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西城高二下期末文科数学试卷及答案


北京市西城区 2016— 2017 学年度第二学期期末试卷

高二数学(文科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2017.7

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1. 设集合 A ? {x | x ? x} , B ? {?1,0,1, 2} ,则 A ? B ? (
2



二 15 16 17 18 19 20

本卷总分

) (D) {1, 2}

(A) {0, 2}

(B) {0,1}

(C) {?1, 2}

2. 下列函数中,既是奇函数又是单调递增函数的是( (A) y ? e
x



(B) y ? ln x

(C) y ?

1 x

(D) y ? x

3

3. 若等比数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 ,则公比 q 等于( (A) 2 (B)



1 2

(C) 3

(D)

1 3

4. 如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式一定成立的是( (A) a ? b (B)



1 1 ? a b

a b (C) ( ) ? ( )

1 2

1 2

(D) ln a ? ln b

5. “ a, b, c, d 成等差数列”是“ a ? d ? b ? c ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

6. 关于函数 f ( x) ? log 1 x ,下列结论正确的是(
2

(A)值域为 (0, ??) (C)定义域为 R

(B)图象关于 x 轴对称 (D)在区间 (??, 0) 上单调递增

高二数学第二学期期末试卷(文科)第 1 页共 8 页

7. 已知 x0 是函数 f ( x ) ? ( ) ?
x

1 2

1 的一个零点,且 x1 ? (??, x0 ) , x2 ? ( x0 ,0) ,则( x
(B) f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0



(A) f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? 0

8. 在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是 即时价格曲线 y ? f ( x) ,一种是平均价格曲线 y ? g ( x) . 例如: f (2) ? 3 表示开始交易后

2 小时的即时价格为 3 元, g (2) ? 4 表示开始交易后 2 小时内所有成交股票的平均价格为 4
元. 下列给出的四个图象中,实线表示 y ? f ( x) ,虚线表示 y ? g ( x) . 其中可能正确的是 ( ) y O x O y O x O

O O y O

(A)

O O y O

(B)

x O O O (C) (D) O O 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 已知命题 p : ?x ? R ,e ? 0 ,则 ?p : ______________.
x

x O

10. 曲线 y ?

1 在 x ? 2 处切线的斜率为______. x
x2 ? 4 的最小值为______. x

11. 当 x ? 0 时,函数 y ?

a 12. 已知 9 ? 3 , ln x ? a ,则 x ? ______.

? 1 , ? ?1 ? x 13. 若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , ? ? 3
为_______.

x?0 ,
则 f (1) ? f (?1) ? _______;不等式 f ( x ) ?

x?0.

1 的解集 3

14. 已知非空集合 A, B 同时满足以下四个条件: ① A ? B ? {1, 2,3, 4,5} ; ③ card ( A) ? A ; ② A? B ? ?; ④ card ( B) ? B .

注:其中 card ( A) 、 card ( B) 分别表示 A 、 B 中元素的个数.
高二数学第二学期期末试卷(文科)第 2 页共 8 页

如果集合 A 中只有一个元素,那么 A ? _____; 如果集合 A 中有 3 个元素,请写出一对满足条件的集合 A, B :_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S 4 ? ?24 , a1 ? a5 ? ?10 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设集合 A ? {n ? N
*

Sn ? ?24} ,求集合 A 中的所有元素.

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若 f ( x) 的定义域为 [?1, m] 时,值域为 [?4, 0] ,求 m 的最大值.

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 , a ? 0 .
2

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点,求 a 的取值范围.

高二数学第二学期期末试卷(文科)第 3 页共 8 页

18. (本小题满分 13 分) 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元. 某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该 月用水量分别为 5x,3x 吨. (Ⅰ) 若 x ? 1 ,求该月甲、乙两户的水费; (Ⅱ) 求 y 关于 x 的函数; (Ⅲ) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ?1)e ? kx ? 2 , k ? R .
x 2

(Ⅰ) 当 k ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 若对于任意的 x ? [0, ??) , f ( x) ? 1 恒成立,求 k 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx 和 g ( x) ? ln x .
2

(Ⅰ) 若 a ? b ? 1 ,求证: f ( x ) 的图象在 g ( x) 图象的上方; (Ⅱ) 若 f ( x ) 和 g ( x) 的图象有公共点 P ,且在点 P 处的切线相同,求 a 的取值范围.

高二数学第二学期期末试卷(文科)第 4 页共 8 页

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第二学期期末试卷

高二数学(文科)参考答案及评分标准 2017.7
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2.D; 3. A; 4. D; 5. A; 6. D; 7. D; 8. B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 对任意 x ? R ,都有 e x ? 0 ; 14. {4} ; 或 A ? {1, 2,5} , 或 A ? {2, 4,5} , A ? {1, 2, 4} , B ? {3,5} , B ? {3, 4} , B ? {1,3} .
注:14 题第二个空只需填对一组即可;一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分.

10. ?

1 ; 11. 4 ; 12. 4

e ;13.

5 ,[ ?2,1] ; 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意得 ?

? 4a1 ? 6d ? ?24 , ? 2a1 ? 4d ? ?10

……………4 分

解得 a1 ? ?9 , d ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?9 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 11. (Ⅱ) S n ? na1 ?

……………6 分 ……………8 分 ……………10 分

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? ?9n ? ? 2 ? n 2 ? 10 n , 2 2

2 2 由 n ? 10n ? ?24 ,整理得 n ? 10n ? 24 ? 0 ,

解得 4 ? n ? 6 , 所以集合 {n ? N
*

……………12 分

Sn ? ?24} 中的所有元素为 4,5,6 .

……………13 分

16.(本小题满分 13 分)
3 2 2 解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x ? 3x ,得 f ?( x) ? 3x ? 6x .

…………… 3 分

令 f ?( x) ? 3x ? 6x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 .
2

f ?( x ) 与 f ( x) 在区间 R 上的情况如下: (??, 0) x 0 ? f ( x) 0 ? f ( x) 0 ?

(0, 2)

?
?

2 0
?4

(2, ??) ? ?
…………… 6 分

所以, f ( x) 在区间 (??, 0) 、 (2, ??) 上单调递增;在区间 (0, 2) 上单调递减. …8 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, 函数 f ( x) 在区间 (?1, 0) 和 (2, ??) 上单调递增; 在区间 (0, 2) 上单调递减.
高二数学第二学期期末试卷(文科)第 5 页共 8 页

且 f (?1) ? ?4 ; f (0) ? 0 ; f (2) ? ?4 ; f (3) ? 0 . 所以,当 0 ? m ? 3 时, f ( x) 的值域为 [?4, 0] ;当 m ? 3 时, f (m) ? f (3) ? 0 , f ( x) 的值域为 [?4, f (m)] . 所以, m 的最大值等于 3 . 17.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 4 整理得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 即 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 , 解得 x ? ?3 或 x ? 1 , 所以,不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x x ? ?3, 或 x ? 1}. (Ⅱ)由已知,抛物线 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? ? 所以函数 f ( x ) 在区间 (1, 2 ) 上是单调函数. 若 f ( x ) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点,则 f (1) f ( 2) ? 0 , 即 (8a ? 1)(3a ? 1) ? 0 ,解得 ? ……………11 分 …………… 6 分 …………… 9 分 …………… 3 分 ……………12 分 ……………13 分

2a ? ?1 . 2a

1 1 ?a?? . 3 8
……………13 分

所以, a 的取值范围为 (? , ? ) . 18.(本小题满分 13 分)

1 3

1 8

解:(Ⅰ) 当 x ? 1 时,甲用水量为 5 吨,需交水费 4 ?1.8 ? 1? 3 ? 10.20 元. …………2 分 乙用水量为 3 吨,需交水费 3 ?1.8 ? 5.40 元. (Ⅱ)当 5 x ? 4 ,即 x ? 0.8 时,甲、乙两户用水量均不超过 4 吨. ……………6 分 y ? (5x ? 3x) ?1.8 ? 14.4 x ; 4 4 当 5 x ? 4 , 3 x ? 4 ,即 ? x ? 时,甲用水量超过 4 吨,乙用水量不超过 4 吨. 5 3 ……………4 分

y ? 3x ?1.8 ? 4 ?1.8 ? (5x ? 4) ? 3 ? 20.4 x ? 4.8 ; 4 当 3 x ? 4 ,即 x ? 时,甲、乙用水量均超过 4 吨. 3 y ? (4 ? 4) ?1.8 ? (5x ? 4 ? 3x ? 4) ? 3 ? 24 x ? 9.6 .

……………8 分

……………9 分

? ?14.4 x, ? ? 所以 y ? ? 20.4 x ? 4.8, ? ? ? 24 x ? 9.6, ?

4 , 5 4 4 ?x? , 5 3 4 x? . 3 0? x?

……………10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数 y ? f ( x) 在各分段区间上都是增函数. 当 x ? [0, ] 时, y ? f ( ) ? 26.4 ;当 x ? ( , ] 时, y ? f ( ) ? 26.4 ;
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4 5

4 5

4 4 5 3

4 3

当 x ? ( , ? ? ) 时,令 24 x ? 9.6 ? 26.4 ,解得 x ? 1.5 .

4 3

5 x ? 7.5 , 3 x ? 4.5 ,
所以,甲用水量为 7.5 吨;乙用水量为 4.5 吨. 19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 当 k ? 0 时, f ( x) ? ( x ?1)e ? 2 .
x

……………13 分

则 f ?( x) ? e ? ( x ?1)e ? xe , ……………2 分 所以, 在区间 (??, 0) 上 f ?( x) ? 0 ,f ( x ) 是减函数; 在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,f ( x ) 是增函数. ……………4 分 又 f (0) ? 1 ,
x x x

所以, f ( x) 的极小值为 1 ;没有极大值. (Ⅱ) 由 f ( x) ? ( x ?1)e ? kx ? 2 ,得 f ?( x) ? xe ? 2kx ? x(e ? 2k ) .
x 2 x x

……………6 分 ……………7 分

当 k ? 0 时, e x ? 2k ? 0 , 所以,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 在区间 (??, 0) 上是减函数,在区间 (0, ??) 上是增函数.
当 k ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ln 2 k , 所以,当 0 ? k ?

……………8 分

所以 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上的最小值为 f (0) ,且 f (0) ?1 ,符合题意. …………9 分

1 时, ln 2k ? 0 在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是增函数, 2
……………11 分

所以 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上的最小值为 f (0) ? 1 ,符合题意. 当k ?

1 时, ln 2k ? 0 , 2

当 x ? (0, ln 2k ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (0, ln 2k ) 上是减函数. 所以 f (ln 2k ) ? f (0) ? 1 ,不满足对于任意的 x ? [0, ??) , f ( x) ? 1 恒成立. …13 分 综上,k 的取值范围为 (??, ] . 20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 当 a ? b ? 1 时, f ( x) ? x ? x .
2

1 2

……………14 分

设 h( x) ? x ? x ? ln x , x ? 0 .
2

……………1 分 ……………2 分

则 h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x
2

所以,在区间 (0, ) 上 h?( x) ? 0 , h( x) 是减函数;在区间 ( , ??) 上 h?( x) ? 0 , h( x) 是增函数. ……………4 分

1 2

1 2

1 3 1 3 1 所以, h( x) 的最小值为 h ( ) ? ? ln ,又 ? ln ? 0 ,所以 h( x) ? 0 恒成立. 2 4 2 4 2 即 f ( x ) 的图象在 g ( x ) 图象的上方. ……………6 分
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(Ⅱ) 设 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? 0 .由已知 f ?( x) ? 2ax ? b , g ?( x) ? 因为在点 P 处的切线相同, 所以 2ax0 ? b ?

1 . x

1 2 , y0 ? ax0 ? bx0 , y0 ? ln x0 . x0

……………8 分

2 2 消去 b, y0 得 ax0 ? ln x0 ?1 ? 0 ,依题意,方程 ax0 ? ln x0 ?1 ? 0 有解.……………9 分

设 F ( x) ? ax ? ln x ?1 ,则 F ( x) 在 (0, ??) 上有零点.
2

F ?( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. 当 a ? 1 时, F (1) ? a ? 1 ? 0 , F (

1 1 ) ? ln ? 0 ,所以 F ( x) 有零点. a a
2 2

当 0 ? a ? 1 时, F (1) ? a ? 1 ? 0 , F (e ) ? ae ? 1 ? 0 ,所以 F ( x) 有零点. ……………11 分 当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

?

1 . 2a

F ?( x) 与 F ( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

x
F ?( x) F ( x)
令 ln ?

(0, ?
?
?

1 ) 2a

?

1 2a 0
1 3 ? 2a 2

( ?

1 , ??) 2a ?
?

ln ?

1 1 3 ? ? 0 ,得 a ? ? 3 . 2e 2a 2
……………13 分 ……………14 分

此时 F (1) ? a ? 1 ? 0 .所以 F ( x) 有零点.

1 综上, 所求 a 的取值范围为 [ ? 3 , ??) . 2e

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