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第二讲 四招智取填空题


第三部分

在应试技巧上智取“三大题型” 结束

在应试技巧上智取“三大题型”

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填空题是高考题中的客观性试题,具有小巧灵活、结构简单、 运算量不大等特点.因而求解选择题的有关策略、方法有时也适 合于填空题.根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成 两种类型:
(1)定量型:要求考生填写数值、数集或数量关系,如方程的 解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线 段长度、角度大小等;

(2)定性型: 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数 学对象的某种性质,如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.
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解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性 的要求比解答题更高、更严格. 《考试大纲》中对解答填空题提出 的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:

快 ——运算要快,力戒小题大做;
稳 ——变形要稳,不可操之过急; 全 ——答案要全,力避残缺不齐; 活 ——解题要活,不要生搬硬套; 细 ——审题要细,不能粗心大意.
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直接法
对于计算型的试题,多通过直接计算求得结果,这是解决填 空题的基本方法.它是直接从题设出发,利用有关性质或结论, 通过巧妙地变形,直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质, 有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.

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[例 1]

(2014· 福建高考)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC=

3,则 AB 等于________.

[解析]

AC BC 在△ABC 中,根据正弦定理,得 = ,所 sin B sin A

2 3 以 = ,解得 sin B=1,因为 B∈(0° ,180° ),所以 B sin B sin 60° =90° ,所以 AB= 22-? 3?2=1.

[答案]

1

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直接法是解决计算型填空题最常用的方法, 在计算过程 中,我们要根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题,注 意一些解题规律和解题技巧的灵活应用, 将计算过程简化从 而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.

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1. (2014· 昆明一调)若等比数列{an}满足 a1+a4=10, a2+a5=20, 则{an}的前 n 项和 Sn=________.
解析:由题意 a2+a5=q(a1+a4),得 20=q×10,故 q=2, 10 代入 a1+a4=a1+a1q =10,得 9a1=10,得 a1= .故 Sn= 9
3

10 ?1-2n? 9 10 n = (2 -1). 9 1-2

10 n 答案: (2 -1) 9
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特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结 论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以 从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、 特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型 等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在 利用此方法时,一般应多取几个特例.

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[例 2]

(2014· 江西高考改编)在△ABC 中,内角 A,B,C 所
2 2

π 对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C= ,则△ABC 的面 3 积是________.
[解析] 法一:∵c2=(a-b)2+6, ① ②

∴c2=a2+b2-2ab+6. π π 2 2 2 ∵C= ,∴c =a +b -2abcos =a2+b2-ab. 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2
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法二:△ABC 为等边三角形时满足条件, 3 3 则 S△ABC= . 2

[答案]

3 3 2

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求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但 要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题,对于开放 性的问题或者有多种答案的填空题,则不能使用该种方法求 解.本题中的法二把一般三角形看作等边三角形,从而减少了 计算量.

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2.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P,
AC =________. 且 AP=3,则 AP ·

AC = AP · 解析:法一: ∵ AP · ( AB + BC ) = AP · AB + BC = AP · ( BD + DC ) AP · AB + AP ·

= AP · BD +2 AP · AB , ∵AP⊥BD,∴ AP · BD =0.
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又∵ AP · AB =| AP || AB |cos∠BAP=| AP |2,
AC =2| AP |2=2×9=18. ∴ AP ·

法二:把平行四边形 ABCD 看成正方形,则 P 点为对角线的交
AC =18. 点,AC=6,则 AP ·

答案:18

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数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题, 若能根据题目中的条件, 作出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、判断,即可 快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显,如一 次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等, 求解的关键是明确几何含义,准确规范地作出相应的图形.

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[例 3]

(2014· 衡水二调)已知函数 f(x)满足

?1? f(x)=2f?x?,当 ? ?

x

∈[1,3]时,f(x)=ln

?1 ? x,若在区间?3,3?内,函数 ? ?

g(x)=f(x)-ax

的图象与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ________.
?1 ? 1 x∈?3,1?时, ∴ x∈[1,3], ? ?

[解析]
?1? f?x?=ln ? ?



1 1 ∴ f(x)=-ln x, ∴f(x) x=-ln x, 2
?1 ? x∈?3,1?时,f(x)=-2ln ? ?

=-2ln x,∴当

x.∵函数 g(x)的图象与 x 轴有 3 个不同的交点,
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∴函数 f(x)的图象与 y=ax 有 3 个不同的交点,函数 f(x)的 图象如图所示,直线 y=ax 与 y=ln x 相切是一个边界情况,直 线 y=ax 过(3,ln 3)时是一个边界情况,符合题意的直线需要在 这 2 条直线之间, 1 1 ∵y=ln x,∴y′=x,∴k= ,所以切线方程为 y-ln x0 x0 1 1 = (x-x0),与 y=ax 相同,即 a= ,当 y=ax 过点(3,ln 3)时, x0 e ln 3 ln 3 1 a= .综上可得: ≤a< . 3 3 e
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[答案]
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?ln 3 1? ? , ? e? ? 3

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数形结合在解决填空题中的应用, 就是利用图形的直观性并 结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热 点. 准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中 的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.

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? π? 3.不等式?|x|-2 ?· sin ? ?

x<0,x∈[-π,2π]的解集为____________.

π 解析:在同一坐标系中分别作出 y=|x|- 与 y=sin x 的图 2 象:

? π? ? π? 根据图象可得不等式的解集为?-π,-2 ?∪?0,2 ?∪(π, 2π). ? ? ? ?

? π? ? π? 答案:?-π,-2 ?∪?0,2 ?∪(π,2π) ? ? ? ?
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构造法
用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出 数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联 想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例如 代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过 的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的 背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体 的数学模型,达到快速解题的目的.

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[例 4]

如图,已知球 O 的面上有四点 A,B,C,D,DA⊥平

面 ABC, AB⊥BC, DA=AB=BC= 2, 则球 O 的体积等于________.

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[解析]

如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体

的外接球球 O 的半径为 R, 则正方体的体对角线长即为球 O 的直径, 所以 CD= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R, 6 所以 R= , 2 4πR3 故球 O 的体积 V= = 6π. 3

[答案]



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构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据 已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函 数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.本 题巧妙地构造出正方体,而球的直径恰好为正方体的体对角线, 问题很容易得到解决.

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1 1 1 1 1 1 4.a=ln - ,b=ln - ,c=ln - , 2 012 2 012 2 013 2 013 2 014 2 014 则 a,b,c 的大小关系为________________.

1- x 1 解析:令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)=x-1= x . 当 0<x<1 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1> > > >0,∴a>b>c. 2 012 2 013 2 014

答案:a>b>c
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