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选修2-2 《导数及其应用》单元测试题


选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题
第Ⅰ卷(选择题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设函数 f(x)=xsinx 的导函数为 f ′(x),则 f ′(x)等于( A.xsinx+xcosx B.xcosx-xsinx C.sinx-xcosx ) ) D.sinx+xcosx 共 60 分)

2.曲线 y=4x-x3 在点(-1,-3)处的切线方程是( A.y=7x+4 B.y=x-4 C.y=7x+2

D.y=x-2 )

3 函数 f(x)=ex-x(e 为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( 1 A.1+

e

B.1

C.e+1

D.e-1 )

4.设曲线 y= A.-2

x+1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a=( x-1
1 2 C. 1 2 D.2

B.-

5.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾 斜角互补,则 a 的值为( A. 27 8 B.-2 C.2 ) D.- 27 8

6. 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导函数 y=f ′(x)的图象如图所 示,且 f(x)的极大值为 4,则 f(3)=( A.16 B.-2 C.0 D.8 ) 1 B.在区间( ,1),(1,e)内均无零点 )

1 7.设函数 f(x)= x-lnx,则 y=f(x)( 3 1 A.在区间( ,1),(1,e)内均有零点

e e e

e

1 C.在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 1 D.在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 8.若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的范围是( A.(-∞,7] B.(-∞,-20] C.(-∞,0] ) C.(0,+∞) D.(-3,1) D.[-12,7] )

9.函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,0) B.(-∞,-3)和(1,+∞)
1

10.曲线 f(x)=xlnx 在 x=e 处的切线方程为(其中 e 为自然对数的底数)( A.y=x B.y=x-e C.y=2x+e D.y=2x-e

)

3 11.函数 y=f(x)在定义域(- ,3)内的图象如图所示,记 y=f(x)的导函数为 y=f ′(x), 2 则不等式 f ′(x)≤0 的解集为( 1 4 8 A.[-1, ]∪[ , ] 2 3 3 3 1 C.(- , ]∪[1,2) 2 2 )

1 B.(- ,1]∪[2,3) 3 3 1 1 4 4 D.(- ,- ]∪[ , )∪[ ,3) 2 3 2 3 3

12.已知点 P 在曲线 y=x3- 3x 上移动,在点 P 处的切线倾斜角为 α ,则 α 的取值范围是 ( ) π A.[0, ] 2 B.[ 2π ,π ) 3 C.[0, π 2π )∪[ ,π ) 2 3 D.[0, π 5π )∪[ ,π ) 2 6

第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y=sin2x 的图象在点 P(

共 90 分)

π 1 , )处的切线的斜率是________. 6 4

14.函数 f ( x) = x ( x -1) ( x -2) ( x -3)在 x =0 处的导数值为________. 15.曲线 y=x3+x-2 在点 P 处的切线平行于直线 y=4x-1,则点 P 的坐标为________. 16.我们把形如 y=f(x)φ (x)的函数称为幂指函数,其中 f(x)>0,幂指函数在求导时,可以利 用对数法:在函数解析式两边取对数得 lny=lnf(x) φ ′(x)lnf(x)+φ (x)
φ (x)

=φ (x)lnf(x),两边对 x 求导数,得 φ

y′ = y

f f x

x

, 于是 y′=f(x)φ (x)[φ ′(x)lnf(x)+

x f f x

x

], 运用

此方法可以求得函数 y=xx(x>0)在(1,1)处的切线方程是___ 三、解答题(70 分) 17. (13 分)设函数 f(x)=x3+ax2-12x 的导函数为 f ′(x),若 f ′(x)的图象关于 y 轴对 称.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)的极值.

2

18. (13 分)已知函数 f(x)=alnx-

1

x

,a∈R.

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y=0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1,且 x≥2 时,证明:f(x-1)≤2x-5.

19. (14 分)已知 f(x)=ax-lnx,a∈R. (1)当 a=2 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 f(x)在 x=1 处有极值,求 f(x)的单调递增区间; (3)是否存在实数 a,使 f(x)在区间(0,e]上的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在, 说明理由.

3

1 20. (14 分)已知关于 x 的函数 f(x)=- x3+bx2+cx+bc. 3 4 (1)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值- ,试确定 b、c 的值; 3 (2)设当 x∈(0,1)时,函数 y=f(x)-c(x+b)图象上任一点 P 处的切线斜率为 k,若 k≤1,求 实数 b 的取值范围.

21. (16 分)已知函数 f(x)=ax2-2x+lnx. (1)若 f(x)无极值点,但其导函数 f ′(x)有零点,求 a 的值; 3 (2)若 f(x)有两个极值点,求 a 的取值范围,并证明 f(x)的极小值小于- . 2

4

选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试题答案 一 二 DDDAA CDBDD BC (1,0)或(-1,-4),

3 , -6 , 2

y=x

17 [解析]

(1)f ′(x)=3x2+2ax-12 为偶函数,∴a=0,∴f(x)=x3-12x.

(2)f ′(x)=3x2-12,由 f ′(x)>0 得 x<-2 或 x>2, 由 f ′(x)<0 得-2<x<2, ∴f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是增函数,在(-2,2)上是减函数,故极小值为 f(2)=- 16,极大值为 f(-2)=16. 18[解析]

a 1 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x>0},f ′(x)= + 2. x x

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y=0 垂直,所以 f ′(1)=a+1=2,即 a =1. (2)由 f ′(x)=

ax+1 . x2

当 a≥0 时,对于 x∈(0,+∞),有 f ′(x)>0 在定义域上恒成立,即 f(x)在(0,+∞)上是 增函数. 1 当 a<0 时,由 f ′(x)=0,得 x=- ∈(0,+∞).

a

1 当 x∈(0,- )时,f ′(x)>0,f(x)单调递增;

a

1 当 x∈(- ,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减.

a

(3)(理)当 a=1 时,f(x-1)=ln(x-1)- 令 g(x)=ln(x-1)- 1 -2x+5. x-1
2

1 ,x∈[2,+∞). x-1

g′(x)=

1 + x-1

1 x-

-2=-

x- x-

x-
2

.

当 x>2 时,g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)单调递减. 又 g(2)=0,所以 g(x)在(2,+∞)恒为负. 所以当 x∈[2,+∞)时,g(x)≤0. 即 ln(x-1)- 1 -2x+5≤0. x-1
5

故当 a=1,且 x≥2 时,f(x-1)≤2x-5 成立. 19[解析]

f(x)的定义域为(0,+∞). x

1 因为 f(x)=ax-lnx,所以 f ′(x)=a- , 当 a=2 时,f(x)=2x-lnx,所以 f(1)=2, 1 1 因为 f ′(x)=2- ,所以 f ′(1)=2- =1, x 1 所以曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y-2=f ′(1)(x-1),即 x-y+1=0.
(2)因为 f(x)在 x=1 处有极值,所以 f ′(1)=0, 由(1)知 f ′(1)=a-1,所以 a=1, 经检验,a=1 时 f(x)在 x=1 处有极值. 1 所以 f(x)=x-lnx,令 f ′(x)=1- >0 解得 x>1 或 x<0;

x

因为 f(x)的定义域为(0,+∞),所以 f ′(x)>0 的解集为(1,+∞), 即 f(x)的单调递增区间(1,+∞). (3)假设存在实数 a,使 f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值 3, 1 ①当 a≤0 时,因为 x∈(0,e],所以 f ′(x)=a- <0,

x

所以 f(x)在(0,e]上单调递减,

f(x)min=f(e)=ae-1=3,a= ,舍去. e
1 1 1 ②当 0< <e 时,f(x)在(0, )上单调递减,在( ,e]上单调递增,

4

a

a

a

f(x)min=f( )=1+lna=3,a=e2,满足条件. a
1 ③当 ≥e 时,因为 x∈(0,e],所以 f ′(x)<0,

1

a

4 所以 f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a= ,舍去.

e

综上,存在常数 a=e2,使得当 x∈(0,e]时 f(x)有最小值 3 20 解析]

f ′(x)=-x2+2bx+c,

4 (1)因为函数 f(x)在 x=1 处有极值- , 3
6

?f 所以? ?f
?b=1 解得? ?c=-1

=-1+2b+c=0 1 4 =- +b+c+bc=- 3 3 ?b=-1 或? ?c=3 . ,

(ⅰ)当 b=1,c=-1 时,f ′(x)=-(x-1)2≤0, 所以 f(x)在 R 上单调递减,不存在极值. (ⅱ)当 b=-1,c=3 时,f ′(x)=-(x+3)(x-1),

x∈(-3,1)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(1,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减;
所以 f(x)在 x=1 处存在极大值,符合题意. 综上所述,满足条件的值为 b=-1,c=3. 1 (2)当 x∈(0,1)时,函数 y=f(x)-c(x+b)=- x3+bx2, 3 设图象上任意一点 P(x0,y0),则 k=y′|

x=x0

=-x2 0+2bx0,x0∈(0,1),

因为 k≤1,所以对任意 x0∈(0,1),-x2 0+2bx0≤1 恒成立, 所以对任意 x0∈(0,1),不等式 b≤ 设 g(x)=

x2 0+ 1 恒成立. 2x0

x2+1 1 1 = (x+ ),故 g(x)在区间(0,1)上单调递减, 2x 2 x

所以对任意 x0∈(0,1),g(x0)>g(1)=1,所以 b≤1. 21[解析] (1)f ′(x)=2ax-2+ = 1 2ax2-2x+1

x

x



f ′(x)有零点而 f(x)无极值点,表明在该零点左右 f ′(x)同号,故 a≠0,且方程 2ax2-2x
+1=0 中,Δ =0. 1 由此可得 a= . 2 (2)由题意,方程 2ax2-2x+1=0 有两不同的正根, 故 Δ >0,a>0. 1 解得:0<a< , 2 设 2ax2-2x+1=0 的两根为 x1,x2,不妨设 x1<x2,因为在区间(0,x1),(x2,+∞)上均有

f ′(x)>0,而在区间(x1,x2)上,f ′(x)<0,故 x2 是 f(x)的极小值点.
∴2ax2 2-2x2+1=0,
7

∴a=

2x2-1 1 1 ,由 0<a< 知 x2> 且 x2≠1, 2 2x2 2 2 2x2-1 ·x2 2-2x2+lnx2 2 2x2

∴f(x2)=ax2 2-2x2+lnx2=

1 1 =lnx2-x2- (x2> 且 x2≠1), 2 2 1 1 构造函数 φ (x)=lnx-x- (x> 且 x≠1), 2 2 1 1-x φ ′(x)= -1= ,

x

x

1 当 <x<1 时,φ ′(x)>0,当 x>1 时,φ ′(x)<0, 2 ∴φ (x)在 x=1 处取到极大值, 3 ∴φ (x)<φ (1)=- , 2 3 ∴f(x)的极小值 f(x2)<- . 2

8


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