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函数及其表示练习题 菁优网


函数及其表示练习题
一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?湖南)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞, ) ) B. (﹣∞, ) C. (﹣ , ) D. (﹣ , )
2 x 2

2. (2014?湖南)已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x +x +1,则 f(1) +g(1)=( ) A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 3. (2014?聊城二模)函数 f(x)=(1﹣cosx)sinx 在[﹣π,π]的图象大致为( A. B. C. D. )

3

2

4. (2014?福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(



A.

B.

C.

D.

5. (2014?江西)在同一直角坐标系中,函数 y=ax ﹣x+ 与 y=a x ﹣2ax +x+a(a∈R)的图象不可能的是( A. B. C. D.

2

2 3

2



6. (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是(

a



1

A.

B.

C.

D.

7. (2014?广西)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1



8. (2014?宜春模拟)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数: ① f(x)=sinxcosx, ② f(x)= sin2x+2, ③ f(x)=2sin(x+ ) ,

④ f(x)=sinx﹣ cosx, 其中属于“同簇函数”的是( ② ④ A.① B.① 值为 ,则实数 a 的值为( A.



③ ④ C.② D.③ 9. (2014?遵义二模)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n) ,值域为[0,1],若 n﹣m 的最小 ) B. 或 C. D. 或

10. (2014?蚌埠二模)下列函数满足|x|≥|f(x)|的是( ) x A. f(x)=e ﹣1 B. f(x)=ln(x+1) C. f(x)=tanx 11. (2014?潍坊模拟)已知函数 f(x)=e A. B.
|lnx|

D. f(x)=sinx )

﹣|x﹣ |,则函数 y=f(x+1)的大致图象为( D.

C.

12. (2014?遂宁一模)函数 f(x)=xln|x|的图象大致是( A. B. C.

) D.

13. (2014?漳州一模)已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(



2

A.

B.

C.

D.

14. (2014?临沂三模)函数 A. B.

的图象大致为( C.

) D.

15. (2014?河东区一模)若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是( A. B. C. D.



16. (2014?乌鲁木齐三模)已知函数 f(x)在定义域 R 上的值不全为零,若函数 f(x+1)的图象关于(1,0)对 称,函数 f(x+3)的图象关于直线 x=1 对称,则下列式子中错误的是( ) A. f(﹣x)=f(x) B. f(x﹣2)=f(x+6) C. f(﹣2+x)+f(﹣2﹣x) D. f(3+x)+f(3﹣x)=0 =0 17. (2014?西藏一模)函数 y=x+cosx 的大致图象是( ) A. B. C. D.

18. (2014?凉山州一模)函数 y= A. B.

的图象大致是( C.

) D.

3

19. (2014?海南模拟)已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=3 + ,则 f (lo 5)的值等于( ) B. C. D. 1

x

A. ﹣1

20. (2014?房山区二模)对任意两实数 a,b,定义运算“*”:a*b= 列四个结论: ① 函数 f(x)的最小值是 e; ② 函数 f(x)为偶函数; ③ 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ④ 函数 f(x)的图象与直线 y=ex 没有公共点; 其中正确结论的序号是( ) ③ ③ ④ A.① B.② C.①
2

,关于函数 f(﹣x)=e *e ,给出下

﹣x

x

④ D.② )

21. (2014?洛阳二模)已知函数 f(n)=n cos(nπ) ,且 an=f(n)+f(n+1) ,则 a1+a2+a3+…+a100=( 0 100 10200 A. B.﹣100 C. D.

22. (2014?河西区三模) 已知实数 a≠0, 函数 A. B. C.

, 若f (1﹣a) =f (1+a) , 则 a 的值为 ( D.



23. (2014?江西二模)函数 A. B.

的图象可能是( C.

) D.

24. (2014?呼和浩特一模)若实数 x、y 满足|x﹣1|+lny=0,则 y 关于 x 的函数的图象大致形状是( A. B. C. D.



25. (2014?滨州二模)函数 f(x)=

的图象大致为(



4

A.

B.

C.

D.

26. (2014?济宁二模)函数 f(x)=1﹣x+lgx 的图象大致是( ) A. B. C. D.

27. (2014?吉安二模)如图,已知线段 AB=

,当点 A 在以原点 O 为圆心的单位圆上运动时,点 B 在 x 轴上滑动, ,0)∪ ( 0, ]上的大致图象是( )

设∠ AOB=θ,记 S(θ)为三角形 AOB 的面积,则 S(θ)在[﹣

A.

B.

C.

D.

28. (2014?崇明县二模)某同学对函数 f(x)=

进行研究后,得出以下五个结论:

① 函数 y=f(x)的图象是轴对称图形; ② 函数 y=f(x)对任意定义域中 x 值,恒有|f(x)|<1 成立; ③ 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有无穷多个交点,且每相邻两交点间距离相等; ④ 对于任意常数 N>0,存在常数 b>a>N,函数 y=f(x)在[a,b]上单调递减,且|b﹣a|≥1; ⑤ 当常数 k 满足 k≠0 时,函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 29. (2014?河北区三模)已知函数 f(x)= ① 函数 f(x)的图象关于原点对称; ② 函数 f(x)是周期函数; ③ 当 x= 时,函数 f(x)取最大值; .下列命题:

④ 函数 f(x)的图象与函数 y= 的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( ) ③ ③ A.① B.②

④ C.①

④ D.②

5

30. (2014?焦作一模)已知函数 (1)+f(2)+f(3)+f(4)=( A.0 B.1 ) C.

,则 f(﹣4)+f(﹣3)+f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f

D.

6

函数及其表示(2014 年 09 月 14 日)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?湖南)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( ) A.(﹣∞, ) B.(﹣∞,
2 x 2

) C.(﹣



)D.(﹣





考点: 专题: 分析:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 由题意可得:存 在 x0∈(﹣∞, 2 x0 0) , 满足 x0 +e
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﹣ =(﹣x0)
2

+ln(﹣x0+a) , 结合函数 g(x) =e ﹣ ﹣ln(﹣ x+a)图象和性 质,可得 g(0) = ﹣lna>0,进 而得到答案. 解:由题意可 得: 存在 x0∈ (﹣∞, 2 x0 0) , 满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0)
2 x

解答:

+ln(﹣x0+a) ,
x0

即 e ﹣ ﹣ln (﹣x0+a) =0 有 负根, ∵ 当 x 趋近于负 x0 无穷大时,e ﹣ ﹣ln(﹣ x0+a)也趋近于 负无穷大, x 且函数 g (x) =e

7

﹣ ﹣ln(﹣ x+a)为增函数, ∴ g(0)= ﹣lna >0, ∴ lna<ln , ∴ a< , ∴ a 的取值范围 是 (﹣∞, ) , 故选:B 本题考查的知 识点是函数的 图象和性质,函 数的零点,函数 单调性的性质, 函数的极限,是 函数图象和性 质较为综合的 应用,难度大.
3 2

点评:

2. (2014?湖南)已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x +x +1,则 f(1) +g(1)=( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 考点: 函数解析式的 求解及常用方 法;函数的值.
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专题: 分析:

解答:

函数的性质及 应用. 将原代数式中 的 x 替换成﹣x, 再结合着 f(x) 和g (x) 的奇偶 性可得 f(x)+g (x) ,再令 x=1 即可. 解:由 f(x)﹣ 3 2 g (x) =x +x +1, 将所有 x 替换成 ﹣x,得 f(﹣x)﹣g(﹣ 3 2 x)=﹣x +x +1, 根据 ( f x) =f (﹣ x) ,g(﹣x)= ﹣g(x) ,得 f(x)+g(x)= 3 2 ﹣x +x +1,再
8

点评:

令 x=1, 计算得, f(1)+g(1) =1. 故答案选 C. 本题属于容易 题,是对函数奇 偶性的考查,在 高考中,函数奇 偶性的考查一 般相对比较基 础,学生在掌握 好基础知识的 前提下,做题应 该没有什么障 碍.本题中也可 以将原代数式 中的 x 直接令其 等于﹣1 也可以 得到计算结果. )

3. (2014?聊城二模)函数 f(x)=(1﹣cosx)sinx 在[﹣π,π]的图象大致为( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 由函数的奇偶 性可排除 B,再 由 x∈(0,π) 时,f(x)>0, 可排除 A,求导 数可得 f′ ( 0) =0,可排除 D, 进而可得答案. 解:由题意可 知:f(﹣x)= (1﹣cosx)sin (﹣x)=﹣f (x) , 故函数 f(x)为 奇函数,故可排 除 B, 又因为当 x∈ (0, π)时,1﹣cosx >0,sinx>0, 故 f(x)>0,
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9

点评:

可排除 A, 又 f′ (x)=(1 ﹣cosx)′ sinx+ (1﹣cosx) (sinx)′ 2 =sin x+cosx﹣ 2 cos x=cosx﹣ cos2x, 故可得 f′ ( 0) =0,可排除 D, 故选 C 本题考查三角 函数的图象,涉 及函数的奇偶 性和某点的导 数值,属基础 题. )

4. (2014?福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 综合题;函数的 性质及应用. 根据对数函数 的图象所过的 特殊点求出 a 的 值,再研究四个 选项中函数与 图象是否对应 即可得出正确 选项. 解:由对数函数 的图象知,此函 数图象过点(3, 1) ,故有 y=loga3=1, 解得 a=3, 对于 A,由于
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y=a

﹣x

是一个减
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点评:

函数故图象与 函数不对应,A 错; 对于 B,由于幂 a 函数 y=x 是一 个增函数,且是 一个奇函数,图 象过原点,且关 于原点对称,图 象与函数的性 质对应, 故B正 确; 对于 C,由于 a=3, 所以 y= (﹣ a x) 是一个减函 数,图象与函数 的性质不对应, C 错; 对于 D,由于 y=loga(﹣x)与 y=logax 的图象 关于 y 轴对称, 所给的图象不 满足这一特征, 故 D 错. 故选 B. 本题考查函数 的性质与函数 图象的对应,熟 练掌握各类函 数的性质是快 速准确解答此 类题的关键.
2 2 3 2

5. (2014?江西)在同一直角坐标系中,函数 y=ax ﹣x+ 与 y=a x ﹣2ax +x+a(a∈R)的图象不可能的是( A. B. C. D.



考点: 专题: 分析:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 讨论 a 的值,当 a=0 时,知 D 可 能,当 a≠0 时, 2 求出函数 ax ﹣
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x+ 的对称轴 x= , 利用求导

函数求出函数 2 3 y=a x ﹣ 2 2ax +x+a 的极 值点为 x= 与

x= ,比较对称 轴与两极值点 之间的关系,知 对称轴介于两 极值点之间,从 而得到不符合 题意的选项. 解:当 a=0 时, 2 函数 y=ax ﹣ x+ 的图象是第 二,四象限的角 平分线, 2 3 而函数 y=a x 2 ﹣2ax +x+a 的 图象是第一,三 象限的角平分 线, 故 D 符合要 求; 当 a≠0 时,函数 y=ax ﹣x+ 图 象的对称轴方 程为直线 x= ,
2 3 2

解答:

由 y=a x ﹣ 2 2ax +x+a 可得: 2 2 y′ =3a x ﹣ 4ax+1, 令 y′ =0,则 x1= 即 x1= ,x2= , 和

x2= 为函数 y=a x ﹣ 2 2ax +x+a 的两
12
2 3

个极值点, 对称轴 x= 于 x1= 和 介

x2= 两个极值 点之间, 故 A、C 符合要 求,B 不符合, 故选:B 本题考查的知 识点是函数的 图象,其中熟练 掌握二次函数 的图象和性质, 三次函数的极 值点等知识点 是解答的关键.
a

点评:

6. (2014?浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是( A. B. C. D.



考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 结合对数函数 和幂函数的图 象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情 况,讨论函数 f a (x) =x (x≥0) , g(x)=logax 的 图象,比照后可 得答案. 解:当 0<a<1 时,函数 f(x) a =x(x≥0) , g (x) =logax 的图象 为:
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此时答案 D 满 足要求, 当 a>1 时,函 a 数 f(x)=x (x≥0) ,g(x) =logax 的图象 为:

点评:

无满足要求的 答案, 综上:故选 D 本题考查的知 识点是函数的 图象,熟练掌握 对数函数和幂 函数的图象和 性质,是解答的 关键. )

7. (2014?广西)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 考点: 函数的值;函数 奇偶性的性质.
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专题: 分析:

函数的性质及 应用. 根据函数的奇
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解答:

点评:

偶性的性质,得 到 f(x+8)=f (x) ,即可得到 结论. 解:∵ f(x+2) 为偶函数, f (x) 是奇函数, ∴ f(﹣x+2)=f (x+2)=﹣f(x ﹣2) , 即 f(x+4)=﹣f (x) ,f(x+8) =f(x) , 则 f(8)=f(0) =0, f (9) =f (1) =1, ∴ f(8)+f(9) =0+1=1, 故选:D. 本题主要考查 函数值的计算, 利用函数奇偶 性的性质,得到 函数的对称轴 是解决本题的 关键.

8. (2014?宜春模拟)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数: ① f(x)=sinxcosx, ② f(x)= sin2x+2, ③ f(x)=2sin(x+ ) ,

④ f(x)=sinx﹣ cosx, 其中属于“同簇函数”的是( ② ④ A.① B.① 考点: 判断两个函数 是否为同一函 数. 函数的性质及 应用. 利用三角函数 的倍角公式、两 角和差的正弦 公式、平移变 换,再根据“同 簇函数”的意义 即可得出. 解:∵ ① f(x)
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) ③ C.② ④ D.③

专题: 分析:

解答:

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=sinxcosx= , ② f(x) = sin2x+2, ③ f(x)=2sin (x+ ) ,

④ f(x)=sinx﹣ cosx=2

=

, ∴ 只有③ 经过相 右平移 个单

点评:

位可得④ . 因此③ ④ 为“同簇 函数”. 故选:D. 本题考查了三 角函数的倍角 公式、两角和差 的正弦公式、平 移变换、新定 义,属于基础 题.

9. (2014?遵义二模)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n) ,值域为[0,1],若 n﹣m 的最小 值为 ,则实数 a 的值为( A. B. 或 ) C. D. 或

考点:

专题: 分析:

函数的定义域 及其求法;函数 的值域. 函数的性质及 应用. 利用对数函数 的单调性,以及 值域为[0,1],n ﹣m 要最小值, 从而建立关于 m,n 的方程式, 即可得出实数 a
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解答:

的值. 解:函数 f(x) =|logax|在 (0, 1) 递减, 在[1, +∞) 递增 ∵ 值域为[0,1], n﹣m 要最小值 ∴ 定义域为[a, 1] 或[1, ] ∵ ﹣1= 1﹣a ∴ n﹣m=1﹣a= 即 a= 故选 C. 熟练掌握分类 讨论的思想方 法和对数函数 的单调性是解 题的关键. ) D.f(x)=sinx >

点评:

10. (2014?蚌埠二模)下列函数满足|x|≥|f(x)|的是( x A.f(x)=e ﹣1 B.f(x)=ln(x+1) C.f(x)=tanx 考点: 专题: 分析: 函数的值域. 计算题;函数的 性质及应用. 对于前三个选 项,可举例子用 说明其不成立, 由排除法得出 正确选项 解:对于 A,当 2 x=2 时,|2|≥|e ﹣1|,不成立, 故 A 错; 对于 B,当 x= ﹣0.9 时, 0.9≥|ln0.1|=ln10 不成立,故 B 错;
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解答:

对于 C, 当 x= 时, ≤tan =1, 所

17

点评:

以C错 故选:D 本题考查正弦 函数、正切函数 及两个基本神 道初等函数的 性质, 由于 D 选 项正面入手较 繁,而前三个选 项较易排除,选 用排除法可以 大大简化计算
|lnx|

11. (2014?潍坊模拟)已知函数 f(x)=e A. B.

﹣|x﹣ |,则函数 y=f(x+1)的大致图象为( D.



C.

考点: 专题: 分析:

函数的图象与 图象变化. 函数的性质及 应用. 化简函数 f(x) 的解析式为
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解答:

,而 f(x+1)的 图象可以认为 是把函数 f(x) 的图象向左平 移 1 个单位得到 的,由此得出结 论. 解:∵ 函数 f(x) =e
|lnx|

﹣|x﹣ |,

∴ 当 x≥1 时,函 数f (x) =x﹣ (x ﹣ )= . 当 0<x<1 时,函数 f(x) = ﹣(﹣x+ ) =x,即 f(x)
18

=

点评:

. 函数 y=f(x+1) 的图象可以认 为是把函数 f (x)的图象向 左平移 1 个单位 得到的, 故选 A. 本小题主要考 查函数与函数 的图象的平移 变换,函数 y=f (x+1)的图象 与函数 f(x)的 图象间的关系, 属于基础题. ) D.

12. (2014?遂宁一模)函数 f(x)=xln|x|的图象大致是( A. B. C.

考点:

专题: 分析:

解答:

函数的图象与 图象变化;对数 函数的图像与 性质. 计算题. 由于 f(﹣x)= ﹣f(x) ,得出 f (x)是奇函数, 其图象关于原 点对称,由图象 排除 C,D,利 用导数研究根 据函数的单调 性质,又可排除 选项 B,从而得 出正确选项. 解:∵ 函数 f(x) =xln|x|,可得 f (﹣x)=﹣f (x) ,
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f (x) 是奇函数, 其图象关于原 点对称, 排除 C, D, 又 f′ (x) =lnx+1,令 f′ (x)>0 得:x > ,得出函数 ( f x) 在 ( , +∞) 上是增函数,排 除 B, 故选 A 本小题主要考 查函数单调性 的应用、函数奇 偶性的应用、不 等式的解法等 基础知识,考查 运算求解能力, 考查数形结合 思想、化归与转 化思想.属于基 础题

点评:

13. (2014?漳州一模)已知函数 A. B. C.

,则函数 y=f(x)的大致图象为( D.



考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象与 图象变化. 数形结合. 由函数不是奇 函数图象不关 于原点对称,排 除 A、C,由 x >0 时,函数值 恒正,排除 D. 解: 函数 y=f (x) 是一个非奇非 偶函数,图象不 关于原点对称, 故排除选项 A、 C,
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点评:

又当 x>0 时, 函数值大于 0 恒 成立, 故排除 D, 故选 B. 本题考查函数 图象的特征,通 过排除错误的 选项,从而得到 正确的选项.排 除法是解选择 题常用的一种 方法.

14. (2014?临沂三模)函数 A. B.

的图象大致为( C.

) D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象与 图象变化. 函数的性质及 应用. 求出函数的定 义域,通过函数 的定义域,判断 函数的奇偶性 及各区间上函 数的符号,进而 利用排除法可 得答案. 解:函数
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的 定义域为 (﹣∞, 0)∪ (0,+∞) , 且 f(﹣x) =

=﹣ ﹣f(x)

=

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故函数为奇函 数,图象关于原 点对称, 故A错 误 由分子中 cos3x 的符号呈周期 性变化,故函数 的符号也呈周 期性变化,故 C 错误; 不 x∈(0, )

点评:

时,f(x)>0, 故 B 错误 故选:D 本题考查函数 的图象的综合 应用,对数函数 的单调性的应 用,考查基本知 识的综合应用, 考查数形结合, 计算能力.判断 图象问题,一般 借助:函数的定 义域、值域、单 调性、奇偶性、 周期性、以及函 数的图象的变 化趋势等等. )

15. (2014?河东区一模)若方程 f(x)﹣2=0 在(﹣∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

函数的图象与 图象变化. 作图题;数形结 合;转化思想. 根据方程 f(x) ﹣2=0 在 (﹣∞, 0)内有解,转 化为函数 f(x) 的图象和直线
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解答:

点评:

y=2 在 (﹣∞, 0) 上有交点. 解:A:与直线 y=2 的交点是 (0,2) ,不符 合题意,故不正 确; B:与直线 y=2 的无交点,不符 合题意,故不正 确; C:与直线 y=2 的在区间(0, +∞)上有交点, 不符合题意,故 不正确; D:与直线 y=2 在(﹣∞,0)上 有交点,故正 确. 故选 D. 考查了识图的 能力,体现了数 形结合的思想, 由方程的零点 问题转化为函 数图象的交点 问题,体现了转 化的思想方法, 属中档题.

16. (2014?乌鲁木齐三模)已知函数 f(x)在定义域 R 上的值不全为零,若函数 f(x+1)的图象关于(1,0)对 称,函数 f(x+3)的图象关于直线 x=1 对称,则下列式子中错误的是( ) A.f(﹣x)=f(x) B. ( f x﹣2) =f (x+6) C.f (﹣2+x) +f (﹣D.f(3+x)+f(3 2﹣x)=0 ﹣x)=0 考点: 专题: 分析: 函数的图象与 图象变化. 函数的性质及 应用. 由已知条件求 得 f(4﹣x)= ﹣f(x) …① 、f (x+4)=f(4﹣ x) …② 、 f (x+8) =f(x) …③ .再 利用这 3 个结论 检验各个选项 是否正确,从而
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23

解答:

得出结论. 解:∵ 函数 f (x+1)的图象 关于(1,0)对 称, ∴ 函数 f(x)的 图象关于 (2 , 0) 对称, 令 F(x)=f (x+1) , 则F (x) =﹣F(2﹣x) , 故有 f(3﹣x) =﹣f(x+1) ,f (4﹣x)=﹣f (x) …① . 令 G(x)=f(3 ﹣x) , ∵ 其图象关于直 线 x=1 对称, ∴ G (2+x)=G(﹣ x) , 即 f(x+5)=f (3﹣x) , ∴ f(x+4)=f(4 ﹣x) …② . 由① ② 得, f (x+4) =﹣f(x) , ∴ f(x+8)=f (x) …③ . ∴ f(﹣x)=f(8 ﹣x)=f(4+4﹣ x) , 由② 得 f[4+(4 ﹣x)]=f[4﹣(4 ﹣x)]=f(x) , ∴ f (﹣x) =f (x) , ∴ A 对. 由③ 得 f(x﹣ 2+8) =f (x﹣2) , 即 f(x﹣2)=f (x+6) ,∴ B 对. 由① 得, f (2﹣x) +f(2+x)=0, 又(﹣ f x) =f (x) , ∴ f(﹣2﹣x)+f (﹣2+x)=f(2 ﹣x)+f(2+x) =0,∴ C 对. 若 f(x+3)+f
24

点评:

(3﹣x)=0,则 ( f 6+x) =﹣( f x) , ∴ ( f 12+x) =f (x) , 由③ 可得 f (12+x)=f (4+x) ,又 f (x+4)=﹣f (x) ,∴ f(x)= ﹣f(x) ,∴ f(x) =0,与题意矛 盾,∴ D 错, 故选:D. 本题主要考查 函数的奇偶性、 单调性、周期性 的应用,函数的 图象及图象变 换. ) D.

17. (2014?西藏一模)函数 y=x+cosx 的大致图象是( A. B. C.

考点:

专题: 分析:

解答:

函数的图象与 图象变化;函数 的图象. 计算题;数形结 合. 先研究函数的 奇偶性知它是 非奇非偶函数, 从而排除 A、C 两个选项,再看 此函数与直线 y=x 的交点情 况,即可作出正 确的判断. 解:由于 f(x) =x+cosx, ∴ f(﹣x)=﹣ x+cosx, ∴ f (﹣x) ≠f (x) , 且 f(﹣x)≠﹣f (x) ,
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25

故此函数是非 奇非偶函数,排 除③ ④ ; 又当 x= 时,

x+cosx=x, 即 f(x)的图象 与直线 y=x 的交 点中有一个点 的横坐标为 ,排除① . 故选 B. 本题考查函数 的图象,考查同 学们对函数基 础知识的把握 程度以及数形 结合的思维能 力,属于中档 题.

点评:

18. (2014?凉山州一模)函数 y= A. B.

的图象大致是( C.

) D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象与 图象变化. 函数的性质及 应用. 求出函数的定 义域,通过函数 的定义域,判断 函数的奇偶性 及各区间上函 数的符号,进而 利用排除法可 得答案. 解:函数 f(x)
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=y=



定义域为 (﹣∞,

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﹣ )∪ (﹣ , 0)∪ (0, )∪ ( ,+∞) ,四 个图象均满足; 又∵ f(﹣x) = =f (x) ,故函数为 偶函数,故函数 图象关于 y 轴对 称,四个图象均 满足; 当 x∈(0, ) 时, y= = <0,可 排除 B, D 答案; 当 x∈( ,+∞) 时, y= = >0,可 排除 C 答案; 故选:A 本题考查函数 的图象的综合 应用,对数函数 的单调性的应 用,考查基本知 识的综合应用, 考查数形结合, 计算能力.判断 图象问题,一般 借助:函数的定 义域、值域、单 调性、奇偶性、 周期性、以及函 数的图象的变 化趋势等等.
27

=

点评:

19. (2014?海南模拟)已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x﹣1) ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=3 + ,则 f (lo 5)的值等于( B. ) C. D.1

x

A.﹣1

考点:

函数解析式的 求解及常用方 法;函数的值.
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专题: 分析:

解答:

计算题;函数的 性质及应用. 通过已知条件 判断求出函数 的周期,判断对 数值的范围,利 用偶函数与周 期转化自变量 的值满足已知 函数表达式,求 出函数值即可. 解: ∵ 偶函数 y=f (x) 满足条件 f (x+1)=f(x﹣ 1) , ∴ f (x+2) =f (x) , 周期为:2, ∵ 当 x∈[﹣1,0] 时, ( f x) =3 + , ∴ lo 5=﹣ ∈(﹣2, ﹣1) ,2﹣ ∈(0,1) f(lo ﹣ ( = =1. 5)=f(2 )=f ﹣2) =
x

28

点评:

故选 D. 本题考查函数 的周期奇偶性 以及函数的解 析式的应用,考 查计算能力.

20. (2014?房山区二模)对任意两实数 a,b,定义运算“*”:a*b= 列四个结论: ① 函数 f(x)的最小值是 e; ② 函数 f(x)为偶函数; ③ 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ④ 函数 f(x)的图象与直线 y=ex 没有公共点; 其中正确结论的序号是( ) ③ ③ ④ A.① B.② C.① 考点: 函数解析式的 求解及常用方 法;函数的图 象. 函数的性质及 应用. 求出函数 f(x) 的解析式,求出 函数的最小值 判断① 的正误; 利用奇偶性定 义判断② 的正 误;利用函数的 单调性判断③ 的 正误;利用函数 的图象的交点 判断④ 的正误. 解:由题意得, 函数 f(﹣x)=e
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,关于函数 f(﹣x)=e *e ,给出下

﹣x

x

④ D.②

专题: 分析:

解答:



x

*e =

x

∴ f(x) =

对于① ,∵ f(0) 0 =e =1,∴ f(x)
29

的最小值是 1, ∴ ① 错误; 对于② , ∵ f (﹣x) =e *e =e *e x =f(x) ,∴ f(x) 为偶函数,∴ ② 正 确; 对于③ ,当 x>0 x 时,f(x)=e 是增函数,∴ ③ 正 确; 对于④ ,构造函 数 g(x)=e ﹣ ex,其中 x>0, 当 x=1 时, g (x) =0, ∴ 函数 g (x) 有零点, ∴ 函数 f(x)与 y=ex 有公共点, ∴ ④ 错误. 所以,正确的结 论有② ③ . 故选:B. 本题考查了新 定义的函数的 性质以及应用 问题,解题时应 综合分析题目 中的条件和结 论,寻找解答问 题的途径,是中 档题.
2 x
﹣x

x

x



点评:

21. (2014?洛阳二模)已知函数 f(n)=n cos(nπ) ,且 an=f(n)+f(n+1) ,则 a1+a2+a3+…+a100=( A.0 B.﹣100 C.100 D.10200 考点: 分段函数的解 析式求法及其 图象的作法;数 列的求和;数列 递推式. 压轴题. 先求出分段函 数 f(n)的解析 式,进一步给出 数列的通项公 式,再使用分组 求和法,求解. 解:
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专题: 分析:

解答:

30



, 由 an=f(n)+f (n+1) =(﹣1) ?n + n+1 (﹣1) ? 2 (n+1) n 2 =(﹣1) [n ﹣ 2 (n+1) ] n+1 =(﹣1) ? (2n+1) , 得 a1+a2+a3+…+a10 0=3+(﹣5)+7+ (﹣9) +…+199+(﹣ 201) =50× (﹣2) =﹣100. 故选 B 本小题是一道 分段数列的求 和问题,综合三 角知识,主要考 查分析问题和 解决问题的能 力.
n 2

点评:

22. (2014?河西区三模) 已知实数 a≠0, 函数 A. B. C. D.

, 若f (1﹣a) =f (1+a) , 则 a 的值为 (



考点:

专题: 分析:

分段函数的解 析式求法及其 图象的作法. 计算题;分类讨 论. 由 a≠0, f (1﹣a) =f(1+a) ,要求 f(1﹣a) ,与 f (1+a) ,需要判 断 1﹣a 与 1+a 与 1 的大小,从 而需要讨论 a 与 0 的大小,代入
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解答:

可求 解:∵ a≠0,f(1 ﹣a)=f(1+a) 当 a>0 时,1﹣ a<1<1+a,则 f (1﹣a)=2(1 ﹣a)+a=2﹣a, f(1+a)=﹣ (1+a)﹣2a=﹣ 1﹣3a ∴ 2﹣a=﹣1﹣ 3a,即 a=﹣ (舍) 当 a<0 时,1+a <1<1﹣a,则 f (1﹣a)=﹣(1 ﹣a)﹣2a=﹣1 ﹣a,f(1+a)=2 (1+a) +a=2+3a ∴ ﹣1﹣a=2+3a 即 综上可得 a=﹣ 故选 A 本题主要考查 了分段函数的 函数值的求解, 解题的关键是 把 1﹣a 与 1+a 与 1 的比较,从 而确定 f(1﹣a) 与 f(1+a) ,体 现了分类讨论 思想的应用.

点评:

23. (2014?江西二模)函数 A. B.

的图象可能是( C.

) D.

考点: 专题:

函数的图象. 函数的性质及

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32

分析:

解答:

应用. 根据分数函数 的性质进行化 简判断即可. 解: ∵ =

点评:

, ∴ 对应的图象为 B. 故选:B. 本题主要考查 函数图象的识 别和判断,根据 分数函数的性 质是解决本题 的关键,比较基 础. )

24. (2014?呼和浩特一模)若实数 x、y 满足|x﹣1|+lny=0,则 y 关于 x 的函数的图象大致形状是( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 由恒等变形得 出,y 关于 x 的 函数解析式,由 类指数函数的 性质,即判断函 数的单调性和 最值,可得出答 案. 解:|x﹣ 1|+lny=0?lny=
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﹣|x﹣1|?y=e
|x﹣ 1|



?

, ∴ 当 x≥1 时,单
33

点评:

调递减, 当 x<1 时,单调递增, 且当 x=1 时函数 有最大值 y=1, 当 x→﹣∞, x→+∞时, y→0, 结合以上分析, 知答案为 D. 故选:D. 本题考查了,等 价变形,极限思 想,分类讨论思 想,利用函数的 单调性和最值 判断函数的图 象,是常考的题 型.属于基础 题. 的图象大致为( C. ) D.

25. (2014?滨州二模)函数 f(x)= A. B.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 先研究函数的 性质,可以发现 它是一个奇函 数,再研究函数 在原点附近的 函数值的符号, 从而即可得出 正确选项. 解:此函数是一 个奇函数,故可 排除 B,D 两个 选项; 又当自变量从 原点左侧趋近 于原点时,函数 值为负,图象在 X 轴下方, 当自变量从原 点右侧趋近于 原点时,函数值
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点评:

为正,图象在 x 轴上方,故可排 除 B,A 选项符 合, 故选 A. 本题考查由函 数的性质确定 函数图象,其研 究规律一般是 先研究单调性 与奇偶性,再研 究某些特殊值.

26. (2014?济宁二模)函数 f(x)=1﹣x+lgx 的图象大致是( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 利用函数的单 调性,和极大 值,就能判断函 数的图象. 解:定义域为 (0,+∞) ,
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=



∴ 当 x∈ (0, lge) , 时 f′ (x)<0, f (x) 单调递减, 当 x∈ (lge, +∞) 时,f′ (x)>0, f (x) 单调递增, 当 x=lge 时,f (x)取得极大 值也是最大值, f(lge)=1﹣ lge+lg(ge) =

>0, ∴ f (x) 的图象为
35

点评:

A. 故选;A. 考查函数的单 调性,极值和最 值.属于基础 题. ,当点 A 在以原点 O 为圆心的单位圆上运动时,点 B 在 x 轴上滑动, ,0)∪ ( 0, ]上的大致图象是( )

27. (2014?吉安二模)如图,已知线段 AB=

设∠ AOB=θ,记 S(θ)为三角形 AOB 的面积,则 S(θ)在[﹣

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的图象. 函数的性质及 应用. 可利用特殊值 法来做.根据已 知,分别给出 θ 的一些值,求出 对应的 x (θ) 的 值,再结合图象 判断即可. 解:∵ S(θ)为 三角形 AOB 的 面积, ∴ S (θ) ≥0, 可以排除 A,
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又当 θ=

,或 时,S

(θ) = >0, 可 以排除 B, 当 θ= =S( ,S(θ) ) , 当 θ= ,

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= 当 =S (

, , S (θ)

= ,

点评:

易知,S(θ)的 图象为非线性 的, 可以排除 D, 所以选 C. 故选:C. 本题考查了选 择题中利用特 殊值法求图象, 做题时要认真 观察.

28. (2014?崇明县二模)某同学对函数 f(x)=

进行研究后,得出以下五个结论:

① 函数 y=f(x)的图象是轴对称图形; ② 函数 y=f(x)对任意定义域中 x 值,恒有|f(x)|<1 成立; ③ 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有无穷多个交点,且每相邻两交点间距离相等; ④ 对于任意常数 N>0,存在常数 b>a>N,函数 y=f(x)在[a,b]上单调递减,且|b﹣a|≥1; ⑤ 当常数 k 满足 k≠0 时,函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 考点: 专题: 分析: 函数的图象. 函数的性质及 应用. 抓住函数 f(x) 的图象与性质 来求解. 解:① f(x)的定 义域为 (﹣∞, 0) ∪ (0,+∞) ,且 f(﹣x)=f(x) , 所以 f(x)为偶 函数,故① 正确; ② 根据正弦值在 单位圆中的定 义可知,|sinx| <|x|,即在 x∈ (0,1]时,有
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解答:

37

, 又因为|sinx|≤1, 所以在 x>1 时, 有 . 又因为 f(x)为 偶函数,所以在 其定义域内有 , 故② 正确; ③ 函数 f(x)的 图象与 x 轴的交 点坐标为(kπ, 0) (k≠0) ,∴ 交 点(﹣π,0)与 (π,0)的距离 为 2π, 而其余任 意两点之间的 距离为 π,故③ 错误; ④ 令 , h2(x)=sinx, 两函数在

上均单调递减, 且均为正值, ∴ f(x)在

上单调递减,对 于任意常数 N> 0,存在常数 b >a>N,a, b∈

,函数 f(x)在 [a,b]上单调递 减,且|b﹣a|≥1, 故④ 正确; ⑤ f (x) 的大致图 象如图所示, y=kx 与 f(x)
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的图象可能有 2 个交点,故⑤ 错 误. 故正确的为 ① ② ④ ,为 3 个,

点评:

故选:C. 本题考查了函 数的图象与性 质,有一定的难 度,且易错,只 有冷静分析,方 可得到正解. .下列命题:

29. (2014?河北区三模)已知函数 f(x)= ① 函数 f(x)的图象关于原点对称; ② 函数 f(x)是周期函数; ③ 当 x= 时,函数 f(x)取最大值;

④ 函数 f(x)的图象与函数 y= 的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( ) ③ ③ A.① B.② 考点: 专题: 分析: 函数的图象. 函数的性质及 应用. 研究函数相应 性质,逐一判 断. 解:函数定义域
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④ C.①

④ D.②

解答:

39

为 R, 且f (﹣x) =﹣f(x) ,即函 数为奇函数,故 ① 正确; y=sinx 是周期函 2 数,而 y=x +1 不是周期函数, 故 f(x)不是周 期函数,即② 错 误;



,故 不是最值,即③ 错误; 因为

,当 x>0 时,

,故

,f(x)<0; 当 x>0 时,

,故

,f(x)>0.即 函数 f(x)的图 象与函数 y= 的图象没有公 共点,④ 正确. 故选:C. 本题考查了函 数的奇偶性、周 期性、最值与图 象问题,属中档 题,须逐一研究
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点评:

之.

30. (2014?焦作一模)已知函数 (1)+f(2)+f(3)+f(4)=( A.0 B.1 ) C.

,则 f(﹣4)+f(﹣3)+f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

函数的值. 计算题. 本题应考查题 设中所给条件 的规律,由定义 在 R 上的函数 f (x)满足 x﹣ x=0,f(x)+f (﹣x)=1,可 以看出,当自变 量的和为 0 时, 其函数值和为 1,可用此规律 解题,由此问题 得解. 解:因为
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,所以

= =1, 所以 f(﹣4)+f (﹣3) +f (﹣2) +f(﹣1)+f(0) +f(1)+f(2) +f(3)+f(4) =4+ = . 故选 C. 本题考点是求 函数的值,考查 根据函数的特 性观察出规律, 利用规律求值
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点评:

的能力,本题对 观察能力要求 较高.

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