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专题7 函数的概念与性质专题练习

专题七 一.选择题

函数的概念与性质专题练习

1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是(

)

A.f(x)=sinx

B.f(x)= -

C.f(x)=

D.f(x)=

2.函数

,若 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为(

)

A.1

B.-

C.1, -

D.1,

3.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且 f(2)=0,则使 f(x)<0 的 x 的取值 范围是( ) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-2,2) A.(-∞,2)

4.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x>0 时 f(x)=

,则当 x<-2 时,f(x)=(

)

A.-

B.

C.-

D.-

5.已知 y=f(x)是 R 上的减函数,且 y=f(x)的图象经过点 A(0,1)和点 B(3,-1),则不等式 <1 的解集为 ( ) A.(-1,2) B.(0,3) C.(-∞,-2) D.(-∞,3)

6. 已知 f(x) 是定义在 R 上的单调函数 , 实数



,

≠ - 1,

=

,

.若 A. <0 B. =0 C.0<

,则( <1

) D. ≥1

7. 若函数 f(x)= ( )

(a>0,a≠1) 在区间 ( -

,0) 内单调递增 , 则 a 的取值范围是

A.[-

,1)

B.[

,1)

C.(

,+∞)

D.(1,

)

8.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x)+f(x-1)=1,当 x∈[0,1]时,f(x)= ①f(x)是周期函数,且周期为 2; ②当 x∈[1,2]时,f(x)=2x- ③f(x)为偶函数; ;

现有 4 个命题:

④f(-2005.5)=

. ) C.3 D.4

其中正确命题的个数是( A.1 二.填空题. 1. 若 函 数 a= f(x)= . B.2

(a≠0) 的 图 象 关 于 直 线

x=2

对 称 , 则

2. 已 知 函 数 y=f(x) 的 反 函 数 为 y=g(x), 若 f(3)= - 1, 则 函 数 y=g(x - 1) 的 图 象 必 经 过 点 . 3. 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 对 一 切 实 数 x 都 有 f[f(x)]=x, 则 函 数 f(x) 图 象 的 自 身 关 于 对称. 4. 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f(x+3)=1 - f(x), 又 当 x ∈ (0,1] 时 ,f(x)=2x, 则 f(17.5)= 三.解答题. 1.设函数 f(x)= ,求使 f(x)≥2 的 x 的取值范围. .

2.已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的解析式;

(a,b 为常数),且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为

=3,

=4.

(2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f(x)<

.

3.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,若不等式 f(1-ax- 数 a 的取值范围.

)<f(2-a)对任意 x∈[0,1]都成立,求实

4.已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 (1)证明:f(x)的图象关于点(0,-2)对称.

,

满足关系 f(

+

)=f(

)+f(

)+2.

(2)若 x>0,则有 f(x)>-2,求证:f(x)在 R 上为增函数.

(3)若数列 . 答案与解析: 一.选择题. 1.选 D.

满足

=-

,且对任意 n∈N﹡有

=f(n),试求数列

的前 n 项和

分析:这里 f(x)为奇函数,由此否定 B.C; 又 f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定 A.故应选 D. 2.选 C. 分析:注意到这里 a 的可能取值至多有 3 个,故运用代值验证的方法. 当 a=1 时,由 f(1)+f(a)=2 得 f(1)=1; 由 f(x)的表达式得 f(1)= =1,故 a=1 是所求的一个解,由此否定 B.

当 a=-

时,由 f(x)的表达式得 f(-

)=sin

=1,

又 f(1)=1,故 f(1)+f(- 本题应选 C. 3.选 D.

)=2,a=-

是所求的一个解,由此否定 A.D.

分析:由 f(x)在(-∞,0)上是减函数,且 f(x)为偶函数得 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(-∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增. 又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0 ∴f(x)在(-∞,-2]上总有 f(x)≥f(-2)=0, f(x)在[2,+∞)上总有 f(x)≥f(2)=0 ∴由①②知使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-2,2),应选 D. 4.选 C. 分析:由 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称得 ① ②

f(x)=f(-2-x) ∴当 x<-2 时, -2-x>0



∴再由已知得

f(-2-x)=



于是由①②得当 x<-2 时 f(x)=

,

即 f(x)= - 应选 C. 5.选 A.

.

分析:由已知条件得 f(0)=1,f(3)=-1, ∴ 又 f(x)在 R 上为减函数. ∴由(※)得 故应选 A. 6.选 A. 分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值. 当 当 =0 时, =1 时, = = , ,f( = )=f( ,则 ),则 分划定点 , ,由此否定 B, ,由此否定 D; 所成线段的定比分点(内分 0<x+1<3 -1<x<2 ( ※)

当 0<

<1 时 ,

是数轴上以

点),

是数轴上以

>1 分划上述线段的定比分点(内分点),

∴此时 又 f(x)在 R 上递减, ∴ 因而应选 A. 7.选 B. 分析:令 u=g(x)= ,y=f(x) 由此否定 C.

则 y=

由题意知

当 x∈(-

,0)时,u>0

注意到 g(0),故 u=g(x)在(-

,0)上为减函数.



又 y=f(x)在(- ∴y= ∴0<a<1

,0)上为增函数,

在 u 的相应区间上为减函数.

再由①得 u'=g'(x)=

在( -

,0)上满足 u'≤0



而 u'=

在(-

,0)上为减函数,且是 R 上的连续函数.



∴由②③得 u'(-

)≤0



-a≤0,即 a≥



于是由①,④得 应选 B.

≤a<1

点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数 的单调性之间的联系(同增异减)初步确定 a 的取值范围 0<a<1.但是,由于 u= 为 x 的三次

函数, u'为 x 的二次函数.故还要从 u'在(-

,0)上的符号入手进一步确认 a 的正确的范围.”

粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略. 8.选 B. 分析:从认知 f(x)的性质入手,由 f(x)+f(x-1)=1 得 f(x-1)=1-f(x) ∴f(x-2)=1-f(x-1) ∴由(※),(※※)得 f(x)=f(x-2) (※) (※※)

∴f(x)为周期函数,且 2 是 f(x)的一个周期. (1)由上述推理可知 ① 正确. (2)当 x∈[1,2]时,有 x-1∈[0,1]. ∴由题设得 f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1) 由此可知 ② 正确 =2x-x ,

(3)由已知条件以及结果 ① 、 ② 得

,

又 f(

)=

,

∴f(

)≠f(-

)

∴f(x)不是偶函数即③不正确;

(4)由已知条件与 f(x)的周期性得 f(-2005.5)=f(-2005.5+2× 1003)= f( 故④不正确. 于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选 B. 二.填空题.

)=

1.答案:

.

分析:由题设知 f(0)=f(4)(a≠0), ∴ 0< =1(a≠0) (a≠0)

4a-1=1 或 4a-1=-1(a≠0)

a=

即所求 a=

.

2.答案: (0,3) 分析:f(3)=-1 g(-1)=3 g(0-1)=3 y=g(x)的图象经过点(0,3). 3.答案:直线 y=x y=f(x)的图象经过点(3,-1) y=g(x)的图象经过点(-1,3)

分析: 根据函数的定义,设 x 为 ① 又由已知得 f[f(x )]=f(y y , 即 y =

为 f(x)定义域内的任意一个值,则 f(x f(x ), 则 有 x =

)为其相应的函数值,即 ( y )

)= x (x)为同一函数,



∴由①②知 f(x)与其反函数

∴函数 f(x)的图象自身关于直线 y=x 对称. 4.答案:1 分析: 从认知 f(x)的性质切入 已知 f(x+3)=1-f(x) 以-x 代替①中的 x 得 f(-x+3)=1-f(-x) 又 f(x)为偶函数 ∴f(-x)=f(x) ∴由②③得 ∴由①④得 f(-x+3)=1-f(x) f(3+x)=f(3-x) ③ ④ ② ①

f(x)图象关于直线 x=3 对称 f(-x)=f(6+x) ∴由③得 f(x)=f(6+x) 即 f(x)是周期函数,且 6 是 f(x)的一个周期. 于是由③⑤及另一已知条件得 f(17.5)=f(17.5-3× 6) =f(-0.5) =f(0.5) =2× 0.5 =1 三.解答题. 1. 分析:注意到 f(x)为复合的指数函数,故考虑令 u= 所给不等式转化为关于 u 的不等式解. 解:令 u= 则 y=2 , y=f(x), 为 u 的指数函数. ,而后利用指数函数的性质将 ⑤

∴f(x)≥

2



2



u≥



∴f(x) ≥





(1)当 x≥1 时,不等式②

(x+1)-(x-1) ≥

2≥

成立.

(2)当-1≤x<1 时,由②得,(x+1)-(1-x) ≥

x≥



≤x<1;

(3)当 x<-1 时,由②得-(x+1)-(1-x) ≥

即-2≥

不成立.

于是综合(1)(2)(3)得所求的 x 的取值范围为[

,1]∪[1,+∞),也就是[

,+∞)

点评:对于复合函数 y=f[p(x)],令 u=p(x),将其分解为 y=f(u),u=p(x). 于是所给问题转化为内层函数 u=p(x)的问题或转化为外层函数 y=f(u)的问题.这种分解----转 化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略. 2. 分析:注意到 f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此 类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序 :移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等 等. 解:

(1)将

=3,

=4 分别代入方程



由此解得

∴f(x)=

(x≠2).

(2)原不等式

<



<0

<0

<0 (x-2)(x-1)(x-k)>0 注意到这里 k>1, (ⅰ)当 1<k<2 时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞); (ⅱ)当 k=2 时,原不等式 (2,+∞); 于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得 当 1<k≤2 时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞); 当 k>2 时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞); 点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x-2)(x-1)(x-k)>0 快捷准确.此外,在分式不等式转化 为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2 的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合 并,以最少情形的结论给出最佳答案. 3. 分析:所给不等式含有抽象的函数符号 f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为 普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法. 解: ∵f(x)是 R 上的增函数. ∴不等式 f(1-ax- 不等式 1-ax- +ax-a+1>0 )<f(2-a) 对任意 x∈[0,1]都成立. <2-a 对任意 x∈[0,1]都成立 ① (x-2)2(x-1)>0 x>1 且 x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪

(ⅲ)当 k>2 时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);

对任意 x∈[0,1]都成立

解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)

令 g(x)= 则①式

+ax-a+1, g(x)>0 对任意 x∈[0,1]都成立. ②

g(x)在区间[0,1]上的最小值大于 0.

注意到 g(x)图象的对称轴为 x=-

(1)当-

≤0 即 a≥0 时, -a+1>0 a<1,即 0≤a<1;

由②得 g(0)>0

(2)当 0<-

≤1 时,即-2≤a<0 时,

由②得

g(- <8

)>0

1-a-

>0

+4a-4<0

当-2≤a<0 时,这一不等式也能成立.

(3)当-

>1 即 a<-2 时.

由②得 g(1)>0 2>0 即当 a<-2 时,不等式成立. 于是综合(1)(2)(3)得所求实数 a 的取值范围为[0,1)∪[-2,0]∪(-∞,-2), 即 (-∞,1). 解法二: (以△的取值为主线展开讨论) 对于二次三项式 g(x)= 其判别式△= = △<0 - +4a-4 <8 -2<a< -2 -2<a< -2; +4(a-1) +ax-a+1,

(1)当△<0 时,g(x)>0 对任意 x∈[0,1]都成立,此时- (2)当△≥0 时,由 g(x)>0 对任意 x∈[0,1]都成立得

-2≤a<1

或 a≤-

-2. -2, -2)∪[ -2,1)∪(-∞, -

于是由(1)(2)得所求 a 的取值范围为(- -2] 即 (-∞,1).

点评:解法一归统为最值问题,以 g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面 g(x)>0 在 x∈[0,1]上成立,以 g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题 的主要策略. 以× × 为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障. 4. 分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入: 在已知恒等式中令 = =0 得 f(0)=-2.

为利用 f(0)=-2,寻觅 f(x)的关系式,又在已知恒等式中 令 =x, =-x 得

f(0)=f(x)+f(-x)+2 故得 f(x)+f(-x)=-4 证明(1),由此式展开. 对于(2)面对抽象的函数 f(x),则只能运用定义; 对于(3),这里 an=f(n),an+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{an}的递推式或通项公式,便称 为问题突破的关键. 解: (1)证明:在已知恒等式中令 又已知恒等式中令 =x, = =0 得 f(0)=-2 ①

=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x)+2

∴f(x)+f(-x)=-4 设 M(x,f(x))为 y=f(x)的图象上任意一点



则由②得 ∴由③知点 M(x,f(x))与 N(-x,f(-x))所成线段 MN 的中点坐标为(0,-2), ∴点 M 与点 N 关于定点(0,-2)对称. 于点(0,-2)对称. (2)证明:设 ∴由已知得 f( 注意到 =( , 为任意实数,且 - - )>-2 )+ f( )+2 )=f[( - )+ ] =f( - < ,则 - >0

③ ④

注意到点 M 在 y=f(x)图象上的任意性,又点 N 亦在 y=f(x)的图象上,故由④知 y=f(x)的图象关



由本题大前提中的恒等式得 ∴f( )-f( )=f ( - )-f( - )+2>0, )>0,即 f(

)+ f( ⑥

)+2

又由⑤知 f ( ∴由⑥得 f( (3)解: ∵an=f(n),

)>f(

).

于是由函数的单调性定义知,f(x)在 R 上为增函数.

∴a1=f(1)=-

,

an+1=f(n+1) =n, =1 得

又由已知恒等式中令 f(n+1)=f(n)+f(1)+2

∴an+1= an+

∴an+1-an=

(n∈N﹡)

由此可知,数列{ an }是首项为

=-

,公差为

的等差数列.



=-

n+

×



=

(n2-11n).

点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出 f(x)+f(-x)=-4; 对于(2)由此导出 f( )=f( )+f( - )+2;

对于(3)由此导出 f(n+1)=f(n)+f(1)+2

即 an+1-an=

.

面对具体问题,审时度势,适当赋值,充分利用题设的资源,充分体现恒等式,为题所设,为“我”所 用的酣畅慷慨.


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