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【人教版】最新高中数学同步辅导与检测:必修5 第二章2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课)

【人教版】最新高中数学同步辅导与检测:必修 5 第二章 数列 2.3 第 2 课时 等差数列的前 n 项和 等差数列的前 n 项和(习题课) A级 一、选择题 1.一个等差数列共有 2n+1 项,其奇数项的和为 512,偶数项 的和为 480,则中间项为( ) 基础巩固 A.30 B.31 C.32 D.33 解析:中间项为 an+1. S 奇= S 偶= (a1+a2n+1) ·(n+1)=(n+1)an+1=512. 2 a2+a2n ·n=n· an+1=480. 2 所以 an+1=S 奇-S 偶=512-480=32. 答案:C 1 2.等差数列{an}的公差 d= 且 S100=145,则 a1+a3+a5+…+ 2 a99 的值为( ) A.52.5 B.72.5 C.60 D.85 解析:设 a1+a3+a5+…+a99=x,a2+a4+…+a100=y,则 x+ y=S100=145,y-x=50d=25.解得 x=60,y=85. 答案:C S3 1 S6 3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 为( S6 3 S12 ) 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 解析:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,构成一个新的等差数列, 因为 S3=1,S6-S3=3-1=2,所以 S9-S6=3,S12-S9=4. 所以 S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=1+2+3+4=10. S6 3 所以 = . S12 10 答案:A 4. 若数列{an}的前 n 项和是 Sn=n2-4n+2, 则|a1|+|a2|+…+|a10| 等于( ) A.15 B.35 C.66 D.100 ? ?-1,n=1, 解析:易得 an=? ?2n-5,n≥2. ? |a1|=1,|a2|=1,|a3|=1, 令 an>0 则 2n-5>0,所以 n≥3. 所以|a1|+|a2|+…+|a10| =-(a1+a2)+a3+…+a10 =2+(S10-S2) =2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)] =66. 答案:C 5.把正整数以下列方法分组:(1),(2,3),(4,5,6),…,其 中每组都比它的前一组多一个数, 设 Sn 表示第 n 组中所有各数的和, 那么 S21 等于( ) A.1 113 B.4 641 C.5 082 D.53 361 解析:因为第 n 组有 n 个数,所以前 20 组一共有 1+2+3+… +20=210 个数,于是第 21 组的第一个数为 211,这组一共有 21 个 数,S21=21×211+ 答案:B 二、填空题 21×20 ×1=4 641. 2 6.已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+…+nan=n2, 则数列{an}的通项公式为________. 解析:a1+2a2+3a3+…+nan=n2, 当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)· an-1=(n-1)2, 所以 nan=2n-1,所以 an= 2n-1 . n 当 n=1 时,a1=1,符合上式, 所以数列{an}的通项公式为 an= 答案:an= 2n-1 n 2n-1 . n 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=1,S5=10,则当 Sn 取得最大值时,n 的值为________. ?a4=a1+3d=1, 解析:由? 5×4 S d=10, 5=5a1+ ? 2 ? ?a1=4, 解得? ?d=-1. ? 所以 a5=a1+4d=0, 所以 S4=S5 同时最大. 所以 n=4 或 5. 答案:4 或 5 8.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),若 a2∶a3=5∶2, 则 S3∶S5=________. S3 3(a1+a3) 3a2 3 5 3 解析: = = = × = . S5 5(a1+a5) 5a3 5 2 2 答案:3∶2 三、解答题 9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0, S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由. 解:(1)因为 a3=12,所以 a1=12-2d, 因为 S12>0,S13<0, ? ?12a1+66d>0, ? ?24+7d>0, 所以? 即? ?13a1+78d<0, ? ?3+d<0, ? 所以- 24 <d<-3. 7 (2)因为 S12>0,S13<0, ?a1+a12>0, ?a6+a7>0, ? ? 所以? 所以? ? ? ?a1+a13<0. ?a7<0. 所以 a6>0,又由(1)知 d<0. 所以数列前 6 项为正,从第 7 项起为负. 所以数列前 6 项和最大. 2S2 n 10.在数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),求数列{an}的通 2Sn-1 项公式. 解:因为 an=Sn-Sn-1, 2S2 n 所以 Sn-Sn-1= , 2Sn-1 即(Sn-Sn-1)(2Sn-1)=2S2 n, 即 Sn-1-Sn=2SnSn-1, 1 1 即 - =2, Sn Sn-1 ?1? 1 1 所以?S ?为等差数列,且 = =1, S1 a1 ? n? 1 1 所以 =1+2(n-1),即 Sn= . Sn 2n-1 所 以 an = Sn - Sn - 1 = (n≥2), 又 a1=1≠ -2 , (2×1-1)(2×1-3) -2 1 1 - = 2n-1 2n-3 (2n-1)(2n-3) 1(n=1), ? ? 所以 an=? -2 ? ?(2n-1)(2n-3)(n≥2). B级 能力提升 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1 =3,则 m 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析: am=Sm-Sm-1

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