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立体几何中用传统法求空间角_图文

-立体几何中的传统法求空间角 知识点: 一.异面直线所成角:平移法 二.线面角 1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有 面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离 sinA=d/PA 三.求二面角的方法 1、直接用定义找,暂不做任何辅助线; 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到 引用源。 、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用 源。 、错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二 线面角 例二、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩 形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 D1 A1 D A B1 C1 N C B M 1 练 习 : 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 底 面 A B , C? P ? A , ? ? , A ? B ? 6 0 A ? B , C 9 0 B C A 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正 弦值; (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ? 2 ∴ DE ? 1 BC , 2 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ? 1 AB , 2 1 AB . 2 ? ∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60 ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ? DE BC 2 , ? ? AD 2 AD 4 考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三:.定义法(2011 广东理 18) 如图 5.在椎体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的棱形, 且∠DAB=60 ? , PA ? PD ? 2 ,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1) 证明:AD ? 平面 DEF; (2) 求二面角 P-AD-B 的余弦值. 法一: (1)证明:取 AD 中点 G,连接 PG,BG,BD。 因 PA=PD,有 PG ? AD ,在 ?ABD 中, AB ? AD ? 1, ?DAB ? 60? ,有 ?ABD 为 等 边 三 角 形 , 因 此 PBG ? AD ? PB, AD ? GB. 又 PB//EF,得 AD ? EF ,而 DE//GB 得 AD ? DE,又 FE ? DE ? E ,所以 AD ? 平面 DEF。 BG ? AD, BG ? PG ? G , 所 以 AD ? 平 面 3 (2) PG ? AD, BG ? AD , ? ?PGB 为二面角 P—AD—B 的平面角, Rt ?PAG中, PG 2 ? PA2 ? AG 2 ? 在 7 4 Rt ?ABG中,BG=AB ? sin60?= 在 3 2 2 7 3 ? ?4 PG ? BG ? PB 21 4 4 ? cos ?PGB ? ? ?? 2PG ? BG 7 7 3 2? ? 2 2 2 2 法二: (1)取 AD 中点为 G,因为 PA ? PD, PG ? AD. 又 AB ? AD, ?DAB ? 60?, ?ABD 为等边三角形,因此, BG ? AD ,从而 AD ? 平 面 PBG。 延长 BG 到 O 且使得 PO ? OB,又 PO ? 平面 PBG,PO ? AD, AD ? OB ? G, 所以 PO ? 平面 ABCD。 以 O 为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线 OB,OP 分别为 x 轴,z 轴,平行于 AD 的直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系。 1 1 P(0, 0, m), G (n, 0, 0), 则A(n, ? , 0), D(n, , 0). 2 2 设 4 | GB |?| AB | sin 60? ? 3 2 ? B(n ? 3 3 3 1 n 3 1 m ,0,0), C (n ? ,1,0), E (n ? , ,0), F ( ? , , ). 2 2 2 2 2 4 2 2 3 n 3 m , 0, 0), FE ? ( ? , 0, ? ) 2 2 4 2 AD ? (0,1, 0), DE ? ( 由于 得 AD ? DE ? 0, AD ? FE ? 0, AD ? DE, AD ? FE, DE ? FE ? E ? AD ? 平面 DEF。 (2) 1 3 PA ? (n, ? , ?m), PB ? (n ? , 0, ?m) 2 2 ? m2 ? n2 ? 1 3 2 3 ? 2, (n ? ) ? m2 ? 2, 解之得m ? 1, n ? . 4 2 2 取平面 ABD 的法向量 设平面 PAD 的法向量 n1 ? (0,0, ?1), n2 ? (a, b, c) 由 PA ? n2 ? 0, 得 3 ). 2 3 b 3 b a ? ? c ? 0,由PD ? n2 ? 0, 得 a ? ? c ? 0, 2 2 2 2 取 n2 ? (1, 0, 3 2 ? ? 21 .

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