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求复合函数定义域的题型与思路


求复合函数定义域的题型与思路
有关复合函数问题是近几年高考试题的重点题型之一,也是难点之一,其中求复合函数 的定义域问题一直困扰着同学们。 本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析, 旨在 帮助大家轻松解题。 一. 已知 f (x) 的定义域,求 f? ( ) 的定义域 gx? 用,作用范围不变,所以 gx D ( )? ,解得 x E 为 fgx?的定义域。 ? ,E ?() 思路:设函数 f (x) 的定义域为 D,即 x D ? ,所以 f 的作用范围为 D,又 f 对 g(x) 作

例 1. 设函数 f (u) 的定义域为(0,1) ,则函数 f (lnx)的定义域为_____________。 解析:函数 f (u) 的定义域为(0,1) 即 u ( ,,所以 f 的作用范围为(0,1) ? 1 0 ) 又 f 对 lnx 作用,作用范围不变 所以 0l x1 ? ? n 解得 x ( , ? e 1 ) 故函数 f (lnx)的定义域为(1,e)

例 2. 若函数 f (x )?

1 x? ,则函数 f?f( ) 的定义域为______________。 x?1 1 ?1 ,知 x ? x?1

)? 解析:先求 f 的作用范围,由 f (x

xR 1 f 对 f(x)作用 ??? x 即 f 的作用范围为 ? | ? ,又
所以 fx R ( ? ( ? fx ? ) 且 1 )

x? 即 f?f( ) 中 x 应满足 ?
? x ? ?1 ? 即? 1 ? x ? 1 ? ?1 ?
解得 x ? x ? ?1 ?2 且

?x ? ?1 ? f (x) ? ?1

?? ? R1 ? x 且 x? 故函数 f?f( ) 的定义域为 x | ? x 2
gx? 二. 已知 f? ( ) 的定义域,求 f (x) 的定义域

?

?

( )? ,所以 f 的作用范围为 E, ? ,由此得 gx E gx? 思路:设 f? ( ) 的定义域为 D,即 x D

又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x? , 为 f (x) 的定义域。 E E

? ? ?, ?, ? ? 解析: f( ? x 的定义域为 ? 1 2 ,即 x ? 1 2 3 2) ? ?? ? 2 ? , 由此得 3 x?15 ?, 所以 f 的作用范围为 ? 1 5 ? ?, ? ? 又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ? 1 5 ?, 即函数 f (x) 的定义域为 ? 1 5 ?
例 4. 已知 f( ? )?g 2 x 4 l
2

?1 ,则函数 f (x) 的定义域为_________。 , 例 3. 已知 f( ? x 的定义域为 x ? 2 3 2)

2 x ,则函数 f (x) 的定义域为______________。 x? 8 2 2 x x2 ?0 ,知 2 x? 8 x ?8

x 4 l 解析:先求 f 的作用范围,由 f( ? )?g 2
解得 x ? ? 4 4
2

f 的作用范围为 ( , ?,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以 x ( , ) 4 ? ) ? ? 4 ? 即 f (x) 的定义域为 ( , ? 4 ? ) 三. 已知 f? ( ) 的定义域,求 f? ( ) 的定义域 gx? hx?

hx? f 对 h( x) 作用,作用范围不变,所以 hx E ? ,F ( )? ,解得 x F 为 f? ( ) 的定义域。
x

思路:设 f? ( ) 的定义域为 D,即 x D gx? ( )? , ? ,由此得 gx E f 的作用范围为 E,又

1 1 例 5. 若函数 f (2 ) 的定义域为 ?, ,则 f(o 2x 的定义域为______________。 lg ) 1 1 ?1 ,由此得 2x ? , ? , 解析: f (2 ) 的定义域为 ?, ,即 x ? 1 ?2 2
x

?

?

?

?

?

?

?1 ?

? ?

?1 ? f 的作用范围为 ? , 2 ? ?2 ?
又 f 对 lo 2 x作用,所以 log 2 x ? ? , 2 ? g 2

?1 ?

? ?

?2 4 , 解得 x
lg ) 即 f(o 2x 的定义域为

?

?

4 ? 2,?

评注:函数定义域是自变量 x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围 是 f 的作用范围,f 的作用对象可以变,但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义 域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。


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