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2015年高中数学新课标一轮复习59


五十九

圆锥曲线的综合问题

1.(2014· 沈阳模拟)已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的 相异两点 A,B,则|AB|等于( A.3 C.3 2 [答案] C [解析] ∵抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 y=-x 对称的相异两点 A, B, ) B.4 D.4 2

A(x1,y1),B(x2,y2),∴kAB=1. 设 AB 方程为 y=x+b,与 y=-x2+3 联立得 x2+x+b-3=0, ∴x1+x2=-1, y1+y2=2b-1, ? 1 2b-1? ?在 y=-x 上,得 b=1, ∴AB 中点?- , 2 ? ? 2 ∴x1x2=-2, ∴AB= 2· ?x1+x2?2-4x1x2=3 2, 故应选 C. 2.(2014· 武汉模拟)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0, 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的 最小值为( 5 2 A. 2 +2 5 2 C. 2 -2 [答案] [解析] D 如图,y2=4x 准线为 x=-1,焦点为 F(1,0), ) 5 2 B. 2 +1 5 2 D. 2 -1

由抛物线定义,得 d1+d2=d1+1+d2-1=PF+d2-1, ∴d1+d2 最小值即 F 到直线 l 的距离减去 1, 5 2 ∴(d1+d2)min= 2 -1. 故选 D. x2 y2 3.(2014· 石家庄质检一)F1,F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右 焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A,B 两点.若△ABF2 是 等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 C. 13 [答案] [解析] B 如图所示, ) B. 7 D. 15

由双曲线定义,得|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a, 因为△ABF2 是正三角形, 所以|BF2|=|AF2|=|AB|, 因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且∠F1AF2=120° , 1 在△F1AF2 中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×2=28a2, 所以 e= 7. 故应选 B.

x2 y2 4. (2013· 重点中学领航高考冲刺试卷)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F1,左焦点为 F2,若椭圆上存在一点 P,满足线段 PF1 相切于以椭圆的短轴为直 径的圆,切点为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率为( 5 A. 3 [答案] [解析] A 如图所示,设线段 PF1 与圆 O 切于点 M,则|OM|=b,|OF1|=c,故 2 B.3 2 5 C. 2 D.9 )

|MF1|= c2-b2,所以|PF1|=2|MF1|=2 c2-b2.又 O 为 F1F2 的中点,M 为 PF1 的中点, 所以|PF2|=2|OM|=2b.由椭圆的定义,得 2 c2-b2+2b=2a,即 c2-b2 =a-b,即 2c2-a2=a- a2-c2,即 2e2-1=1- 1-e2,两边平方,整理得 5 3e2-3=-2 1-e2,再次平方,整理得 9e4-14e2+5=0,解得 e2=9或 e2=1(舍 5 去),故 e= 3 .故选 A.

x2 y2 5. (2014· 贵州高三第一次联考)已知 F1, F2 分别是双曲线a2-b2=1(a>0, b>0) 的左、右焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近 线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1, 2) C.( 3,2) [答案] [解析] D x2 y2 b b 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,设直线方程为 y= (x a b a a B.( 2, 3) D.(2,+∞)

bc? b ?c →· → -c),与 y=-ax 联立求得 M?2,-2a?,因为 M 在圆外,所以满足MF 1 MF2>0, ? ? 3 c ? bc? 可得-4c2+?2a?2>0,解得 e=a>2,故选 D. ? ?

x2 y2 6.(2014· 河南开封高三第一次摸底)从双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于点 P,若 M 为线 段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|与 b-a 的关系为( A.|MO|-|MT|>b-a B.|MO|-|MT|<b-a C.|MO|-|MT|=b-a D.|MO|-|MT|与 b-a 无关 [答案] C [解析] =2a,① ∵OM 是△FF1P 的中位线, ∴|PF1|=2|OM|,② 又∵M 是 FP 的中点, ∴|PF|=2|MF|,③ ②③代入①得 2|MF|-2|OM|=2a, |MF|-|OM|=a.④ ∵|MF|=|MT|+|TF|,|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2, ∴|FT|=b. ∴|MF|=|MT|+b.⑤ 把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a, ∴|OM|-|MT|=b-a.选 C. 7.(2014· 唐山高三模拟)C 是以原点 O 为中心,焦点在 y 轴上的等轴双曲线 在第一象限部分,曲线 C 在点 P 处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则( ) 设 F1 是双曲线的右焦点,连接 PF1,由双曲线的定义知|PF|-|PF1| )

1 A.|OP|<2|AB| B.|OP|=|AB| 1 C.2|AB|<|OP|<|AB| 1 D.|OP|=2|AB|

[答案] [解析] 象限,

D ∵曲线 C 为焦点在 y 轴的等轴双曲线, 不妨设 y2-x2=1, ∵在第一

∴y= 1+x2(x>0),
2 设 P(x0,y0),y0= 1+x0 ,

y′=

x x0 . 2,k 切= 1+x 1+x2 0

曲线在点 P 处的切线为: y-y0= x0 2(x-x0), 1+x0

渐近线为 y=± x,不妨设 A(xA,xA),B(xB,-xB),

?y-y0= ? ?y=x,
∴xA=

x0 ?x-x0?, 1+x2 0

1 = 1+x2 0+x0, 2 1+x0-x0 -1 2 =-( 1+x0 -x0). 2 1+x0 +x0

同理 xB=

|AB|2=|OA|2+|OB|2
2 2 =2(x2 A+xB)=4(2x0+1), 2 2 |OP|2=x2 0+y0=2x0+1,

∴|AB|=2|OP|,故选 D. 8.(2013· 洛阳、安阳统考)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(0, -1),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点为(2,-2),则直线 l 的方程为________. [答案] [解析] y=-x 由题意知,抛物线的方程为 x2=-4y,设 A(x1,y1),B(x2,y2),且

2 ?x1=-4y1, 2 x1≠x2,联立方程得? 2 两式相减得 x2 1-x2=-4(y1-y2), ?x2=-4y2,

y1-y2 x1+x2 ∴l 的斜率 k= = =-1, x1-x2 -4

∴直线 l 的方程为 y+2=-(x-2), 即 y=-x. 9.(2014· 成都模拟)已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的两个不同的点,F 为 → =-4FB → ,则直线 AB 的斜率为________. 抛物线 C 的焦点,若FA [答案] [解析] 4 ± 3 由题意知焦点 F(1,0),直线 AB 的斜率必存在,且不为 0,故可设直

线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0),代入 y2=4x 中消去 x,得 ky2-4y-4k=0. 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=k,① y1y2=-4,② → → 又由FA=-4FB,可得 y1=-4y2,③ 4 联立①②③式解得 k=± 3. x2 y2 10.设 P 为直线 l:x+y=4 上任意一点,椭圆12+ 4 =1 的两个焦点为 F1, F2,则 l 与椭圆的位置关系是________,|PF1|+|PF2|的最小值是________. [答案] 相切 4 3

[解析] 把 x=4-y 代入椭圆方程并整理,得 y2-2y+1=0,它有两个相等 的根, ∴l 与椭圆相切. 如图,连接 PF1,与椭圆交于 Q(由于 P 在椭圆外,则 Q 在 P,F1 之间),

连接 QF2,则|PF1|+|PF2|=|QF1|+|PQ|+|PF2|≥|QF1|+|QF2|=2a=4 3,当 且仅当 Q 在线段 PF2 上,即 P 在椭圆上时取等号, ∴|PF1|+|PF2|的最小值是 4 3. 11.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在 x 轴上,左、右 焦点分别为 F1,F2,且它们在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的 等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心

率 e 的取值范围是________. ?1 2? [答案] ?3,5? ? ? [解析] 度中等. 设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,半焦距为 c,由题 a1=5 1 1 +c,a2=5-c,故 a1-a2=2c,两边同除以 c,得e -e =2,因为 e2=
1 2

本题考查椭圆、双曲线的简单几何性质及离心率的计算等知识,难

e1 ∈ 1-2e1

1 2 ?1 2? (1,2),所以 e1∈?3,5?,即3<e<5. ? ? x2 y2 12.(2014· 吉林长春高三一调)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右 顶点为 A,上顶点为 B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点.过 F,B,A 三 点的圆的圆心坐标为(p,q). (1)当 p+q≤0 时,求椭圆的离心率的取值范围; → +OD → )· → (2)若点 D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(MF MO 7 的最小值为2,求椭圆的方程. [解析] a-c (1)设椭圆半焦距为 c.由题意 AF, AB 的中垂线方程分别为 x= 2 ,

b a? a? y-2=b?x-2?, ? ?
2 ?a-c b -ac? 于是圆心坐标为? , 2b ?. ? 2 ?

a-c b2-ac 所以 p+q= 2 + 2b ≤0, 整理得 ab-bc+b2-ac≤0, 即(a+b)(b-c)≤0, 所以 b≤c,于是 b2≤c2,即 a2=b2+c2≤2c2. c2 1 2 所以 e2=a2≥2,即 2 ≤e<1. ? 2 ? 故当 p+q≤0 时,椭圆离心率的取值范围是? ,1?. ?2 ?

2 x2 y2 (2)当 e= 2 时,a= 2b= 2c,此时椭圆的方程为2c2+c2=1, 设 M(x,y),则- 2c≤x≤ 2c, → +OD → )· → =1x2-x+c2=1(x-1)2+c2-1. 所以(MF MO 2 2 2 2 1 1 7 当 c≥ 2 时,上式的最小值为 c2-2,即 c2-2=2,得 c=2; 2 1 1 7 当 0<c< 2 时,上式的最小值为2( 2c)2- 2c+c2,即2( 2c)2- 2c+c2=2, 解得 c= 2+ 30 ,不合题意,舍去. 4

x2 y2 综上所述,椭圆的方程为 8 + 4 =1. 13 . (2013· 河南开封高考摸底 ) 已知圆 (x - a)2 + (y + 1 - r)2 = r2(r>0) 过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设 P 为直线 l: x-y-2=0 上的点, 过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA, PB, 当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. [解析] (1)依题意,圆心 M 到点 F 的距离为 r,M(a,r-1)到直线 y-1 的

距离也为 r,由抛物线定义知轨迹 C 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)抛物线 C 的方程为 x2=4y,即 y=4x2,求导得 y′=2x.
2 x1 x2 1 2? ? 设 A(x1,y1),b(x2,y2)?其中y1= 4 ,y2= 4 ?,则切线 PA,PB 的斜率分别为2 ? ?

1 x1,2x2, x1 所以切线 PA 的方程为 y-y1= 2 (x-x1), x1 x2 1 即 y= 2 x- 2 +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,

所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|· |BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, ?x0x-2y-2y0=0, 联立方程? 2 消去 x 整理,得 ?x =4y,
2 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0, 2 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x2 0-2y0,y1y2=y0, 2 所以|AF|· |BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y0 +x2 0-2y0+1.

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 1?2 9 ? 2 2 所以 y0 +x 2 0-2y0+1=2y0+2y0+5=2?y0+2? + , ? ? 2 1 9 所以当 y0=-2时,|AF|· |BF|取得最小值,且最小值为2. y2 x2 14. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的上、下焦点,其中 F1 5 也是抛物线 C2: x2=4y 的焦点, 点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点, 且|MF1|=3.

(1)试求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 l 与椭圆 C1 相交于 A,B 两点(A,B 不是上下顶点),且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C1 的上顶点.求证:直线 l 过定点. [解析] (1)由 C2:x2=4y,知 F1(0,1),F2(0,-1),c=1.

设 M(x0,y0)(x0<0),因 M 在抛物线 C2 上,故
2 x0 =4y0.①

5 5 又|MF1|=3,则 y0+1=3.② 2 6 2 由①②解得 x0=- 3 ,y0=3.

而点 M 在椭圆上, ∴2a=|MF1|+|MF2| 5 =3+ ? 2 6 ?2 ?2 ?2 +1? =4. ?- -0? +? 3 ? ? ?3 ?

∴a=2,∴b2=a2-c2=3. y2 x2 故椭圆 C1 的方程为 4 + 3 =1. (2)证明:当直线 l 斜率不存在时,显然不满足条件. 当直线 l 斜率存在时, 可设 l:y=kx+m 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 y2 ? ? + =1, ∴? 3 4 ? ?y=kx+m, 得

(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0, ∴Δ=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)>0, ∴3k2-m2+4>0. 6km ? x1+x2=- 2 , ? 3k +4 ∴? 3m2-12 x x = ? ? 1 2 3k2+4 . ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k2x1x2+km(x1+x2)+m2 4m2-12k2 = , 3k2+4 y1+y2=k(x1+x2)+2m. ∵以 AB 为直径的圆过椭圆 C1 的上顶点 A1(0,2), → → ∴A A 1A· 1B=x1x2+(y1-2)(y2-2) =x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=0, 3m2-12 4m2-12k2 2k· ?-6km? ∴ 2 + - -4m+4=0, 2 3k +4 3k +4 3k2+4 整理得 7m2-16m+4=0,

2 解得 m=2(舍去)或 m=7, 2? ? ∴直线 l 过定点?0,7?. ? ? x2 15.(2014· 河北邯郸高三质检)设点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C:a2+y2 →· → =1(a>1)的左、右焦点,P 为椭圆 C 上任意一点,且PF 1 PF2的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l1:y=kx+m,l2:y=kx+n(直线 l1,l2 不重合),若 l1,l2 均与椭 圆 C 相切, 试探究在 x 轴上是否存在定点 Q, 使点 Q 到 l1, l2 的距离之积恒为 1? 若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [解析] → → (1)设 P(x,y),则有F 1P=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

2 → → 2 2 2 a -1 2 PF1· PF2=x +y -c = a2 x +1-c2,x∈[-a,a],

→· → 2 2 由PF 1 PF2的最小值为 0,得 1-c =0,c=1,a =2, x2 ∴椭圆 C 的方程为 2 +y2=1. (2)把 l1 的方程代入椭圆方程,得 (1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0. ∵直线 l1 与椭圆 C 相切, ∴Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,化简得 m2=1+2k2, 同理可得 n2=1+2k2, ∴m2=n2,若 m=n,则 l1,l2 重合,不符合题意, ∴m=-n,即 m+n=0. 设在 x 轴上存在点 Q(t,0),使点 Q 到直线 l1,l2 的距离之积恒为 1,则 |kt+m| |kt-m| · 2 =1,即|k2t2-m2|=k2+1, 2 k +1 k +1 把 1+2k2=m2 代入并去绝对值整理,得 k2(t2-3)=2 或者 k2(t2-1)=0, 前式显然不恒成立,而要使得后式对任意的 k∈R 恒成立, 则 t2-1=0,解得 t=± 1.

综上所述,满足题意的定点 Q 存在,其坐标为(-1,0)或(1,0).


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