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1.2 《函数的概念及表示》导学案


1.2 《函数的概念及表示》导学案
【学习目标】 (1)通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用;了解构成函·数的三要素;能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. (2)理解函数的概念,并且会灵活运用函数的概念解题. (3)明确函数的三种表示方法. (4)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数. (5)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用. 【导入新课】 回顾问题导入: 1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之 对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量. 新授课阶段 (一)函数的概念: 思考 1: (课本 P15)给出三个实例: A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米) 与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 . B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空 臭氧层空洞面积的变化情况.(见课本 P15 图) C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的 高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.(见课本 P16 表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着 怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 归纳: 三个实例变量之间的关系都可以描述为: , 记作:

f : A?B
1. 函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意

一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么称 的一个 (function) ,记作: y ? f ( x), x ? A .

为从集合 A 到集合 B

其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作 数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫

(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函

(range).显然,值域是集合 B 的子集.

(1)一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R,值域也是 R; ( 2 )二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ≠ 0) 的定义域是 R ,值域是 B ;当 a>0 时,值域
2

? ? ? ? 4ac ? b2 ? 4ac ? b 2 ? ? ? B ? ? y y? B ? y y ? ;当 a ﹤ 0 时,值域 ? ? ?. 4a ? 4a ? ? ? ? ? ? ?
(3)反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ,值域是 ? y y ? 0? . x
,表示为 ,表示为 ; ; ,表示为 ? a, b ? , ? a, b ? ;

2. 区间及写法:设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做

满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的

.(数轴表示见课本 P17 表格)

符号“∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”.我们把满足

x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ? a, ?? ? , ? a, ?? ? , ? ??, b? , ? ??, b ? .
例 1 对范围 ?1 ? x ? a 用区间表示正确的为( A. ? ?1, a ? B. ? ?1, a ? ) D. ? ?1, a ?

C. ? ?1, a ?

3. 函数定义域的求法: 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义 域,那么函数的定义域就是指
2

. ( )

例 2 函数 y ? x ? 2 x 的定义域为 ?0,1,2,3?,那么其值域为 A. ?? 1,0,3? 例3 B. ?0,1,2,3? C. y ? 1 ? y ? 3

?

?

D. y 0 ? y ? 3

?

?

如图,用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若半圆半径为 x ,求

此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y ? f ( x) ,并写出它的定义域.

例 4 记集合 M ? x 2 x ? 3 ? 0 ,函数 g ( x) ? (Ⅰ)集合 M,N; (Ⅱ) 集合 M ? N , M ? N .

?

?

( x ? 3)( x ? 1) 的定义域为集合 N.求:

4. 函数相同的判别方法: 函数是否为同一个函数,主要看 和 ) D.y= x 2 是否相同.

例 5 下列函数中哪个与函数 y ? x ( x ? 0) 是同一个函数( A.y=( x ) 2 B.y=
x2 x

C.y= 3 x 3

(二)函数的三种表示方法: 1. 结合课本 P15 给出的三个实例,说明三种表示方法的适用范围及其优点: 解析法:就是用 表示两个变量之间的对应关系;

优点:简明扼要;给自变量求函数值. 图象法:就是用 表示两个变量之间的对应关系;

优点:直观形象,反映两个变量的变化趋势. 列表法:就是列出 来表示两个变量之间的对应关系.

优点:不需计算就可看出函数值,如股市走势图; 列车时刻表;银行利率表等. 例6 (1) 已知 f ( x )是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (2) 已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f ?g ( x)? ?

1 1? x2 ( x ?0), 求 f ( ) . 2 2 x

例 7 函数 f ( x) ?

x 的图象是( |x|



例 8 已知 f ( x) 的图象恒过(1,1)点,则 f ( x ? 4) 的图象恒过( A. (-3,1) B. (5,1) C. (1,-3) D. (1,5)



2. 分段函数的定义: 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数 通常叫做 ,如以下的例 9 的函数就是分段函数.

说明: (1)分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量 的数值属于哪个区间段,从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据不同定义域 上的不同解析式分别作出; (2)分段函数只是一个函数,只不过 x 的取值范围不同时,对应 法则不相同. 例 9 画出下列函数的图象. (1)y=x 2 -2,x∈Z 且| x | ? 2 ; (2)y=-2 x 2 +3 x , x ∈(0,2] ;

?3 ? (3)y=x|2-x|; (4) y=?-3x ?-3 ?

-2 ? x<2 . x ? 2.

x<-2,

例 10

如图,动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始,顺次经 C、D 绕边界一周,当 x

表示点 P 的行程,y 表示 PA 之长时,求 y 关于 x 的解析式,并求 f( 解:

5 )的值. 2

例 11 已知 f ( x) ? ? 【解析】

?x ? 4 ?x ? 4

x?0 x?0

,则 f [ f (?3) ]的值为

.

课堂小结 1.掌握函数的定义域与值域的求解方法; 2.理解函数的概念; 3.掌握函数的表示方法,尤其要注意解析法在解决应用题中的灵活运用. 作业 见同步练习部分

拓展提升
一、选择题 1.若集合 S ? ? y | y ? 3x ? 2, x ? R? , T ? y | y ? x ? 1, x ? R ,则 S ? T 是(
2

?

?

)

A. S

B. T

C. ?

D.有限集

2 .已知函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,且当 x ? (0,??) 时,有 f ( x) ?

1 , 则当 x

x ? (??,?2) 时, f ( x) 的解析式为(
A. ? 3.函数 y ?



1 x
x x

B. ?

1 x?2

C.

1 x?2

D. ?

1 x?2

? x 的图象是(



4.若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [?
2

25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是( 4



A. ?0,4?

B. [ ,4]
2

3 2

C. [ , 3]

3 2

D. [ , ? ?) )

3 2

5.若函数 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( A. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( 1 )? )? 2 2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( D. f ( )? )? 2 2 2 2


2 ? ?2 x ? x (0 ? x ? 3) 6.函数 f ( x ) ? ? 2 的值域是( ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)

A. R 二、填空题

B. ? ?9, ?? ?

C. ? ?8,1?

D. ? ?9,1?

7.函数 f ( x) ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ? ??, 0 ? ,则满足条件的实数 a
2

组成的集合是

.

8.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域为________ . 9.当 x ? _______ 时,函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) ? ( x ? a2 ) ? ... ? ( x ? an ) 取得最小值.
2 2 2

10 . 二 次 函 数 的 图 象 经 过 三 点 A( , ), B(?1,3), C (2,3) , 则 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 为 11.已知函数 f ( x ) ? ? .

1 3 2 4

? x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2x ( x ? 0)

,若 f ( x) ? 10 ,则 x ?

.

三、解答题 12.求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域.

2x 2 ? 2x ? 3 13.利用判别式方法求函数 y ? 的值域.[ x2 ? x ?1

14.已知 a, b 为常数,若 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x ? 10 x ? 24, 则求 5a ? b 的值.
2 2

15.对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围.
2


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