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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

忻州一中 2015?2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)试题
一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? {x | y ? ln(x 2 ? 2 x)},则 A ? B = A.

?3?

B.

?2,3?

C.

??1,3?

D.

?0,1, 2?

2. 已知圆锥底面半径为 4,高为 3,则该圆锥的表面积为 A. 16? B. 20? C. 24? D. 36?

3. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 8 ,则输出 y 的值为 A. ? 4.

3 4

B.

1 2

C.

5 2

D. 3

x 函数 f ( x) ?| log2 x | ? 的零点个数为 (1 2)

A. 4
2

B. 3
2

C. 2

D. 1

5. 已知双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b

6 ,则此双曲线的渐近线方程为 2 A. y ? ?2 x B. y ? ? 2 x
C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

6. 设 ?,?,? 是三个不重合的平面, m, n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的是 A. 若 ? ? ?,? ? ?, 则? ? ? C. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ ? 7. 下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e
x0

B. 若 m ∥ ? , n ∥ ? ,? ? ? ,则 m ? n D. 若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n

?0

B. ?x ? R,2 ? x
x

2

C. a ? 1, b ? 1是 ab ? 1 的必要不充分条件 → → →→ → → → → D. 设 a , b 为向量, 则“| a ? b |=| a |?| b |”是 a ∥ b 的充要条件 8. 过圆 x ? y ? 4 外一点 P 作该圆的切线, 切点为 A、B , 若 ?APB ? 60 ,则点 P 的 轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
2 2
0

1

9. 已知向量 a ? (cos x ? sin x,2 cos x) , b ? (cosx ? sin x, sin x ( ) x ? R) ,则函数 A. 周期为 ? 的偶函数 C. 周期为

f ( x) ? (a ? b) 2 ? 1 是

B. 周期为 ? 的奇函数 D. 周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

4 3 正视图 4 侧视图

10. 某四面体的三视图如图所示, 则该四面体的所有棱中最 长的是 A. 5 2 B. 41
2

C. 4 2
2

D. 5
2

11. 若点 P 在抛物线 y ? x 上, 点 Q 在圆 x ? ( y ? 4) ? 1 上,则|PQ|的最小值是 A.
俯视图

14 -1 2

B.

15 -1 2

C. 2

D.

5 -1

12. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) , 过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2

A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
A.

x2 y 2 ? ?1 18 9

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 45 36

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 过 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A( x1 , x2 )、B( x2 , y 2 ) 两 点 , 若

AB ? 16,则 x1 ? x2 ? _________.
14. 边长为 4 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在半径为 5 的球 O 的表面上,则四棱锥

O ? ABCD 的体积是_________.
15. F1 , F2 是双曲线的两个焦点,B 是虚轴的一个端点,若△ F1BF2 是一个底角为 30 的
0

等腰三角形,则该双曲线的离心率是_________. 16. 将边长为 2 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个判断: ① AC ? BD ② AB 与平面 BCD 所成 60?角 ③ ?ABC 是等边三角形

④若 A、B、C、D 四点在同一个球面上,则该球的表面积为 8? 其中正确判断的序号是_________.
2

三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解 答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, b ? 2 , cos C ? (1)求 a 的值; (2)求 sin A 值. 18. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,已知 a6 ? S 6 ? ?3 ;数列 {bn } 满足:

7 3 ,△ ABC 的面积为 . 4 4

bn?1 ? 2bn , b2 ? b4 ? 20 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? 2 n ,求数列 {cn } 前 n 项和 Tn .
a

19. (本小题满分 12 分) 某地区有 100 名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中 成绩分组区间是: 第 1 组: 第 2 组: 第 3 组: 第 4 组: [75,80) , [80,85) , [85,90) , [90,95) , 第 5 组: [95,100] .
频率 组距

0.07 0.06

a
0.02 0.01

O

75 80 85 90 95 100

分数

(1)求图中 a 的值,并估计此次考试成绩的中位数(结果保留一位小数) ; (2)在第 2、4 小组中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机选取 2 人进行面 试,求至少有一人来自第 2 小组的概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l :(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)
2 2

(1)证明:直线 l 恒过定点,并判断直线 l 与圆的位置关系; (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求直线 l 的方程及最短弦的长度.
3

21. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面ABCD ,

P

AD // BC , ?BAD ? 90? , BC ? 1, AD ? PA ? 2 AB ? 2 ,

E , F 分别为 PB, AD 的中点.
(1)证明: AC ? EF ; (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值. 22. (本小题满分 12 分)

E A F D

B

C

x2 y2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 2x 的焦点重合, a b 连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C 交于不同两点 M、N ,设椭圆 C 位于 y 轴负 半轴上的短轴端点为 A ,若三角形 AMN 是以线段 MN 为底边的等腰三角形,求 m 的取 值范围;

附加题(每小题 5 分,共 15 分)

23. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,若点 F2 关于一条渐近线的对 4 9

称点为 M ,则 | F1 M | =____________. 24. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 2b ? 2c ,则 cos C 的最小值 为____________. 25. 设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x. 当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(

23? ) =____________. 6

4

忻州一中 2015?2016 学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5: CDBCC 6-10: DDBDB 11-12:BA 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 12 14. 32 15.

6 2

16. ①③④

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)解:(1)∵ cos C ? ∵S ?

3 且0 ? C ? ? 4

∴ sin C ?

7 4

???2 分 ???5 分

1 7 ∴a ?1 absin C ? 2 4 2 2 2 (2) 由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cosC ? 2 ∴c ? 2 a c 14 ? 由正弦定理得: 得 sin A ? sin A sin C 8 18. (12 分)解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d .

???8 分 ???10 分

? a1 ? 5d ? ?3 ? a1 ? 2 解得 ? ?d ? ?1 ?6a1 ? 15d ? ?3 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? n ∵ bn?1 ? 2bn ∴数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列 ∵ b2 ? b4 ? 2b1 ? 8b1 ? 20 得: b1 ? 2 ∴ bn ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n c 8 1 3? n ? n (2) c n ? 2 ∵ n ?1 ? 2 cn 2 1 ∴数列 {cn } 是首项为 4,公比为 的等比数列 2 1 n ( 4 1( - 2 )) ∴ Tn ? ? 8(1 ? 2 ?n ) 1? 1 2
则?

???3 分

???6 分

???9 分 ???12 分

19. (12 分)解: (1)由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1 得:a=0.04 ???3 分 设此次考试成绩中位数的估计值为 x:0.05+0.2+(x-85)×0.07=0.5 x≈88.6 ???6 分 (2)由频率分布直方图知:第 2、5 小组中的人数分别为 20,30 ∴从第 2、4 小组中抽取的人数分别为 2,3,分别设为 a,b 和 c,d,e???8 分 这 5 人 中 随 机 选 取 2 人 所 有 基 本 事 件 为 : (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),
5

(c,e),(d,e)共 10 个, ???10 分 其中至少有一个来自第 2 小组的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e) 共 7 个 故至少有一人来自第 2 小组的概率 P ?

7 10

???12 分

20.(12 分)解: (1)直线 l 的方程:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 经整理得:

(2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0
?m? R

?2 x ? y ? 7 ? 0 解得 x ? 3, y ? 1 ?? x ? y ? 4 ? 0 ?
???4 分

1) 即直线 l 恒过定点 D(3,

2 把 D 点的坐标代入圆 C 的方程: (3 - 1 ) ? (1 ? 2) 2 ? 25 ,所以点 D 在圆内

直线 l 经过圆 C 内的一点 D,故直线 l 与圆 C 相交. (2) 当直线 l 垂直于 CD 时被截得的弦长最短 由 C( 1,2),D(3, 1)

???6 分

? k CD ? ?

1 2
???9 分

所以直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,直线 l 的斜率为 2, 此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 3),即2 x ? y ? 5 ? 0 又 | CD |? 5, 所以,最短弦长为 2 25 - 5 ? 4 5 所以,直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 ,最短弦长 为 2 25 - 5 ? 4 5 ???12 分

21. (12 分)解:(1)易知 AB,AD,A P 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点,AB,AD, AP 所

0, 0) , B( 2 ,0, 在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则: A(0, 0) ,

C( 2 ,1 , 0)
D(0, 2, 0) , P(0, 0, 2) , E( , , ,0) . 0, 1) , F (01
2 2

, ???3 分

, 0) , 1, ? 1) , AC ? ( 2,1 ???? 因为 AC ? EF ? 0 AC ·所以 AC ? EF ,即 AC ? EF
从而 EF ? (?
2 2

???6 分

(2) PC ? ( 2,1 , ? 2) , PD ? (0, 2, ? 2) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则
6

??? ? ? ?n ? PC ? 0, ? ? ??? ? ?n ? PD ? 0,
令z ?

? 2 x ? y ? 2 z ? 0, ? ? ?2 y ? 2 z ? 0. 即?
???9 分
E

z P

2 ,则 n ? (1, 2, 2 )

A

F D

设直线 EF 与平面 PCD 所成角为 ? ,则

y

sin ? ?| cos ? n, EF ??

n ? EF | n || EF |

?

1 5

x

B

C

1 . 5 22.(12 分) 解:(1) 抛物线 y 2 ? 4 2x 的焦点为 , ( 2 ,0)
即直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值为

???12 分 ???1 分

?c ? 2 ? ? ?1 2a ? 2b ? 2 3 ? ?2
故所求椭圆 C 的方程为

解得 ?

?a ? 3 ? b ?1
???4 分

x2 ? y2 ? 1 3

y=kx+m ? ? 2 2 2 2 (2)由?x 得(3k +1)x +6mkx+3(m -1)=0, 2 + y = 1 ? ?3
Δ =(6mk) -4(3k +1)(3m -3)>0,得 m <3k +1,① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),弦 MN 的中点为 P(x0,y0), 2 6mk 3(m -1) 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= , 2 3k +1 3k +1 x1+x2 3mk m 则 x0= =- 2 ,y0=kx0+m= 2 , ???8 分 2 3k +1 3k +1 2 y0+1 m+3k +1 所以 kAP= =- x0 3mk ∵三角形 AMN 是以线段 MN 为底边的等腰三角形,? AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =- , ???10 分 3mk k 2 2 得 2m=3k +1,代入①得 m <2m,求得 0<m<2. 2m-1 1 1 2 又k= >0,得 m> ,从而 <m<2, 3 2 2
2 2 2 2 2

( , 2) 故 m 的取值范围是
附加题: 23. 4 24.

1 2

???12 分

6- 2 4

25.

1 2
7


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