当前位置:首页 >> 数学 >>

重庆八中2010—2011学年度高三年级第五次考试数学试题(理科)


重庆八中 2010—2011 学年度(上)高三年级第五次考试

数学试题(理科)
本试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { x | x ? x ? 0, x ? R } ,集合 B ? { x | lo g 2 x ? 0} ,则 A 、 B 满足
2

A. A ? B
? ?

B. B ? A
? ? ?

C. A ? B
? ?

D. A ? B 且 B ? A ? ?

2.已知单位向量 i , j 满足 ( 2 j ? i ) ? i ,则 i , j 夹角为 A.
?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

2? 3

3.已知 tan ? ? 2 ,则 A. ? 3

co s 2 ? (sin ? ? co s ? )
2

的值为 C. ? 2 D. 2

B. 3
x
2

4. ? 2 ? m ? 1 ”是方程 “ A. 充分必要条件

m?2

?

y

2

1? m

? 1 表示椭圆的

B. 充分但不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

C. 必要但不充分条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 5.已知变量 x、y 满足条件 ? 3 x ? 5 y ? 2 5 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? 1 ?

A. ? 2

B. 3

C. 7

D. 12

6.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是定义域为 R 的偶函数,且在 [1, ?? ) 上单调递增,则不等式
f ( 2 x ? 1) ? f ( x ? 2 ) 的解集为

A. { x | x ? 3} C. { x | ?
1 3 ? x ? 3}

B. { x | D. { x |

1 2 1 3

? x ? 3} ? x ? 3}

7.由曲线 x ? y ? | x | ? | y | 围成的图形的面积等于
2 2

A. ? ? 2

B. ? ? 2
ab

C. 2 ?
4 a ? 9b

D. 4 ?

8.已知正实数 a、b 满足 a ? b ? 1 ,则 A.
1 23

的最大值为 C.
1 25

B.
x a
2 2

1 24

D.

1 26

9.已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的右支上存在一点 P,使得点 P 到双曲线右焦点的距

离等于它到双曲线左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1, 2 ] B. [ 2 , ? ? )
3

C. (1, 2 ? 1]

D. [ 2 ? 1, ? ? )

10.若函数 f ( x ) ? ( a ? 3) x ? a x 在区间 [ ? 1,1] 上的最小值等于 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 A. ( ? 2, ? ? ) B. [ ?
3 2 ,1 2 ]

C. [ ?

3 2

,1 3)

D. ( ? 2,12]

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.函数 y ?
x ?1 x ?1

的反函数的解析式为


?

12.数列 { a n } 满足: a 1 ? 0 , a n ? 1 ? a n ? n ( n ? N ) ,则数列 { a n } 的通项 a n ? 13.经过原点 O 且与函数 f ( x ) ? ln x 的图像相切的直线方程为 14.若 co s(? ?
?
3 )? 1 3





,则 co s( 2 ? ?

?
3

)?
2



15.直线 l : 3 x ? y ?

3 ? 0 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A、B 两点,与 x 轴相交于点 F,若

???? ??? ? ??? ? ? O F ? ? O A ? ? O B ( ? ? ? ) ,则 ?

?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设 ? A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 A ? (Ⅰ)角 B 的值; (Ⅱ)函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos(2 x ? B ) 在区间 [0,
?
2 ] 上的最大值及对应的 x 值. 2? 3 , a ? 2 b co s C ,求:

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知平面上的两个定点 O (0, 0 ) , A (0, 3) ,动点 M 满足 | A M | ? 2 | O M | . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若经过点 A ( 3 , 2 ) 的直线 l 被动点 M 的轨迹 E 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知函数 f ( x ) ? e
2x

? ae ? x , x ? R .
x

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, ln 2) 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. )
3 设数列 { a n } 的首项 a1 ? 1 , 其前 n 项和 S n 满足: tS n ? (2 t ? 3) S n ?1 ? 3 t ( t ? 0, n ? 2, 3, ? ) .

(Ⅰ)求证:数列 { a n } 为等比数列; (Ⅱ)记 { a n } 的公比为 f ( t ) ,作数列 {b n } ,使 b1 ? 1 , b n ? f (
b1b 2 ? b 2 b3 ? b3 b 4 ? b 4 b5 ? ? ? b 2 n ?1b 2 n ? b 2 n b 2 n ? 1 .
1 b n ?1 ) ( n ? 2, 3, ? ) ,求和:

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知定义域为 (0, ?? ) 的单调函数 f ( x ) 满足:f ( m ) ? f ( n ) ? f ( m ? n ) 对任意 m , n ? ( 0 , ? ? ) 均 成立. (Ⅰ)求 f (1) 的值;若 f ( a ) ? 1 ,求 f ( ) 的值;
a 1

(Ⅱ)若关于 x 的方程 2 f ( x ? 1) ? f ( kx ) 有且仅有一个根,求实数 k 的取值集合.

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分. ) 直线
x a ? y b ? 0 称为椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的 “ 特 征 直 线 ” 若 椭 圆 的 离 心 率 ,

e?

3 2



(Ⅰ)求椭圆的“特征直线”方程; (Ⅱ)过椭圆 C 上一点 M ( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? 0 ) 作圆 x ? y ? b 的切线,切点为 P、Q,直线 PQ
2 2 2

与椭圆的“特征直线”相交于点 E 、 F , O 为坐标原点,若 O E ? O F 取值范围恰为
( ? ? , ? 3) ? [ 3 16 , ? ? ) ,求椭圆 C 的方程.

??? ???? ?

重庆八中 2010—2011 学年度(上)高三年级第五次考试 数学(理科)参考答案
一、选择题: 1 B 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C 9 C
3

10 B

提示:10.因为 f (1) ? ? 3 ,所以只需 ( a ? 3) x ? a x ? ? 3 对 x ? [ ? 1,1] 恒成立. 由 ( a ? 3) x ? a x ? 3 ? 0 ,得: ax (1 ? x ) ? 3(1 ? x ) ? 0 ,因为 x ? [ ? 1,1] ,所以 1 ? x ? 0 ,
3 2

ax (1 ? x ) ? ? 3 ,当 x ? ? 1 或 x ? 0 时,不等式显然恒成立,当 ? 1 ? x ? 0 时, a ?

?3 x (1 ? x )



成立,即 a ? 1 2 ;当 0 ? x ? 1 时, a ?

?3 x (1 ? x )

恒成立,即 a ? ?

3 2

,综上, ?

3 2

? a ? 12 .

二、填空题: 11. y ?
1? x 1? x

12.

n ( n ? 1) 2

13. y ?

1 e

x

14.
?
3

7 9

15.

1 3

提示:15.易知直线 l 经过抛物线的焦点,且倾斜角为

,如图,过点 A

作准线 x ? ? 1 的垂线,垂足为 M,过 F 作直线 AM 的垂线,垂足为 P,则 在 ? A P F 中, | A P |? | A F | co s ? F A P ?
1 2 | A F | ,又 4 3

y M O P F B A x

| A P |? | A M | ? | M P |? | A F | ? 2 ,所以 | A F |? 4 ,同理可得 | B F | ?

从而 A F ? 3 F B ,即 O F ? O A ? 3( O B ? O F ) , O F ? 故? ?
1 4 ,? ? 3 4

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

????

? ? 1 ??? 3 ??? OA ? OB , 4 4



? ?

?

1 3



三、解答题: 16. (Ⅰ)由 2 a ? b cos C ,得 sin A ? 2 sin B cos C ∵ A ? ? ? (B ? C )

…………………………………………2 分

∴ sin( B ? C ) ? 2 sin B cos C ,整理得 sin( B ? C ) ? 0 ……………4 分 又由 A ?
3 2

∵ B、 C 是 ? A B C 的内角,∴ B ? C
?
6

2? 3

,∴ B ?

?
6

…………………………. 6 分
?
6

(Ⅱ) f ( x ) ? sin 2 x ? co s( 2 x ? 由0 ? x ? ∴ y m ax ?
?
2

)?

sin 2 x ?

3 2

co s 2 x ?

3 sin ( 2 x ?

) ……………9 分

,得

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

……………………………………………………………11 分
?
6

3 ,此时 2 x ?

?
6

?

?
2

,x ?

……………………………………………………13 分

17. (Ⅰ)设 M ( x , y ) ,由条件 | A M |? 2 | O M | 得: x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y ,………3 分
2 2 2 2

化简整理,得: x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,即 x ? ( y ? 1) ? 4
2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)设圆 x ? ( y ? 1) ? 4 的圆心 E 到直线 l 的距离为 d,则 d ?

……………………………6 分
2 ?1 ?
2 2

3

若直线 l 的斜率存在,设其为 k,则 l : y ? 2 ? k ( x ?

3 ) ,即 kx ? y ? 2 ?

3k ? 0

?

|3?
2

3k |

k ?1

?

3 ,解得 k ?

3 3

,从而 l : x ?

3y ?

3 ?0

……………………………10 分

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 综上,直线 l 的方程为 x ?
3 或x?

3 ,易验证知满足条件

3y ?

3 ? 0 …………………………………………13 分

2x x 18. f ? ( x ) ? 2 e ? a e ? 1

2x 2x x x (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ? ( x ) ? 2 e ? 3 e ? 1 ? (2 e ? 1)( e ? 1)

令 f ? ( x ) ? 0 ,得

1 2

? e ? 1 , ? ln 2 ? x ? 0
x

x 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 e ?

1 2

或 e ? 1 , x ? ? ln 2 或 x ? 0
x

∴ f ( x ) 在 ( ? ? , ? ln 2 ) , (0, ? ? ) 上递增,在 (ln 2, 0) 上递减. 从而, f ( x ) 极 大 值 ? f ( ? ln 2 ) ? ?
5 4 ? ln 2 , f ( x ) 极 小 值 ? f (0 ) ? ? 2 …….………………....6 分 1 e
x
x

x 2x x (Ⅱ)令 f ?( x ) ? 2 e ? ae ? 1 ? 0 , x ? (0, ln 2) ,即 a ? 2 e ?

对任意 x ? (0, ln 2) 恒

成立,令 t ? e , t ? (1, 2) ,又令 h ( t ) ? 2 t ? ,易知 h ( t ) 在 (1, 2) 上为增函数
t
? h ( t ) ? 3 ,故 a ? 3

1

……………………….………………………....13 分
2t ? 3 3t ? a2 a1

19. (Ⅰ)由 S 1 ? a1 ? 1 , S 2 ? 1 ? a 2 ,得 3 t (1 ? a 2 ) ? (2 t ? 3) ? 3 t ,? a 2 ? 又 3 tS n ? (2 t ? 3) S n ?1 ? 3 t , 3 tS n ?1 ? (2 t ? 3) S n ? 2 ? 3 t
3 ta n ? (2 t ? 3) a n ?1 ? 0 ,?
an a n ?1 ? 2t ? 3 3t

……..…2 分

( n ? 3, 4, ? ) 两式相减,得:

( n ? 3, 4, ? )

综上,数列 { a n } 为首项为 1,公比为 (Ⅱ)由 f ( t ) ?
2t ? 3 3t ? 2 3 ? 1 t

2t ? 3 3t

的等比数列
1 b n ?1 )? 2 3

…………………………..…….5 分
2 3

,得 b n ? f (

? b n ? 1 ,所以 {b n } 是首项为 1, ,公差为

的等差数列, b n ?

2n ? 1 3

……………………………….…………………………....9 分

b1b 2 ? b 2 b3 ? b3 b 4 ? b 4 b5 ? ? ? b 2 n ?1b 2 n ? b 2 n b 2 n ? 1

? ( b1 ? b3 ) b 2 ? ( b3 ? b5 ) b 4 ? ? ? ( b 2 n ?1 ? b 2 n ?1 ) b 2 n ? ?

4 3

( b2 ? b4 ? ? ? b2 n )

? ?

4 n 5 4n ? 1 4 2 ? ( ? ) ? ? (2 n ? 3n) 3 2 3 3 9

……………………….………………………....13 分

20. (Ⅰ)令 m ? n ? 1 ,解得 f (1) ? 0 又令 m ? a , n ?
1 a

…………………………………………………2 分 …………………………………………………5 分
2

,解得 f ( ) ? ? 1
a
2

1

(Ⅱ) m ? n , 2 f ( n ) ? f ( n ) , 令 得: 所求方程等价于 f [( x ? 1) ] ? f ( kx ) , f ( x ) 是 (0, ? ? ) 又
? ( x ? 1) 2 ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 ? ? 上的单调函数,所以原方程可化为 ? x ? 1 ? 0 ,即 ? x ? ? 1 ? kx ? 0 ? kx ? 0 ? ?
2

….…………8 分

若k ? 0 , 则原问题为方程 x ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 在 (0, ? ? ) 上有一个根, 设其两根为 x1 , x 2 , 则 ? ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0 ,又注意到 x1 x 2 ? 1 ? 0 ,? 只可能是二重正根,由 ? ? 0 解得 k ? 4 或
2

k ? 0 (矛盾,舍去)

若 k ? 0 ,则原问题为方程 x ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 在 ( ? 1, 0) 上有一个根,仍有 x1 x 2 ? 1 ? 0 ,
2

记 g ( x ) ? x ? (2 ? k ) x ? 1 ,易知 g (0) ? 1 ? 0 ,由根的分布原理,只需 g ( ? 1) ? 0, 即 k ? 0 ,
2

综上, k ? ( ? ? , 0 ) ? ? 4 ? ………………………………………………………………………….12 分

2 2 2 21.(Ⅰ) c ? a ?b c( ? 0) , 设 则由 e ?

c a

?

3 2

, 得

c a

2 2

?

a ?b
2 2

a

2

?

3 4

? ,

b a

?

1 2

, a ? 2b

椭圆的“特征直线”方程为: x ? 2 y ? 0
2

…………………………………………………….3 分

(Ⅱ)直线 PQ 的方程为 x 0 x ? y 0 y ? b (过程略) ………………………………………….5 分 设 E ( x1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 )
2 2 ? x0 x ? y0 y ? b 2 b b y1 ? y2 ? 联立 ? ,解得 ,同理 …………………………….7 分 y0 ? 2 x0 y0 ? 2 x0 ?x ? 2y ? 0

??? ???? ? O E ? O F ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ? 3 y 1 y 2 ?

3b
2

4 2

4 x0 ? y0

,? M ( x 0 , y 0 ) 是椭圆上的点,?

x0 4b

2 2

?

y0 b

2

2

?1

??? ???? ? 从而 O E ? O F ?

3b
2

4 2

4 x0 ? y0

?

3b 17 4
2

4

…………………………………………………….10 分
2

x0 ? b

? 0 ? x0 ? 4b
2

2

? ?b ?
2

17 4

x0 ? b ? 1 6b
2 2

2

??? ???? 3 b 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? O E ? O F? 3 或OE ?OF ? ? b 16

由条件,得 b ? 1 ,故椭圆 C 的方程为
2

x

2

? y ? 1 …………………………………………12 分
2

4


赞助商链接
相关文章:
重庆八中2017-2018学年度(上)期末九年级数学试题(含答案)
重庆八中 2017-2018 学年度(上)期末考试初三年级 数学试题(全卷共五个大题,满分 150 分,考试时间 120 分钟) 2018 年 1 月 注意事项:1.试题的答案书写在...
重庆八中2016-2017学年度下期末考试七年级数学试题_图文
重庆八中2016-2017学年度下期末考试年级数学试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。重庆八中2016-2017学年度下期末考试年级数学试题 ...
重庆八中2015-2016学年度八年级数学上学期期末测试题_图文
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档重庆八中2015-2016学年度年级数学上学期期末测试题_初二理化生_理化生_初中教育_教育专区。重庆八中 2015-2016 学年度年级...
重庆八中2012届高三数学上学期第六次月考试题 理(无答...
重庆八中2012届高三数学上学期第六次月考试题 理(无答案)新人教A版 - 2011重庆八中高三年级第六次月考理科数学试题 一、选择题本大题共 10 小题,每小题...
重庆八中2014-2015学年度(上)半期考试高一年级数学试题...
重庆八中2014-2015学年度(上)半期考试高一年级数学试题及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。重庆八中数学半期考试重庆八中 2014-2015 学年度(上)半期考试...
...2017学年度(上)期末考试初三年级数学试题(Word版)含...
重庆八中2016—2017学年度(上)期末考试初三年级数学试题(Word版)含答案 - 重庆八中 2016—2017 学年度(上)期末考试初三年级 数学试题一、选择题:(本大题共 12 ...
重庆八中2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题...
最新2017-2018学期各类名校试题下载!2018届高三名校考试试题,欢迎下载!希望对老师...重庆八中 2017—2018 学年度(下)高一年级半期考试 数学试题(理科) 第Ⅰ卷 60...
重庆八中2010-2011学年高一数学下学期期末考试试题 2
重庆八中2010-2011学年高一数学下学期期末考试试题 2 - 高一年级数学试题 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中...
重庆八中2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题
重庆八中2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题 - www.zgxzw.com 中国校长网 重庆八中 2010——2011 学年度(下)期末考试高一年级 数学试题 命题:曾...
重庆八中2017届高三第六次月考(数学理)(含答案)word版
重庆八中2017届高三第六次月考(数学理)(含答案)word版 - 重庆八中 2017 届高三第六次月考 数学(理科)试题 第I卷 选择题 一、选择题:(本大题共 10 小题...
更多相关文章: