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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件:2-8-3选修4系列


名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学(文)

基 础 记 忆 重 访 好 题

[二轮备考讲义]
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第二部分 专题八 第3讲

第 1页

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基 础 记 忆 重 访 好 题

第二部分 二轮知识专题大突破
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基 础 记 忆 重 访 好 题

专题八
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选修4系列

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基 础 记 忆 重 访 好 题

第三讲
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不等式选讲(选修4-5)

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本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质,绝对值
基 础 记 忆

不等式的解法以及不等式证明问题,其中绝对值不等式的解法 常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意 去掉绝对值符号的方法,绝对值的几何意义以及转化与化归、 数形结合思想的应用.
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基 础 记 忆

基础记忆

试做真题

基础要记牢,真题须做熟
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基础知识不“背死”,就不能“用活”!
基 础 记 忆

1.含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等式,解
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法有三种: ①根据绝对值的几何意义结合数轴直观求解; ②用零点分段法去绝对值,转化为三个不等式组求解; ③构造函数,利用函数图象求解.
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2.含有绝对值的不等式性质
基 础 记 忆

|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|.

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3.算术——几何平均不等式
基 础 记 忆

定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号 成立. a+b 定理2:如果a,b为正数,则 ≥ 2 时,等号成立. ab ,当且仅当a=b
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定理3:如果a,b,c为正数,则a+b+c≥ abc,当且仅当
基 础 记 忆

3

a=b=c时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术——几何平均不等式)如果a1, a1+a2+?+an n a2,?,an为n个正数,则 ≥ a1a2?an ,当且仅 n
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当a1=a2=?=an时,等号成立.

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4.证明不等式的基本方法
基 础 记 忆

(1)比较法:作差或作商比较. (2)综合法:根据已知条件、不等式的性质、基本不等式, 通过逻辑推理导出结论. (3)分析法:执果索因的证明方法.
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(4)反证法:反设结论,导出矛盾. (5)放缩法:通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方 法. (6)数学归纳法:证明与正整数有关的不等式.

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高考真题要回访,做好真题底气足
基 础 记 忆

1 1 1.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)若a>0,b>0,且a+b= ab. (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
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基 础 记 忆

1 1 2 解:(1)由 ab = + ≥ ,得ab≥2,且当a=b= 2 时等 a b ab 号成立. 故a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当a=b= 2时等号成立. 所以a +b 的最小值为4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6· ab≥4 3.
3 3

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由于4 3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.

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2.(2014· 辽宁高考)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2
基 础 记 忆

-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M; 1 (2)当x∈M∩N时,证明:x f(x)+x[f(x)] ≤ . 4
2 2

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基 础 记 忆

? ?3x-3,x∈[1,+∞?, 解:(1)f(x)=? ? ?1-x,x∈?-∞,1?.

4 4 当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1,得x≤ ,故1≤x≤ ; 3 3 当x<1时,由f(x)=1-x≤1,得x≥0,故0≤x<1.
重 访 好 题

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? ? ? 4 ? ? 所以f(x)≤1的解集为M= x 0≤x≤3 ? ? ?

? ? ?. ? ?

(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4,得
? 1? 2 16?x-4? ≤4, ? ?

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基 础 记 忆

1 3 解得-4≤x≤4.
? ? ? 1 3 ? ? 因此N= x -4≤x≤4 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 故M∩N= x 0≤x≤4 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?. ? ?
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当x∈M∩N时,f(x)=1-x, 于是x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)] 1 ? 1?2 1 =x· f(x)=x(1-x)= -?x-2? ≤ . 4 ? 4 ?

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基 础 记 忆

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含绝对值不等式的解法
基 础 记 忆

[试题调研] [例1] a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)=
? 1? ?x+ ? a? ?

+|x-
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(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

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[命题意图]
基 础 记 忆

本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式

的应用,含绝对值的不等式的解法,意在考查考生的运算求解 能力与分类讨论思想的应用. [解题思路] (1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩,结
重 访 好 题

合基本不等式即得证.
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(2)明确不等式后解关于a的绝对值不等式,再分类讨论求解 即可.

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[解析]
基 础 记 忆

(1)证明:由a>0,有f(x)=

? 1? ?x+ ? a? ?

+|x-

? ? 1 1 a|≥?x+a-?x-a??= +a≥2. ? ? a

所以f(x)≥2.
? 1? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|. ? ?
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重 访 好 题

1 当a>3时,f(3)=a+a, 5+ 21 由f(3)<5,得3<a< . 2
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1 当0<a≤3时,f(3)=6-a+ , a
基 础 记 忆

1+ 5 由f(3)<5,得 2 <a≤3.
?1+ 综上,a的取值范围是? ? 2 ?

5 5+ 21? ? , 2 ?.
?

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基 础 记 忆

1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点;(2)划区间、去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值 的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间 的端点值.
重 访 好 题

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2.用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使 得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的 方法.

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3.求解绝对值不等式恒成立问题的解析
基 础 记 忆

(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化 为分段函数求最值. (2)结合“a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立,则 a≤f(x)min”求字母参数的取值范围.
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[回访名题]
基 础 记 忆

1 设函数 f(x)=|x-1|+2|x-3|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集; (2)若不等式
? 1? f(x)≤a?x+2?的解集非空, 求实数 ? ?
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a 的取值范围.

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解:(1)原不等式等价于
基 础 记 忆

3 5 1 1 3 5 ? ? ? ?- x+ >2, ? x+ >2, ? x- >2, 2 2 2 2 ? 或? 或? 2 2 ? ? ? ?x>3. ?x≤1 ?1<x≤3
? 1? 解得原不等式的解集为?-∞,3?∪(3,+∞). ? ?
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1 (2)f(x)=|x-1|+ |x-3| 2
基 础 记 忆

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3 5 ? ?- x+ ,x≤1, ? 2 2 ?1 1 =?2x+2,1<x≤3, ? ?3 5 x- ,x>3, ? ?2 2

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f(x)的图象如图所示, 其中 A(1,1), B(3,2), 直线
基 础 记 忆

? 1? y=a?x+2?绕 ? ?

? 1 ? 点?-2,0?旋转,由图可得不等式 ? ?

? 1? f(x)≤a?x+2?的解集非空时,a ? ?
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? ? 3? ?4 的取值范围为?-∞,-2?∪?7,+∞?. ? ? ? ?
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不等式的证明
基 础 记 忆

[试题调研] [例 2] (2014· 昆明质检)已知 a,b,c 均为正数.
2 2

(1)求证:a +b

?1 1? +?a+b?2≥4 ? ?

2;

9 4 1 (2)若 a+4b+9c=1,求证:a+b+ c≥100.
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[命题意图]

本题主要考查利用均值不等式证明不等式的成

立问题.意在考查考生的逻辑推理与论证能力.解题过程中要注 意标明等号成立的条件,以保证过程的完整性.

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[证明]
基 础 记 忆

(1)证法一:a,b 均为正数,由均值不等式,得 a2 4 1 1? ?2 · =ab, a b? ?
重 访 好 题

+b

2

? ? 1 1? 2 ≥2ab,?a+b? ≥? ?2 ? ? ?

∴a +b 2
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2

2

?1 1? 4 2 ? ? + + a b ≥2ab+ab≥ ? ?

4 2ab· =4 2. ab 4

当且仅当 a=b= 2时,等号成立.

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证法二:a,b 均为正数,由均值不等式,得
基 础 记 忆

1 1 2 a +b ≥2ab,a2+b2≥ab,
2 2

1 1 2 ∴a +b + 2+ 2≥2ab+ . a b ab
2 2

∴a +b
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2

2

?1 1? 4 2 ? ? + a+b ≥2ab+ab≥ ? ?

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2

4 2ab· ab=4 2.

4 当且仅当 a=b= 2时,等号成立.

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9 4 1 (2)a+b+ c
基 础 记 忆

? 9 4 1? =(a+4b+9c)?a+b+c? ? ?

4a a 36b 4b 81c 36c =9+ b +c+ a +16+ c + a + b +9
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?4a 36b? ?a 81c? ?4b 36c? =34+? b + a ?+? c+ a ?+? c + b ? ? ? ? ? ? ?

重 访 好 题

≥34+2

4a 36b · +2 b a

a 81c · +2 c a

4b 36c · c b

=34+24+18+24=100.

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当且仅当 a=3b=9c,且 a+4b+9c=1 时,等号成立,即当
基 础 记 忆

3 1 1 且仅当 a=10,b=10,c=30时,原式取等号.
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基 础 记 忆

不等式证明的基本方法是比较法、 综合法、 分析法、 反证法、 放缩法和数学归纳法,其中以比较法和综合法最为基础,使用综 合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式 或柯西不等式, 证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明
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的目的.

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[回访名题]
基 础 记 忆

(2014· 唐山模拟)已知 x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=3. 1 1 1 (1)求 x+y+ z 的最小值; (2)证明:3≤x +y +z <9.
2 2 2

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基 础 记 忆

1 1 1 3 解:(1)因为 x+y+z≥3 xyz>0,x+y+ z ≥ >0, 3 xyz 3
?1 1 1 ? 所以(x+y+z)?x+y+ z ?≥9, ? ?

1 1 1 即 + + ≥3, x y z
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1 1 1 当且仅当 x=y=z=1 时,x+y+ z 取最小值 3.

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(2)证明:x2+y2+z2=
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x2+y2+z2+?x2+y2?+?y2+z2?+?z2+x2? 3 x2+y2+z2+2?xy+yz+zx? ≥ 3 ?x+y+z?2 = =3. 3 又 x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2
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=-2(xy+yz+zx)<0,
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所以 3≤x2+y2+z2<9.

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不等式的综合应用
基 础 记 忆

[试题调研] [例3] (2014· 云南统检)已知a,b都是实数,a≠0,f(x)=|x
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-1|+|x-2|. (1)若f(x)>2,求实数x的取值范围; (2)若|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)对满足条件的所有a,b都成立,
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求实数x的取值范围.

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基 础 记 忆

[解析]

?3-2x,x≤1, ? (1)f(x)=?1,1<x≤2, ?2x-3,x>2. ?
? ?x>2, 或? ? ?2x-3>2,
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? ?x≤1, f(x)>2,得? ? ?3-2x>2

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1 5 解得 x< 或 x> . 2 2 ∴所求实数 x 的取值范围为
? ? 1? ?5 ?-∞, ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ?

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(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且 a≠0,得
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|a+b|+|a-b| ≥f(x). |a| |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| 又∵ ≥ =2, |a| |a| ∴f(x)≤2.
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1 5 ∵f(x)>2 的解为 x<2或 x>2. 1 5 ∴f(x)≤2 的解为 ≤x≤ . 2 2

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∴所求实数 x
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?1 5? 的取值范围为?2,2?. ? ?

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基 础 记 忆

不等式 f(a)≥g(x)恒成立时, 要看是对哪一个变量恒成立. 如 果对于?a∈R 恒成立,则 f(a)的最小值大于等于 g(x),再解关于 x 的不等式求 x 的取值范围;如果对于?x∈R 不等式恒成立,则 g(x)的最大值小于等于 f(a),再解关于 a 的不等式求 a 的取值范
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围.

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[回访名题]
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(2014· 石家庄质检二)已知函数 f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若 f(x)≤2x
?1 ? 的解集包含?2,1?,求 ? ?

a 的取值范围.

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解: (1)当 a=1 时, 不等式 f(x)≥2 可化为|x+1|+|2x-1|≥2,
基 础 记 忆

1 2 2 ①当 x≥2时,不等式为 3x≥2,解得 x≥3,故 x≥3; 1 ②当-1≤x<2时,不等式为 2-x≥2,解得 x≤0, 故-1≤x≤0;
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③当 x<-1 时,不等式为-3x≥2, 2 解得 x≤-3, 故 x<-1.

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基 础 记 忆

? 2? ? ? ? 综上,原不等式的解集为?x?x≤0或x≥3? ? ? ? ? ?

.

(2)f(x)≤2x

?1 ? 的解集包含?2,1?, ? ?
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不等式可化为|x+a|≤1, 解得-a-1≤x≤-a+1,
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1 ? ?-a-1≤ , 2 由已知得? ? ?-a+1≥1,

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3 解得-2≤a≤0,
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所以 a

? 3 ? 的取值范围是?-2,0?. ? ?
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