? x ?1? ? ? y ?1? ? 1? ,
2 2

B?

?? x, y ? y ? 2 ? m ? x ? 2?? ,

A

B ? ? ,则实数 m 的取值范围是_____________.

7.若点 ? 5, b ? 在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为

8.在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , B 两点关于点 P(1, 2) 成中心对 称,则直线 AB 的方程为 .

9. (12 高考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲

10.已知直线 l 方程为 x – y – 1 = 0,圆 C 方程为 x 2 + y 2 = r 2(r > 0)
-6-

(1)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且∠ACB = 120°,求圆 C 的面积; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 r = 2,求△ABC 的周长.

11.如图,互相垂直的两条公路 AM 、 AN 旁有一矩形花园 ABCD ,现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 APQ ,要求 P 在射线 AM 上, Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C ,其中

AB ? 30 米, AD ? 20 米. 记三角形花园 APQ 的面积为 S.
时,S 最小?并求 S 的最小值. 内?

(Ⅰ)当 DQ 的长度是多少

(Ⅱ)要使 S 不小于 1600 平方米,则 DQ 的长应在什么范围 N Q C D A B
第 17 题

P M

12. (13 高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 . y 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线, 求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围. O A l

x

-7-


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