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【原创,自用】1.3.1 单调性与最大(小)值—第二课时单调性(2)


第二课时:单调性(2)

一、定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两 个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 (increasing function). 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 (decreasingfunction).

二.用定义证明函数单调性的步骤:

1.取值 即设x1,x2是该区间内的任意两个值,x1<x2
2.作差变形 即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通 过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判 断差的符号的方向变形。 3.定号 确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号, 当符号不确定时,可以进行分类讨论。 4.判断 根据定义作出结论

例1:定义在R上的函数y ? f ( x), f (0) ? 0, 当x ? 0时, f ( x) ? 1, 且对任意的a, b ? R, 有f (a ? b) ? f (a) f (b). (1)证明:f (0) ? 1; (2)证明:f ( x)是R上的增函数; (3)若f ( x) f (2 x ? x 2 ) ? 1, 求x的取值范围。

例2:已知函数f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3.
2

(1)画出函数f ( x)的图像; (2)根据图像写出函数f ( x)的单调区间; (3)利用定义证明函数f ( x) ? ? x ? 2 x ? 3在
2

区间(??,1]上是增函数; (4)当函数f ( x)在区间(??, m]上是增函数时, 求实数m的取值范围。

例3:(1)若函数f ( x) ? 2 x ? mx ? 3在区间[-2,+?)上
2

是增函数,求实数m的取值范围; (2)若函数f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 3的增区间为区间 [-2,+?),求实数m的值; 1 (3)若函数f ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 5在区间( ,1)上 2 是增函数,求实数a的取值范围;
2

(4)讨论函数f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3在区间(?2,2)内的 单调性。


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