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2013年河北省高考数学试卷(理科)详细解析版


2013 年河北省高考数学试卷(理科)
(参考答案与试题解析) 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分) (2013?上海)计算: = .

考点: 数列的极限.1483908 专题: 计算题. 分析: 由数列极限的意义即可求解. 解答: 解: = = ,

故答案为: . 点评: 本题考查数列极限的求法,属基础题.

2. (4 分) (2013?上海)设 m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位, 则 m= ﹣2 .

考点: 复数的基本概念.1483908 专题: 计算题. 分析: 根据纯虚数的定义可得 m2﹣1=0,m2﹣1≠0,由此解得实数 m 的值. 解答: 解:∵复数 z=(m2+m﹣2)+(m﹣1)i 为纯虚数, ∴m2+m﹣2=0,m2﹣1≠0,解得 m=﹣2, 故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,得到 m2+m﹣2=0,m2﹣1≠0,是解题的关键,属 于基础题.

3. (4 分) (2013?上海)若

=

,x+y=

0 .

考点: 二阶行列式的定义.???????? ? 专题: 常规题型.? ? 分析: 利用行列式的定义,可得等式,配方即可得到结论.? ? 解答: ? 解:? ? ,?

???????﹣???? ?(???)???? ??????? 故答案为?? 点评: 本题考查二阶行列式的定义,考查学生的计算能力,属于基础题.? ? 4. (4 分) (2013?上海) 已知△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 若 3a2+2ab+3b2 ﹣3c2=0,则角 C 的大小是 .

考点: 余弦定理.1483908 专题: 解三角形. 把式子 3a2+2ab+3b2﹣3c2=0 变形为 分析: 即可得出. 解:∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0,∴ 解答: ∴ ∴C= = . = . , ,再利用余弦定理

2

故答案为



点评: 熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键.

5. (4 分) (2013?上海)设常数 a∈R,若 则 a= ﹣2 .

的二项展开式中 x7 项的系数为﹣10,

考点: 二项式系数的性质.1483908 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 r+1 项,令 x 的指数为 7 求得 x7 的系数,列出方程求解即可. 解: 解答: 的展开式的通项为 Tr+1=C5rx10﹣2r( )r=C5rx10﹣3rar

令 10﹣3r=7 得 r=1, ∴x7 的系数是 aC51 ∵x7 的系数是﹣10, ∴aC51=﹣10, 解得 a=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题主要考查了二项式系数的性质. 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的 特定项问题的工具.

3

6. (4 分) (2013?上海)方程 考点: 函数的零点.1483908 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简方程 可得 x 的值. 解答: 解:方程 + =3x﹣1,即 + =3x﹣1 为

+ =3x﹣1 的实数解为 log34 .

=3x﹣1,即(3x﹣4) (3x+2)=0,解得 3x=4,

=3x﹣1,即 8+3x=3x﹣1( 3x+1﹣3) ,

化简可得 32x﹣2?3x﹣8=0,即(3x﹣4) (3x+2)=0. 解得 3x=4,或 3x=﹣2(舍去) , ∴x=log34, 故答案为 log34. 点评: 本题主要考查指数方程的解法,指数函数的值域,一元二次方程的解法,属于基 础题. 7. (4 分) (2013?上海)在极坐标系中,曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的 距离为 .

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式.1483908 专题: 计算题. 分析: 联立 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 消掉 θ 即可求得 ρ,即为答案. 解答: 解:由 ρ=cosθ+1 得,cosθ=ρ﹣1,代入 ρcosθ=1 得 ρ(ρ﹣1)=1, 解得 ρ= 或 ρ= (舍) , ,

所以曲线 ρ=cosθ+1 与 ρcosθ=1 的公共点到极点的距离为
4

故答案为:



点评: 本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化,属基础题. 8. (4 分) (2013?上海)盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从 中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 示) . 考点: 古典概型及其概率计算公式.1483908 专题: 概率与统计. 分析: 利用组合知识求出从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个球中,任意取出两个球的 取法种数,再求出从 5 个奇数中任意取出 2 个奇数的取法种数,求出取出的两个 球的编号之积为奇数的概率, 利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为 偶数的概率. 解:从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个球中,任意取出两个球的取法种数为 解答: 种. 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 故答案为 点评: 本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了简单的排列组合知识,考查了对 立事件的概率,解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数,是基础 题. 9. (4 分) (2013?上海)设 AB 是椭圆 Γ 的长轴,点 C 在 Γ 上,且∠CBA= ,若 AB=4, BC= ,则 Γ 的两个焦点之间的距离为 . 种. . . (结果用最简分数表

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.1483908

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意画出图形,设椭圆的标准方程为 ,由条件结合等腰直角三角形的

边角关系解出 C 的坐标,再根据点 C 在椭圆上求得 b 值,最后利用椭圆的几何 性质计算可得答案. 解答: 解:如图,设椭圆的标准方程为 由题意知,2a=4,a=2. ∵∠CBA= ,BC= 因点 C 在椭圆上,∴ ∴b2= , ∴c2=a2﹣b2=4﹣ = ,c= , . ,∴点 C 的坐标为 C(﹣1,1) , , ,

则 Γ 的两个焦点之间的距离为 故答案为: .

点评: 本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用.

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10. (4 分) (2013?上海)设非零常数 d 是等差数列 x1,x2,…,x19 的公差,随机变量 ξ 等可能地取值 x1,x2,…,x19,则方差 Dξ= 30d2 .

考点: 极差、方差与标准差.1483908 专题: 概率与统计. 利用等差数列的前 n 项和公式可得 x1+x2+…+x19= 分析: 公式即可得出 Eξ,再利用方差的计算公式即可得出 Dξ= 解答: 解:由题意可得 Eξ= = 即可得出. =x1+9d. 和数学期望的计算

∴xn﹣Eξ=x1+(n﹣1)d﹣(x1+9d)=(n﹣10)d, ∴Dξ= = = =30d2. 故答案为 30d2. 点评: 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键. +…+(﹣d)2+0+d2+(2d)2+…+(9d)2]

11. (4 分) (2013?上海)若 cosxcosy+sinxsiny= ,sin2x+sin2y= ,则 sin(x+y)=



考点: 三角函数的和差化积公式;两角和与差的余弦函数.1483908 专题: 三角函数的求值.
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利用两角差的余弦公式及 cosxcosy+sinxsiny= ,可得 cos(x﹣y)= ,再利用和 分析: 差化积公式 sin2x+sin2y= ,得到 2sin(x+y)cos(x﹣y)= ,即可得出 sin(x+y) . 解:∵cosxcosy+sinxsiny= ,∴cos(x﹣y)= . 解答: ∵sin2x+sin2y= ,∴2sin(x+y)cos(x﹣y)= , ∴ ∴sin(x+y)= . 故答案为 . 点评: 熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键. ,

12. (4 分) (2013?上海)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ +7.若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 . .

考点: 函数奇偶性的性质;基本不等式.1483908 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先利用 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数求出 x≥0 时函数的解析式,将 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立转化为函数的最小值≥a+1, 利用基本不等式求出 f (x) 的最小值, 解不等式求出 a 的范围. 解答: 解:因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以当 x=0 时,f(x)=0; 当 x>0 时,则﹣x<0,所以 f(﹣x)=﹣9x﹣ 因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(x)=9x+ ﹣7; +7

8

因为 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立, 所以当 x=0 时,0≥a+1 成立, 所以 a≤﹣1; 当 x>0 时,9x+ 只需要 9x+ 因为 9x+ ﹣7≥a+1 成立,

﹣7 的最小值≥a+1, ﹣7≥2 =6|a|﹣7,

所以 6|a|﹣7≥a+1, 解得 所以 故答案为 . 点评: 本题考查函数解析式的求法;考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值;利用 基本不等式求函数的最值. . . ,

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13. (4 分) (2013?上海) 在 xOy 平面上,将两个半圆弧(x﹣1)2+y2=1(x≥1)和(x ﹣3)2+y2=1(x≥3) ,两条直线 y=1 和 y=﹣1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分, 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 Ω.过(0,y) (|y|≤1)作 Ω 的水平截面,所得截 面积为 4π +8π.试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 Ω 的体

积值为 2π2+16π .

考点: 进行简单的合情推理.1483908 专题: 计算题;阅读型. 分析: 由题目给出的 Ω 的水平截面的面积, 可猜想水平放置的圆柱和长方体的量, 然后 直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 解:因为几何体为 Ω 的水平截面的截面积为 4 解答: 两部分组成, 一部分为定值 8π,看作是截一个底面积为 8π,高为 2 的长方体得到的,对于 4 ,看作是把一个半径为 1, +8π,该截面的截面积由

高为 2π 的圆柱平放得到的,如图所示,

这两个几何体与 Ω 放在一起,根据祖恒原理,每个平行水平面的截面积相等,故 它们的体积相等,
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即 Ω 的体积为 π?12?2π+2?8π=2π2+16π. 故答案为 2π2+16π. 点评: 本题考查了简单的合情推理, 解答的关键是由几何体 Ω 的水平截面面积想到水平 放置的圆柱和长方体的有关量,是中档题.

14. (4 分) (2013?上海) 对区间 I 上有定义的函数 g (x) , 记g (I) ={y|y=g (x ) , x∈I}. 已 知定义域为[0,3]的函数 y=f(x)有反函数 y=f﹣1(x) ,且 f﹣1([0,1) )=[1,2) ,f﹣1 ( (2,4])=[0,1) .若方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,则 x0= 2 .

考点: 反函数;函数的零点.1483908 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断:当 x∈[0,1)时,x∈[1,2) 时 f(x)的值域,进而可判断此时 f(x)=x 无解;由 f(x)在定义域[0,3]上存 在反函数可知:x∈[2,3]时,f(x)的取值集合,再根据方程 f(x)=x 有解即可 得到 x0 的值. 解答: 解:因为 g(I)={y|y=g(x) ,x∈I},f﹣1([0,1) )=[1,2) ,f﹣1(2,4])=[0,1) ,

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所以对于函数 f(x) , 当 x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4],所以方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解; 当 x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1) ,所以方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解; 所以当 x∈[0,2)时方程 f(x)﹣x=0 即 f(x)=x 无解, 又因为方程 f(x)﹣x=0 有解 x0,且定义域为[0,3], 故当 x∈[2,3]时,f(x)的取值应属于集合(﹣∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞) , 故若 f(x0)=x0,只有 x0=2, 故答案为:2. 点评: 本题考查函数的零点及反函数,考查学生分析解决问题的能力,属中档题.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (5 分) (2013?上海)设常数 a∈R,集合 A={x|(x﹣1) (x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1}, 若 A∪B=R,则 a 的取值范围为( A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] ) C.(2,+∞) D.[2,+∞)

考点: 并集及其运算;一元二次不等式的解法.1483908 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 当 a>1 时,代入解集中的不等式中,确定出 A,求出满足两集合的并集为 R 时 的 a 的范围;当 a=1 时,易得 A=R,符合题意;当 a<1 时,同样求出集合 A, 列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集得到 a 的范围.综上,得到满足题意的 a 范围. 解答: 解:当 a>1 时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞) ,B=[a﹣1,+∞) ,

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若 A∪B=R,则 a﹣1≤1, ∴1<a≤2; 当 a=1 时,易得 A=R,此时 A∪B=R; 当 a<1 时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞) ,B=[a﹣1,+∞) , 若 A∪B=R,则 a﹣1≤a,显然成立 ∴a<1; 综上,a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故选 B. 点评: 此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并 集的定义是解本题的关键.

16. (5 分) (2013?上海)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好 货”的( ) B. 必要条件 D.既非充分又非必要条件

A.充分条件 C. 充分必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.1483908 分析: 因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得 到: “好货不便宜”是真命题. 再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好 货”的必要条件. 解答: 解:“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题, 根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题. 所以“好货”?“不便宜”, 所以“不便宜”是“好货”的必要条件,

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故选 B 点评: 本题考查互为逆否命题的真假一致;考查据命题的真假判定条件关系,属于基础 题.

17. (5 分) (2013?上海)在数列(an)中,an=2n﹣1,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai?aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) ,则该矩阵元素能取到 的不同数值的个数为( A.18 ) C.48 D.63

B.28

考点: 数列的函数特性.1483908 分析: 由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai?aj+ai+aj= (2i﹣1) (2j﹣1) +2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) ,要使 aij=amn(i,m=1,2,…,7;j, n=1,2,…,12) . 则满足 2i+j﹣1=2m+n﹣1,得到 i+j=m+n,由指数函数的单调性可得:当 i+j≠m+n 时,aij≠amn,因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和,即可得出. 解答: 解: 该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai?aj+ai+aj= (2i﹣1) (2j﹣1) +2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) , 当且仅当:i+j=m+n 时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12) , 因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和,其和为 2,3,…,19, 共 18 个不同数值. 故选 A. 点评: 由题意得出:当且仅当 i+j=m+n 时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,

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12)是解题的关键.

18. (5 分) (2013?上海)在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余 顶点为终点的向量分别为 分别为 、 、 、 、 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量 + + )?( + + )的最小值、

、 、 、 、 .若 m、M 分别为(

最大值,其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},则 m、M 满 足( ) B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0

A.m=0,M>0

考点: 平面向量数量积的运算;进行简单的合情推理.1483908 专题: 平面向量及应用. 利用向量的数量积公式,可知只有 分析: 从而可结论. 解:由题意,以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 解答: 以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 ∴利用向量的数量积公式,可知只有 ∵m、M 分别为( ∴m<0,M<0 故选 D. 点评: 本题考查向量的数量积运算,考查学生分析解决问题的能力,分析出向量数量积 的正负是关键. + + )?( + + 、 、 、 、 、 、 , 、 、 ; ,其余数量积均小于等于 0,

,其余数量积均小于等于 0, )的最小值、最大值,

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三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (12 分) (2013?上海) 如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1, AA′=1.证明直线 BC′平行于平面 D′AC,并求直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.1483908 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 建立空间直角坐标系,求出平面 D′AC 的一个法向量为 =(2,1,﹣2) ,再根据 =﹣0,可得 ⊥ , 的值,

可得直线 BC′平行于平面 D′AC.求出点 B 到平面 D′AC 的距离 d= 即为直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

解答: 解:以 D′A′所在的直线为 x 轴,以 D′C′所在的直线为 y 轴,以 D′D 所在的直线 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则由题意可得,点 A(1,0,0 ) 、B(1,2,1) 、C(0,2,1) 、C′(0,2,0) 、 D′(0,0,0) . 设平面 D′AC 的一个法向量为 = (u , v, w) , 则由 ⊥ .
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,⊥

, 可得





=(1,0,1) ,

=(0,2,1) ,∴

,解得



令 v=1,可得 u=2,w=﹣2,可得 =(2,1,﹣2) . 由于 =(﹣1,0,﹣1) ,∴ =﹣0,故有 ⊥ .

再由 BC′不在平面 D′AC 内,可得直线 BC′平行于平面 D′AC. 由于 =(1,0,0) ,可得点 B 到平面 D′AC 的距离 d= = = ,

故直线 BC′到平面 D′AC 的距离为 . 点评: 本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行,求直线到平面的距离的方法,体 现了转化的数学思想,属于中档题.

20. (14 分) (2013?上海)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要 求 1≤x≤10) ,每小时可获得的利润是 100(5x+1﹣ )元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并 求此最大利润.

考点: 函数模型的选择与应用.1483908 专题: 应用题.
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分析: (1)求出生产该产品 2 小时获得的利润,建立不等式,即可求 x 的取值范围; (2)确定生产 900 千克该产品获得的利润函数,利用配方法,可求最大利润. 解: (1)生产该产品 2 小时获得的利润为 100(5x+1﹣ )× 2=200(5x+1﹣ ) 解答: 根据题意,200(5x+1﹣ )≥3000,即 5x2﹣14x﹣4≥0 ∴x≥3 或 x≤﹣ ∵1≤x≤10,∴3≤x≤10; (2 ) 设利润为 y 元, 则生产 900 千克该产品获得的利润为 y=100 (5x+1﹣ ) × =90000( )=9× 104[ + ] =457500 元

∵1≤x≤10,∴x=6 时,取得最大利润为

故甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润为 457500 元. 点评: 本题考查函数模型的建立,考查解不等式,考查函数的最值,确定函数的模型是 关键.

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21. (14 分) (2013?上海)已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0 (1)若 y=f(x)在[﹣ , ]上单调递增,求 ω 的取值范围;

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,在向上平移 1 个单位,得到 函数 y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至 少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b﹣a 的最小值.

考点: 正弦函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 变换.1483908 专题: 三角函数的图像与性质. (1)已知函数 y=f(x)在 分析: 单调性可得 ,且 上单调递增,且 ω>0,利用正弦函数的 ,解出即可; .令

(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到 g(x)=2

g(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若 b﹣a 最小,

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则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,mπ+a](m∈N*)恰有 2m+1 个零点,所以在 区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即 可得到 a,b 满足的条件.进一步即可得出 b﹣a 的最小值. 解: (1)∵函数 y=f(x)在 解答: ∴ 解得 ,且 . , 上单调递增,且 ω>0,

(2)f(x)=2sin2x,∴把 y=f(x)的图象向左平移 个单位,在向上平移 1 个 单位,得到 ∴函数 y=g(x)= 令 g(x)=0,得 , , ,或 x= . (k∈Z) .

∴相邻两个零点之间的距离为 或

若 b﹣a 最小, 则 a 和 b 都是零点, 此时在区间[a, π+a], [a, 2π+a], …, [a, mπ+a] (m∈N*)分别恰有 3,5,…,2m+1 个零点, 所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零 点, ∴ . 恰有 30 个零点, .

另一方面,在区间 因此 b﹣a 的最小值为

点评: 本题综合考查了三角函数的单调性、 周期性、 函数的零点等基础知识与基本技能, 考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.

22. (16 分) (2013?上海)如图,已知双曲线 C1:

,曲线 C2:|y|=|x|+1,P 是

平面内一点,若存在过点 P 的直线与 C1,C2 都有公共点,则称 P 为“C1﹣C2 型点“

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(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1﹣C2 型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出 一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2 型点”; (3)求证:圆 x2+y2= 内的点都不是“C1﹣C2 型点”

考点: 直线与圆锥曲线的关系;点到直线的距离公式;双曲线的简单性质.1483908 专题: 新定义;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为( ) ,当过左焦点的直线的

斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2 型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值 大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率; (2)由直线 y=kx 与 C2 有公共点联立方程组有实数解得到|k|>1,分过原点的直 线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1 和 C2 有公 共点; (3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线 y=x± 1 与 y=﹣x± 1 之间,进而说 明当|k|≤1 时过圆 过圆 内的点且斜率为 k 的直线与 C2 无公共点,当|k|>1 时,

内的点且斜率为 k 的直线与 C2 有公共点, 再由圆心到直线的距离小

于半径列式得出 k 的范围,结果与|k|>1 矛盾.从而证明了结论. 解答: (1)解:C1 的左焦点为( 或 ,其中 ) ,写出的直线方程可以是以下形式: .

(2)证明:因为直线 y=kx 与 C2 有公共点,

21

所以方程组

有实数解,因此|kx|=|x|+1,得



若原点是“C1﹣C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1、C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1) . 显然直线 x=0 与 C1 无公共点. 如果直线为 y=kx(|k|>1) ,则由方程组 所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 因此原点不是“C1﹣C2 型点”. (3)证明:记圆 O: ,取圆 O 内的一点 Q,设有经过 Q 的直线 l 与 C1, ,得 ,矛盾.

C2 都有公共点,显然 l 不与 x 轴垂直, 故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x± 1 与 y=﹣x± 1 之间,因此圆 O 也夹在直 线 y=kx± 1 与 y=﹣kx± 1 之间, 从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为 l 与 C1 由公共点,所以方程组 得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0. 因为|k|>1,所以 1﹣2k2≠0, 因此△ =(4kb)2﹣4(1﹣2k2) (﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0, 即 b2≥2k2﹣1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 所以 因此,圆 ,从而 , 有实数解,

,得 k2<1,与|k|>1 矛盾.

内的点不是“C1﹣C2 型点”.

22

点评: 本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与 圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压 轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问 题等. 突出考查了数形结合、 分类讨论、 函数与方程、 等价转化等数学思想方法. 属 难题.

23. (18 分) (2013?上海)给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列 a1, a2,a3,…满足 an+1=f(an) ,n∈N*. (1)若 a1=﹣c﹣2,求 a2 及 a3; (2)求证:对任意 n∈N*,an+1﹣an≥c; (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1; 若不存在,说明理由.

考点: 数列的函数特性;等差关系的确定;数列与函数的综合.1483908 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)对于分别取 n=1,2,an+1=f(an) ,n∈N*.去掉绝对值符合即可得出; (2)由已知可得 f(x)= ,分三种情况讨论即可证明;

(3)由(2)及 c>0,得 an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论: 当 a1<﹣c﹣4 时,当﹣c﹣4≤a1<﹣c 时,当 a1≥﹣c 时.即可得出 a1 的取值范围. 解答: 解: (1)a2=f(a1)=f(﹣c﹣2)=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2, a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|﹣|2+c|=2(6+c)﹣(c+2)=c+10. (2)由已知可得 f(x)=

23

当 an≥﹣c 时,an+1﹣an=c+8>c; 当﹣c﹣4≤an<﹣c 时,an+1﹣an=2an+3c+8≥2(﹣c﹣4)+3c+8=c; 当 an<﹣c﹣4 时,an+1﹣an=2an﹣c>﹣2(﹣c﹣4)﹣c﹣8=c. ∴对任意 n∈N*,an+1﹣an≥c; (3)由(2)及 c>0,得 an+1≥an,即{an}为无穷递增数列. 又{an}为等差数列, 所以存在正数 M, 当 n>M 时, an≥﹣c, 从而 an+1=f (an) =an+c+8, 由于{an}为等差数列, 因此公差 d=c+8. ①当 a1<﹣c﹣4 时,则 a2=f(a1)=﹣a1﹣c﹣8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8,即 a1=﹣c﹣8,从而 a2=0, 当 n≥2 时,由于{an}为递增数列,故 an≥a2=0>﹣c, ∴an+1=f(an)=an+c+8,而 a2=a1+c+8,故当 a1=﹣c﹣8 时,{an}为无穷等差数列, 符合要求; ②若﹣c﹣4≤a1<﹣c,则 a2=f(a1)=3a1+3c+8,又 a2=a1+d=a1+c+8, ∴3a1+3c+8=a1+c+8,得 a1=﹣c,应舍去; ③若 a1≥﹣c,则由 an≥a1 得到 an+1=f(an)=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符 合要求. 综上可知:a1 的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c,+∞) . 点评: 本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基 础知识与方法,考查了推理能力和计算能力.

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