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2015-2016年四川省资阳市高二上期末数学试卷(文)含答案解析


2015-2016 学年四川省资阳市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 2 2 1.已知圆 C: (x﹣2) +(y+1) =4,则圆 C 的圆心和半径分别为( ) A. (2,1) ,4 B. (2,﹣1) ,2 C . (﹣2,1) ,2 D. (﹣2,﹣1) ,2 2.当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( 2 A.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m>0 2 B.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m≤0 2 C.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m>0 2 D.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 3.已知命题 p:?x>0,x >0,那么¬p 是( A.?x>0,x ≤0 B. C.?x<0,x ≤0 D.
3 3 3 * 2





4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.4π

B.3π

C.2π

D.π =3.5,则由该观测数据算得的线

5.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D.

=﹣0.3x+4.4

6.执行如图所示的程序框图,若输入 x 为 13,则输出 y 的值为(



A.10

B.5

C.4

D.2 )

7.在区间[0,3]上随机地取一个实数 x,则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为( A. B. C. D.

8.在班级的演讲比赛中,将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图.记甲、乙两名同学 所得分数的平均分分别为






,则下列判断正确的是(



A. C.

< 甲<


,甲比乙成绩稳定 B. 乙,乙比甲成绩稳定 D.




> 乙,甲比乙成绩稳定 甲> 乙,乙比甲成绩稳定 )

9.设 m,n 是空间两条直线,α,β 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( A.当 n⊥α 时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B.当 m?α 时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当 m?α 时,“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件 D.当 m?α 时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

10.已知表面积为 24π 的球体,其内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的高为 4,则 这个正四棱柱的侧面积为( ) A.32 B.36 C.48 D.64 11.已知命题 p:函数 f(x)=x ﹣2mx+4 在[2,+∞)上单调递增;命题 q:关于 x 的不等式 mx +2 (m﹣2) x+1>0 对任意 x∈R 恒成立. 若 p∨q 为真命题, p∧q 为假命题, 则实数 m 的取值范围为 ( ) A. (1,4) B.[﹣2,4] C. (﹣∞,1]∪(2,4) D. (﹣∞,1)∪(2,4) 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下结论: ①AC1⊥平面 A1BD;
2 2

②直线 AC1 与平面 A1BD 的交点为△ A1BD 的外心; ③若点 P 在△ A1BD 所在平面上运动,则三棱锥 P﹣B1CD1 的体积为定值. 其中,正确结论的个数是( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.根据如图所示的算法语句,当输入的 x 为 50 时,输出的 y 的值为



14.某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生 中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 . 15.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 2 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则 这 2 只球颜色不同的概率为 . 16.若直线 y=x+b 与曲线 y=3﹣ 有公共点,则 b 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.已知命题 p:x ﹣8x﹣20≤0,q:1﹣m≤x≤1+m(m>0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 18.已知圆 C 过点 A(1,4) ,B(3,2) ,且圆心在 x 轴上,求圆 C 的方程. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面 ABC 等边三角形,E,F 分别 是 BC,CC1 的中点.求证: (Ⅰ) EF∥平面 A1BC1; (Ⅱ) 平面 AEF⊥平面 BCC1B1.

20.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛,并抽取了 20 名学生的成绩进行分析,如图是这 20 名学生竞赛成绩(单位:分)的频率分布直方图,其分组为[100,110) ,[110,120) ,…,[130, 140) ,[140,150]. (Ⅰ) 求图中 a 的值及成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数; (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100,120)的学生中任选 2 名进行座谈,求此 2 人的成绩都在[110,120) 中的概率.

21.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=

,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,O

是 AC 与 BE 的交点.将△ ABE 沿 BE 折起到如图 2 中△ A1BE 的位置,得到四棱锥 A1﹣BCDE.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面 A1OC; (Ⅱ)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1﹣BCDE 的体积为 36
2 2 2

,求 a 的值.

22.已知直线 x+y+1=0 被圆 O:x +y =r (r>0)所截得的弦长为 . (Ⅰ) 求圆 O 的方程; (Ⅱ) 如图,圆 O 分别交 x 轴正、负半轴于点 A,B,交 y 轴正半轴于点 C,过点 C 的直线 l 交圆 O 于另一不同点 D(点 D 与点 A,B 不重合) ,且与 x 轴相交于点 P,直线 AD 与 BC 相交于点 Q, 求 的值.

2015-2016 学年四川省资阳市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 2 2 1.已知圆 C: (x﹣2) +(y+1) =4,则圆 C 的圆心和半径分别为( ) A. (2,1) ,4 B. (2,﹣1) ,2 C . (﹣2,1) ,2 D. (﹣2,﹣1) ,2 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;规律型;函数思想;直线与圆. 【分析】利用圆的标准方程,直接写出圆心与半径即可. 【解答】解:圆 C: (x﹣2) +(y+1) =4,则圆 C 的圆心和半径分别为: (2,﹣1) ,2. 故选:B. 【点评】本题考查圆的标准方程的应用,是基础题. 2.当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( 2 A.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m>0 2 B.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m≤0 2 C.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m>0 2 D.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.
* 2 * 2 2 2



【解答】解:由逆否命题的定义可知:当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否 2 命题是:若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0. 故选:D. 【点评】本题考查四种命题的逆否关系,考查基本知识的应用. 3.已知命题 p:?x>0,x >0,那么¬p 是( A.?x>0,x ≤0 B. C.?x<0,x ≤0 D. 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 3 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题 p:?x>0,x >0,那么¬p 是 . 故选:D. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题. 4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
3 3 3



A.4π B.3π C.2π D.π 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】由几何体的三视图得到几何体,然后求体积. 2 【解答】解:由已知得到几何体是底面直径为 2,高为 2 的圆柱,所以体积为 π×1 ×2=2π; 故选 C. 【点评】本题考查了几何体的三视图以及体积的计算;关键是由三视图正确还原几何体. 5.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =3.5,则由该观测数据算得的线

=﹣0.3x+4.4

【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程. 【解答】解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键. 6.执行如图所示的程序框图,若输入 x 为 13,则输出 y 的值为( )

A.10 B.5 C.4 D.2 【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分析法;算法和程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,循环体为“直到型”循环结构,按照循环结构进行运算,即可求出满足 题意时的 y.

【解答】解:模拟执行程序框图,可得 x=13, x=10,满足条件 x≥0,x=7 满足条件 x≥0,x=4 满足条件 x≥0,x=1 满足条件 x≥0,x=﹣2 不满足条件 x≥0,y=5 输出 y 的值为 5. 故选:B. 【点评】本题为程序框图题,考查对循环结构的理解和认识,按照循环结构运算后得出结果,属于 基础题. 7.在区间[0,3]上随机地取一个实数 x,则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型. 【专题】计算题;对应思想;转化法;概率与统计. 【分析】首先求出事件“1≤2x﹣1≤3”发生对应的区间长度,利用几何概型公式解答. 【解答】解:在区间[0,3]上随机地取一个实数 x,则事件“1≤2x﹣1≤3”发生,即 1≤x≤2,区间长度为 1, 由几何概型公式得到事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为 ; 故选:B. 【点评】本题考查了几何概型的概率求法;几何概型的概率求法关键是明确事件的测度,利用公式 解答. 8.在班级的演讲比赛中,将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图.记甲、乙两名同学 所得分数的平均分分别为






,则下列判断正确的是(



A. 甲< 乙,甲比乙成绩稳定 B. 甲> 乙,甲比乙成绩稳定 C. 甲< 乙,乙比甲成绩稳定 D. 甲> 乙,乙比甲成绩稳定 【考点】众数、中位数、平均数. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差,由此能求出结果. 【解答】解:由茎叶图知: = (76+77+88+90+94)=85, = [(76﹣85) +(77﹣85) +(88﹣85) +(90﹣85) +(94﹣85) ]=52,
2 2 2 2 2

= (75+86+88+88+93)=86, = [(75﹣86) +(86﹣86) +(88﹣86) +(88﹣86) +(93﹣86) ]=35.6,
2 2 2 2 2

∴ 甲< 乙,乙比甲成绩稳定. 故选:C. 【点评】本题考查茎叶图、平均数、方差的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图性质 的合理运用. 9.设 m,n 是空间两条直线,α,β 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ) A.当 n⊥α 时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 B.当 m?α 时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当 m?α 时,“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件 D.当 m?α 时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】计算题. 【分析】当 n⊥α 时,“n⊥β”?“α∥β”;当 m?α 时,“m⊥β”?“α⊥β”,但是“α⊥β”推不出“m⊥β”; 当 m?α 时, “n∥α”?“m∥n 或 m 与 n 异面”, “m∥n”?“n∥α 或 n?α”; 当 m?α 时, “n⊥α”?“m⊥n”, 但“m⊥n”推不出“n⊥α”. 【解答】解:当 n⊥α 时,“n⊥β”?“α∥β”,故 A 正确; 当 m?α 时,“m⊥β”?“α⊥β”,但是“α⊥β”推不出“m⊥β”,故 B 正确; 当 m?α 时,“n∥α”?“m∥n 或 m 与 n 异面”,“m∥n”?“n∥α 或 n?α”,故 C 不正确; 当 m?α 时,“n⊥α”?“m⊥n”,但“m⊥n”推不出“n⊥α”,故 D 正确. 故选 C 【点评】本题考生查平面的基本性质和推论,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 10.已知表面积为 24π 的球体,其内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的高为 4,则 这个正四棱柱的侧面积为( ) A.32 B.36 C.48 D.64 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】先由球的表面积求出球的半径,由此能求出其内接正四棱柱的底面边长,从而能求出这个 正四棱柱的侧面积. 2 【解答】解:设表面积为 24π 的球体的半径为 R,则 4πR =24π,解得 R= , ∵其内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直于底面)的高为 4, 设这个正四棱柱的底面边长为 a, ∴ =2 ,解得 a=2,

∴这个正四棱柱的侧面积 S=4×2×4=32. 故选:A. 【点评】本题考查正四棱柱的侧面积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意球的性质的合理 运用.

11.已知命题 p:函数 f(x)=x ﹣2mx+4 在[2,+∞)上单调递增;命题 q:关于 x 的不等式 mx +2 (m﹣2) x+1>0 对任意 x∈R 恒成立. 若 p∨q 为真命题, p∧q 为假命题, 则实数 m 的取值范围为 ( ) A. (1,4) B.[﹣2,4] C. (﹣∞,1]∪(2,4) D. (﹣∞,1)∪(2,4) 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;分类讨论;判别式法;简易逻辑. 【分析】根据二次函数的单调性,以及一元二次不等式的解的情况和判别式△ 的关系即可求出命题 p,q 为真命题时 m 的取值范围.根据 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题得到 p 真 q 假或 p 假 q 真,求 出这两种情况下 m 的范围求并集即可. 【解答】解:若命题 p 为真,∵函数 f(x)的对称轴为 x=m,∴m≤2; 若命题 q 为真,当 m=0 时原不等式为﹣4x+1>0,该不等式的解集不为 R,即这种情况不存在; 当 m≠0 时,则有 ,

2

2

解得 1<m<4; 又∵P∨q 为真,P∧q 为假,∴P 与 q 一真一假; 若 P 真 q 假,则 解得 m≤1; 若 P 假 q 真,则 ,解得 2<m<4; ,

综上所述,m 的取值范围是 m≤1 或 2<m<4. 故选:C. 【点评】本题主要考查了复合函数真假的判断,二次函数图象和性质,一元二次不等式的解法,是 基础题. 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,给出以下结论: ①AC1⊥平面 A1BD; ②直线 AC1 与平面 A1BD 的交点为△ A1BD 的外心; ③若点 P 在△ A1BD 所在平面上运动,则三棱锥 P﹣B1CD1 的体积为定值. 其中,正确结论的个数是( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】演绎法;空间位置关系与距离;简易逻辑. 【分析】①根据线面垂直的判定定理进行证明. ②判断三棱锥 C1﹣A1BD 是正三棱锥即可. ③根据面面平行的判定定理证明平面 B1CD1∥平面 A1BD 即可. 【解答】解:①,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,

∵CC1⊥上底面 ABCD, ∴CC1⊥BD, 又 ABCD 为正方形, ∴AC⊥BD, AC∩CC1=C, ∴BD⊥面 ACC1, ∴AC1⊥BD, 同理得到 AC1⊥A1B, 又 A1B∩BD=B, ∴AC1⊥平面 A1BD,①正确; ②在正方体中,A1B=A1D=BD, 则△ A1BD 为正三角形, 同时三棱锥 C1﹣A1BD 是正三棱锥, 则 C1 在面 A1BD 的射影为△ A1BD 的外心; ∵AC1⊥平面 A1BD; ∴直线 AC1 与平面 A1BD 的交点为△ A1BD 的外心.故②正确, ③∵B1C∥A1D,CD1∥A1B,且 B1C∩CD1=C, ∴平面 B1CD1∥平面 A1BD, 即点 P 到平面的 B1CD1 距离为定值, ∴若点 P 在△ A1BD 所在平面上运动,则三棱锥 P﹣B1CD1 的体积为定值.故③正确, 故 3 个命题都正确, 故选:D 【点评】本题主要考查命题的真假判断,根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理是解决本题的 关键.考查学生的推理能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.根据如图所示的算法语句,当输入的 x 为 50 时,输出的 y 的值为 35 .

【考点】伪代码. 【专题】计算题;图表型;分析法;算法和程序框图. 【分析】算法的功能是求 y= 值. 【解答】解:由算法语句知:算法的功能是求 y= 当输入 x=50 时, 输出 y=30+0.5×10=35. 的值, 的值,当输入 x=50 时,计算输出 y 的

故答案为:35. 【点评】本题考查了选择结构的算法语句,根据语句判断算法的功能是关键,属于基础题. 14.某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生 中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 25 . 【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比,即样本容量比上总体容量,按此比例求出应 抽取的男生人数. 【解答】解:根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为 则应抽取的男生人数是 500× =25 人, = ,

故答案为:25. 【点评】本题的考点是分层抽样方法,根据样本结构和总体结构保持一致,求出抽样比,再求出在 各层中抽取的个体数目. 15.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 2 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则 这 2 只球颜色不同的概率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】先求出基本事件总数,再求出这 2 只球颜色不同,包含的基本事件个数,由此能求出这 2 只球颜色不同的概率. 【解答】解:袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 2 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球, 基本事件总数 n= =6, =4,

这 2 只球颜色不同,包含的基本事件个数 m=C ∴这 2 只球颜色不同的概率 p= = . 故答案为: .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合 理运用. 16.若直线 y=x+b 与曲线 y=3﹣ 有公共点,则 b 的取值范围是 [1﹣ ,3] .

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】数形结合;直线与圆. 2 2 【分析】曲线即 (x﹣2) +(y﹣3) =4(1≤y≤3) ,表示以 A(2,3)为圆心,以 2 为半径的一个 半圆,由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2,解得 b=1+ b=1﹣ .结合图象可得 b 的范 围.

【解答】解:如图所示:曲线 y=3﹣

,即 (x﹣2) +(y﹣3) =4( 1≤y≤3,0≤x≤4) ,

2

2

表示以 A(2,3)为圆心,以 2 为半径的一个半圆. 由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2,可得 结合图象可得 1﹣ 故答案为:[1﹣ ≤b≤3, ,3]. =2,∴b=1+ ,或 b=1﹣ .

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了数形结合的数学思想, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知命题 p:x ﹣8x﹣20≤0,q:1﹣m≤x≤1+m(m>0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用;简易逻辑. 2 【分析】由 p:x ﹣8x﹣20≤0,由于 p 是 q 的充分不必要条件,可得[﹣2,10]?[1﹣m,1+m].解出 即可得出. 2 【解答】解:由 p:x ﹣8x﹣20≤0,得﹣2≤x≤10, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴[﹣2,10]?[1﹣m,1+m]. 则 ,或 ,
2

解得 m≥9. 故实数 m 的取值范围为[9,+∞) . 【点评】本题考查了不等式的解法及其性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 18.已知圆 C 过点 A(1,4) ,B(3,2) ,且圆心在 x 轴上,求圆 C 的方程. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 2 2 2 【分析】法一:设圆 C: (x﹣a) +y =r ,利用待定系数法能求出圆 C 的方程. 2 2 法二:设圆 C:x +y +Dx+F=0,利用待定系数法能求出圆 C 的方程.

法三:由已知圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,AB 的中点为(2,3) ,由此能求出圆心 C 的 坐标和半径,从而能求出圆 C 的方程. 2 2 2 【解答】解法一:设圆 C: (x﹣a) +y =r , (1 分) 则 (7 分)

解得

所以圆 C 的方程为(x+1) +y =20. (12 分)
2 2

2

2

解法二:设圆 C:x +y +Dx+F=0, (1 分) 则 解得 (7 分) 所以圆 C 的方程为 x +y +2x﹣19=0. (12 分)
2 2

解法三:因为圆 C 过两点 A(1,4) ,B(3,2) ,所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上, 又因为 ,所以 kl=1,又 AB 的中点为(2,3) ,

故 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y﹣3=x﹣2,即 y=x+1. 又圆心 C 在 x 轴上,所以圆心 C 的坐标为(﹣1,0) , (6 分) 所以半径
2 2



所以圆 C 的方程为(x+1) +y =20. (12 分) 【点评】本题考查圆的方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面 ABC 等边三角形,E,F 分别 是 BC,CC1 的中点.求证: (Ⅰ) EF∥平面 A1BC1; (Ⅱ) 平面 AEF⊥平面 BCC1B1.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)由三角形中位线定理得 EF∥BC1,由此能证明 EF∥平面 A1BC1. (Ⅱ)由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得 AE⊥BB1,由正三角形性质得 AE⊥BC,由此能证 明平面 AEF⊥平面 BCC1B1. 【解答】证明: (Ⅰ)因为 E,F 分别是 BC,CC1 的中点, 所以 EF∥BC1. 又因为 BC1?平面 A1BC1,EF?平面 A1BC1, 所以 EF∥平面 A1BC1. (6 分)

(Ⅱ)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 BB1⊥平面 ABC.又 AE?平面 ABC, 所以 AE⊥BB1. 又因为△ ABC 为正三角形,E 为 BC 的中点, 所以 AE⊥BC. 又 BB1∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCC1B1. 又 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 BCC1B1. (12 分)

【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空 间思维能力的培养. 20.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛,并抽取了 20 名学生的成绩进行分析,如图是这 20 名学生竞赛成绩(单位:分)的频率分布直方图,其分组为[100,110) ,[110,120) ,…,[130, 140) ,[140,150]. (Ⅰ) 求图中 a 的值及成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数; (Ⅱ) 学校决定从成绩在[100,120)的学生中任选 2 名进行座谈,求此 2 人的成绩都在[110,120) 中的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为 10,由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1,求出 a, 由此能求出成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数. (Ⅱ)记成绩落在[100,110)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[110,120)中的 3 人为 B1,B2,B3, 由此利用列举法能求出此 2 人的成绩都在[110,120)中的概率. 【解答】解: (Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为 10, 由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1, 解得 ; (2 分)

所以成绩落在[100,110)中的人数为 2×0.005×10×20=2; (4 分) 成绩落在[110,120)中的人数为 3×0.005×10×20=3. (6 分) (Ⅱ)记成绩落在[100,110)中的 2 人为 A1,A2, 成绩落在[110,120)中的 3 人为 B1,B2,B3,

则从成绩在[100,120)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:

[来源:Zxxk.Com]

{A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{B1,B2},{B1, B3},{B2,B3}, 其中 2 人的成绩都在[110,120)中的基本事件有 3 个: {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}, 所以所求概率为 . (12 分)

【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 列举法的合理运用.

21.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD=

,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,O

是 AC 与 BE 的交点.将△ ABE 沿 BE 折起到如图 2 中△ A1BE 的位置,得到四棱锥 A1﹣BCDE.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面 A1OC; (Ⅱ)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时,四棱锥 A1﹣BCDE 的体积为 36 ,求 a 的值. 【考点】平面与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (I)运用 E 是 AD 的中点,判断得出 BE⊥AC,BE⊥面 A1OC,考虑 CD∥DE,即可判断 CD⊥面 A1OC. (II)运用好折叠之前,之后的图形得出 A1O 是四棱锥 A1﹣BCDE 的高,平行四边形 BCDE 的面积 2 S=BC?AB=a ,运用体积公式求解即可得出 a 的值.

【解答】解: (I)在图 1 中, 因为 AB=BC= ∠BAD= , =a,E 是 AD 的中点,

所以 BE⊥AC, 即在图 2 中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 从而 BE⊥面 A1OC, 由 CD∥BE, 所以 CD⊥面 A1OC, (II)即 A1O 是四棱锥 A1﹣BCDE 的高,

根据图 1 得出 A1O=

AB=

a,
2

∴平行四边形 BCDE 的面积 S=BC?AB=a , V= 由 a= a =36
3

= ,得出 a=6.

a=

a,

3

【点评】本题考查了平面立体转化的问题,运用好折叠之前,之后的图形,对于空间直线平面的位 置关系的定理要很熟练. 22.已知直线 x+y+1=0 被圆 O:x +y =r (r>0)所截得的弦长为 . (Ⅰ) 求圆 O 的方程; (Ⅱ) 如图,圆 O 分别交 x 轴正、负半轴于点 A,B,交 y 轴正半轴于点 C,过点 C 的直线 l 交圆 O 于另一不同点 D(点 D 与点 A,B 不重合) ,且与 x 轴相交于点 P,直线 AD 与 BC 相交于点 Q, 求 的值.
2 2 2

【考点】曲线与方程. 【专题】数形结合;转化思想;平面向量及应用;直线与圆. 【分析】 (I)利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出; (II) 如图, 可知 A (1, 0) , B (﹣1, 0) , C (0, 1) , 可得 BC 的方程. 当 l 的斜率不存在时, AD∥BC, 舍去.因此直线 l 的斜率存在,设为 k(k≠0) ,直线 l 的方程为 y=kx+1,可得 的方程联立解得 D 的坐标,可得 AD 的方程,联立解出 Q 的坐标即可得出. 【解答】解: (Ⅰ) 圆心 O 到直线 x+y+1=0 的距离 由
2 2

.与圆



,解得 r=1.

∴圆 O 的方程为 x +y =1. (Ⅱ) 如图,可知 A(1,0) ,B(﹣1,0) ,C(0,1) , ∴BC 的方程为 x﹣y+1=0. 当 l 的斜率不存在时,AD∥BC,与题意不符,则直线 l 的斜率存在,设为 k(k≠0) , 直线 l 的方程为 y=kx+1,可得
2 2





消去 y,整理得(1+k )x +2kx=0,

解得 x=0 或



∴D 的纵坐标为



∴AD 的方程为



整理得

,联立

,解得

,即 Q(﹣k,k+1) .





【点评】本题考查了直线与圆相交问题、直线相交问题、点到直线的距离公式、弦长公式、斜率计 算公式、向量数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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