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重庆八中高三入学摸底考试数学试题(文科)答案


重庆八中高 2012 级高三入学摸底考试 数学(文科)参考答案
一.选择题 1.教材 P117 练习 6 D 2.教材 P13 例 6 C 3.教材 P102,6 A 4.教材 P9,5 D 5.教材 P82,5 A 6.优化 P8,演 5 B 7.优化 P19,演 1 C 8.教材 P39,7 D 9.优化 P62 跟踪训练改 C 解: AP = AC + CP = AC +
→ → 1 → 1 2 → 1 → 1 → CR = AC + ( AB ? AC ) = AB + AC 2 2 3 3 2 ?a > 0, b > 0, c > 0 ?a > 0 ? ' 10.解: f (0) = 2b > 0 ,又 ? ? ? ac 2 ?? = 4b ? 4ac ≤ 0 ? b 2 ≥ 1 ? → → → →



1 f ( 2) 1 4a c 1 4ac = 2+ ( + ) ≥ 2+ ×2 ≥ 4 ,取 b = 1, a = , c = 2 两个等号均成 ' 2 2 b b 2 2 f ( 0) b

立。所以选 B. 二.填空题 11.教材 P52,7 12.优化 P11,例 4 13.教材 P137,例 3

2 14
-1

14.优化 P4,基 4 15.解:一个田字形对应 4 个 L 形,而不在边上的每个点对应一个田字形. 所以该图中共有 5 × 5 × 4 = 100 个 L 形. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分) 16.优化 P2 例 3 跟踪 解: (1)当 a = 2 时, A = (2,5) ? C R A = (?∞,2] U [5,+∞) 。。。 分 。。。2 。。。 分 。。。5

1 9 a≤3

B = [2,4]

1

所以 (C R A) I B = {2} (2) B = [ 2,4], A = ( a, a 2 + 1) 若 A I B = φ 则a +1 ≤ 2 或 a ≥ 4
2

。。。 分 。。。7 。。。 分 。。。9 。。。 。。。11 分 。。。 。。。13 分

所以 a 的取值范围为 ? 1 ≤ a ≤ 1 或 a ≥ 4 17.高调 P296 例 2 解:(1)每个食堂必须整改的概率是 1 ? 0.5 ,且它们是相互独立的。
1 所以恰有一个食堂必须整改的概率 P = C 4 0.5 4 = 0.25 ; 1

。。。 分 。。。5

(2)某食堂被关闭,即该食堂第一次检查不合格且整改后检查仍不合格,则某食堂被关 闭的概率为 P2 = (1 ? 0.5)(1 ? 0.8) = 0.1 所以至少关闭一个食堂的概率为 P3 = 1 ? 0.9 = 0.34
4

.。。。 分 。。。9 。。。 。。。13 分

18.资料第五节例 3 改 证明(1) PD ⊥ 面AC ? :

PD ⊥ AC ? ? ? AC ⊥ 面PBD ? 面AEC ⊥ 面PBD 。4 分 AC ⊥ BD ?

解(2) :如图建立空间直角坐标系,因为 PD = AB = 2 则 A 2, 0, 0), C (0, 2, 0), B (2, 2, 0), P (0, 0, 2) , ( 因为 E 是 PB 的中点,所以 E (1,1,1) 设 面ADE 的法向量为 m = ( x1 , y1 , z1 ) . 由 DA = (2, 0, 0), DE = (1,1,1) 得 ?

→ →


。。。 分 。。。6

→ ? x1 = 0 ? m = (0,1,?1) ? y1 + z1 = 0

。。。 分 。。。8

同理可得面 CDE 的法向量 n = (1,0,?1) 所以 cos m, n =
→ →

。。。 分 。。。9

→ →

1 2 2

=

→ → 1 π ? m, n = 2 3


又因为 AC ? m = 2 > 0, AC ? n = ?2 < 0



2

所以二面角 A ? DE ? C 的大小为


2π . 3


。。。 。。。11 分

点 A 到面 CDE 的距离为 d =

DA? n


= = 2

。。。 。。。13 分

n

19.优化 P164 课时 2 解:原不等式等价于 ? 当 a < 0 或时解集为 [ 当 a = 0 时解集为 φ 当 0 < a < 1 时解集为 ( 2, 当 a = 1 时解集为 ( 2,+∞) 当 a > 1 时解集为 ( ?∞,

?( x ? 2)[(a ? 1) x + 2 ? a ] ≥ 0 ?x ?2 ≠ 0
a?2 , 2) a ?1 a?2 ] a ?1

。。。。。。 分 。。。。。。2

。。。。。。。4 分 。。。。。。 。。。。。。 分 。。。。。。6 。。。。。。。8 分 。。。。。。 。。。。。。。 。。。。。。。10 分 。。。。。。。。12 分 。。。。。。。

a?2 ] U (2,+∞) a ?1

20.优化 P18 跟踪 1 改 解: (1)奇函数 f (x ) 在 x = 0 处有定义当且仅当 f (0) = 0 当 ? 1 ≤ x < 0 时 f ( x ) = ? f ( ? x ) = x 。即当 ? 1 ≤ x ≤ 1 时 f ( x ) = x 当 1 ≤ x ≤ 3 时,因为 f (x ) 关于直线 x = 1 对称,所以 f ( x ) = f ( 2 ? x ) = 2 ? x 所以 f ( x ) = ?

?1 ≤ x ≤ 1 ?x ?2 ? x 1 < x ≤ 3

。。。 分 。。。4

(2)因为 f ( x ) = ? f ( ? x ) = ? f ( 2 + x ) = f ( 4 + x ) ,即 f (x ) 是以 4 为周期的周期函数。

1 1 5 在一个周期 (?1,3] 上的解集为 [? , ] . 2 2 2 1 1 5 所以 f ( x ) ≥ ? 在全体定义域上的解集为 [ ? + 4k , + 4k ], k ∈ Z . 2 2 2
又 f ( x) ≥ ?
3

。。。 分 。。。8

(3)因为 f (x ) 的最大值和最小值分别为 1,?1 . 当 x = 100 时

1 1 x = 1 ,当 x = ?100 时 x = ?1 . 100 100

又因为 f (99) = f (103) = ?1, f (101) = 1 , f ( ?99) = 1, f ( ?97) = f (?101) = ?1 则 f ( x) =

1 x 分别在 [?200,0) 与 (0,200] 上各有 49 个根。又 f (0) = 0 100 1 所以 f ( x ) = x 在 [?200,200] 上有 99 个根. .。。。12 分 。。 100

21.优化 P161 跟 2 改 解: (1)当 a =

1 时, f ' ( x) = 2( x + 2)( x ? 1) 2 6

。。。 分 。。。2

则 f (x) 在 (?∞,?2) 上单减,在 (?2,+∞) 上单增. 所以当 x = ?2 时 f (x) 的极小值为 ? 12 . 。。。 分 。。。4

(2)法 1,令 f ' ( x) = 4( x ? 1)(3ax 2 + 3ax ? 1) = 0 。令 g ( x) = 3ax 2 + 3ax ? 1 当 a > 0 时 ? > 0 , g ( x) = 3ax 2 + 3ax ? 1 = 0 有两不等根 x1 < x 2 因为 x1 x 2 = ?

1 < 0, x1 + x 2 = ?1 3a
'

则 0 < x2 < 1 时 f

(x ) 在 (?1,1) 上有正有负, f ( x) 在 (?1,1) 上不单增。
1 6
。。。 分 。。。7

此时只需 g (1) > 0 ,即 a >

当 a = 0 时 f ( x) = ?2 x 2 + 4 x 在 x < 1 上单增,舍去 当?

4 ≤ a < 0 时 ? ≤ 0 则 g ( x) ≤ 0 ? f ' ( x) ≥ 0 在 x < 1 上恒成立, 3
。。。 分 。。。9

即 f ( x) 在 x < 1 上单增,舍去. 当a < ?

4 时 g ( x) = 3ax 2 + 3ax ? 1 = 0 有两不等根 x1 < x 2 3 1 因为 x1 x 2 = ? < 0, x1 + x 2 = ?1 ,即 x1 < ?1 < x 2 < 0 3a
4

则f

'

(x ) 在 (?1,1) 上有正有负, f (x) 在 (?1,1) 上不单增.
4 1 或a > . 3 6

.。。。 。。。11 分 。。。 。。。12 分

综上所述:满足条件的 a < ?

法 2:先求单增的取值范围再求其补集.(略) 法 3: f (x ) 在 (?1,1) 上不是增函数,即存在使得 f ' ( x ) = 4( x ? 1)(3ax 2 + 3ax ? 1) < 0

? 存在 ? 1 < x < 1 使得 g ( x) = 3ax 2 + 3ax ? 1 > 0
当 a = 0 时 g ( x ) = ?1 < 0 舍去 当 a > 0 时因为 g (x ) 的对称轴为 x = ? 所以只需 g (1) > 0 ,即 a >

。。。 6 分 。。。

1 且 g ( 0) = ? 1 , 2
。。。 分 。。。9

1 6 1 且 g ( 0) = ? 1 , 2

当 a < 0 时因为 g (x ) 的对称轴为 x = ? 所以只需 g ( ? ) > 0 ? a < ?

4 3 4 1 综上所述:满足条件的 a < ? 或 a > . 3 6

1 2

。。。 。。。11 分 。。。 。。。12 分

5


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