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全国通用2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系课件理


高考理数
§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系

知识清单
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥 曲线r的方程F(x,y)=0中,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即
? Ax ? By ? C ? 0, ? 消去y后得ax +bx+c=0. ?
2

? F ( x, y ) ? 0,

(1)当a≠0时,若 Δ>0 线l与曲线r相离.

,则直线l与曲线r相交;若 Δ=0

,则直线l与曲线r相切;若 Δ<0

,则直

(2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,有且只有一个交点,此时,若r为双曲线,则直 线l与双曲线的 渐近线 平行;若r为抛物线,则直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合.

2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1,y1),(x2,y2)是方程组
? f ( x, y ) ? 0, 的两组解,方程组消元后化为关于x(或y)的一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0),判别式Δ= ? ?
2

? F ( x, y ) ? 0

b2-4ac,应有Δ>0,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系(韦达定理)得x1+x2=-? ,x
1

b a

· x2=? ,所以A、B两点间的距离|AB|=

c a

1? k ?

2

|x1-x2|

,即弦长公式(其中k为直线l的斜率),也可以

写成关于y的形式,其弦长公式为|AB|=

?
1?

1 k 2 |y1-y2|

(k≠0).特殊地,如果直线l过抛物线的焦 x1+x2+p .

点,抛物线方程以y2=2px(p>0)为例,此时,弦长公式|AB|= 3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系

x y (1)已知AB是椭圆? +? =1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的 2 2 a b

2

2

b x0 斜率,则kAB=-? . 2
2

a y0

x -? y =1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x ,y ),B(x ,y ),x ≠x ,弦中点M(x ,y ),则k = (2)已知AB是双曲线? 1 1 2 2 1 2 0 0 AB 2 2 a b
b 2 x0 a 2 y0

2

2

?

.

(3)已知AB是抛物线y =2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中点M(x0,y0),则kAB= 【知识拓展】

2

?
.

p y0

1.直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题是解析几何中的主要内容之一,也是高考的一个热点问 题,常利用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)直接得到两交点坐标之和与之积,也可用平

方差找到两交点坐标之和,直接与中点坐标建立联系.一般有以下三类问题:(1)求中点弦所在直
线方程;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)弦长为定值时,求弦中点的坐标. 2.有关曲线关于直线对称的问题,只需注意两点关于一条直线对称的条件:(1)两点连线与该直线 垂直(两直线都有斜率时,斜率互为负倒数);(2)两点所连线段的中点在此直线上(中点坐标适合 直线方程).

突破方法
方法1 直线与圆锥曲线的位置关系

有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题:一是判断位置关系,二是依据位置关系确定

?
解题导引
2 2

参数的范围.这两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式

及根与系数的关系进行求解.
例1 (2012重庆,20,12分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左,右焦点分别 为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.

(1)设标准方程为
x +? y =1(a>b>0)→由△AB B 为直角三角形得△AOB ? a
2

b

2

1

2

2

为等腰直角三角形→得b=? ,结合c2=a2-b2

c 2

S ? AB B =4, 求e→由?
1 2

求a2,b2→标准方程 (2)设l的方程为x=my-2, 与椭圆方程联立→设P(x1,y1), Q(x2,y2)→利用根与系数的关系求 y1+y2,y1· y2→由PB2⊥QB2得
? ? B2 P · B2Q =0→得关于m的
???? ? ???? ?

方程,求m→得直线l 的方程
x +? y =1(a>b>0),右焦点为F2(c,0). 解析 (1)设所求椭圆的标准方程为?
2 2

a2

b2

c ,又c2=a2-b2, 因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b=? 2 c =? 2 5 .? (3分) 所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=? a
5

在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故? S

? AB1B2

=? |B1B2|· |OA|=|OB2|· |OA|=? b=b2. 1· c·
2 2

2 2 2 S ? AB 由题设条件? =4 B得b =4,从而a =5b =20.
1 2

因此所求椭圆的标准方程为?+?=1.?(6分) (2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0). 由题意知直线l的倾斜角不为0, 故可设直线l的方程为x=my-2.

x2 20

y2 4

代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,
4m 16分) 因此y1+y2=? ,y1· y2=-?.?(8 m2 ? 5 m2 ? 5 ???? ? x -2,y1),????? ? -2,y2), 又? =( =(x B2 P 1 B2Q2 ???? ? ? -2)(x2-2)+y1y2 所以? · ????? =(x B2 P B2Q1

=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
2 =-? -? )m2 ? 64 16(m ?+16=1) 16? m 2 ,?(10分 16

m2 ? 5 m2 ? 5 ???? ? ?即16m2-64=0,解得m=±2. 由PB2⊥QB2,得? · ????? =0, B2 P B2Q

m2 ? 5

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.? (12分) 1-1 (2015云南二模,20)已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点M,E(x0,0)是x轴上的点,直线l经过 M与抛物线C交于A、B两点. (1)设l的斜率为? ,x0=5,求证:点E在以线段AB为直径的圆上; (2)设A、B都在以点E为圆心的圆上,求x0的取值范围.
? y ? k ( x ? 1), 得 解析 由已知得M(-1,0),直线l的斜率存在且不为零,设l的方程为y=k(x+1)(k≠0),由? ? 2 ? y ? 4 x,
2 2

k x +2(k -2)x+k =0. 由直线l与抛物线C交于A、B两点得Δ=4(k2-2)2-4k4>0,解得k2<1. ∴0<k2<1.
? 2(2 ? k 2 ) x1 ? x2 ? , 设A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k),则 ? k2 ? ? x x ? 1. ? 1 2 2 ,x0=5时, ? x1 ? x2 ? 6, E(5,0), (1)当k=? ? 2 ? x1 x2 ? 1,

2 2

2

2

?

?

2 2? ? 2 2? x1 ? x2 ? ? ,B ? x2 , ?. 2 2 ? ? 2 2 ? ? ??? ? ? ? ? 2 2 ? ??? 2 2? EA = ? x1 ? 5, EB = ? x2 ? 5, x1 ? x2 ? ∴? ? ,? ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? ??? ? ??? ? 1 ∵? ? [x1x2+(x1+x2)+1]=0, EA · EB =x1x2-5(x1+x2)+25+? 2 ??? ? ??? ? ∴? EA ⊥? EB ,即EA⊥EB.

A? ? x1 ,

?

?

?

?

∴点E在以线段AB为直径的圆上. (2)∵A、B都在以点E为圆心的圆上,∴|EA|=|EB|,
? 2 ? k 2 ?. 设AB的中点为D,则D? ? 2 , ? k k
2

?

?

∵|EA|=|EB|,∴DE⊥AB.
2 .∵0<k2<1,∴1+? 2 >3. ∵k≠0,∴kDE· k=-1,解得x0=1+? k2 k2

∴x0的取值范围为(3,+∞).

方法2

相交弦的中点问题

“中点弦”问题常用“根与系数的关系”和“点差法”求解,关键是构造出x1+x2,y1+y2,x1x2,y1-y2,从而建立中点坐标与方程的系数、斜率的关系. 例2 已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点M的坐标为(1,1),求直线AB的 方程. 解析 解法一:设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y=k(x-1)+1,代入椭圆方程,整理得 (9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0. 设A,B的横坐标分别为x1,x2,
x1 ? x2 =-? 9k (1 ? k ) =1,解得k=-? 4. 则? 2 2 9k ? 4 9 4 (x-1)+1,即4x+9y-13=0. 故直线AB的方程为y=-? 9

解法二:设A(x1,y1). ∵AB的中点为M(1,1),∴B点的坐标是(2-x1,2-y1). 将A,B点的坐标代入方程4x2+9y2=36,得

x1 +9? y1 -36=0, ① 4?

2

2

及4(2-x1)2+9(2-y1)2=36, 化简为4? x12 +9? y12 -16x1-36y1+16=0. ② ①-②,得16x1+36y1-52=0,化简为4x1+9y1-13=0. 同理可推出4(2-x1)+9(2-y1)-13=0. ∵A(x1,y1)与B(2-x1,2-y1)都满足方程4x+9y-13=0, ∴4x+9y-13=0即为所求.
?4 x12 ? 9 y12 ? 36, ① 解法三:设A(x1,y1),B(x2,y2),将其代入椭圆方程,得? ?
2 2 ?4 x2 ? 9 y2 ? 36, ②

①-②,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, ∵M(1,1)为弦AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2. ∴4(x1-x2)+9(y1-y2)=0.
y1 ? y2 =-? 4. ∴kAB=?

故直线AB的方程为y-1=-? 4 (x-1),即4x+9y-13=0.
9

x1 ? x2

9


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