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【高考领航】(北师大版)高三数学(理)大一轮练习:4.3平面向量的数量积及平面向量的应用(含答案解析)

课时规范训练 [A 级 基础演练] 1. (2014· 高考大纲全国卷)若向量 a, b 满足: |a|=1, (a+b)⊥a, (2a+b)⊥b, 则|b|=( A.2 C.1 B. 2 D. 2 2 ) 解析:利用向量的运算列式求解. ? ? 由题意知? ? ? + + =0, 2 ? a=0, ① ?a +b· ? 即 将①× 2-②得,2a2-b2=0,∴b2 2 ? =0, b+b =0, ② ?2a· =|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|= 2. 答案:B 2.(2015· 高考重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角 为( ) π A. 3 2π C. 3 5π D. 6 π B. 2 解析:∵a⊥(2a+b),∴a· (2a+b)=0, ∴2|a|2+a· b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0. ∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2 ∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a,b〉= π. 2 3 答案:C 3.(2014· 高考重庆卷)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k =( ) 9 A.- 2 C.3 B.0 15 D. 2 解析:因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a -3b)⊥c,所以(2a-3b)· c=(2k-3,-6)· (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k=3.故选 C. 答案:C → → → → → 4.(2015· 高考湖北卷)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA· OB=__________. → → → → → → → → → → → → 解析:因为OA⊥AB,所以OA· AB=OA· (OB-OA)=OA· OB-OA2=0,所以OA· OB= → → → → OA2=|OA|2=9,即OA· OB=9. 答案:9 → → π 5.(2016· 洛阳统考)若△ABC 的面积为 2 3,且角 B= ,则AB· BC=__________. 3 → → 1 3 π 解析:依题意得 acsin B= ac=2 3,ac=8,AB· BC=-cacos B=-8× cos =-4. 2 4 3 答案:-4 → → → → → → → AB AC → AC BC 6. (2016· 杭州质检)已知非零向量AB, AC和BC满足 → + → · BC=0, 且 · = → → |AB| |AC| |AC| |BC| ? ? ? ? ? ? 1 ,则△ABC 为________三角形. 2 ? AB AC ? → 解析:∵? → + → ?· BC=0,∴cos B=cos C. ?|AB| |AC|? ∴△ABC 为等腰三角形. → → → → AC BC 1 1 又∵ · = ,∴cos〈AC· BC〉= . → → 2 2 |AC| |BC| → → ∴〈AC· BC〉=∠ACB=60° ,∴△ABC 为等边三角形. 答案:等边 7.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 解:(1)(2a-3b)· (2a+b)=61,解得 a· b=-6. a· b -6 1 2π ∴cos θ= = =- ,又 0≤θ≤π,∴θ= . |a||b| 4× 3 2 3 (2)|a+b|2=a2+2a· b+b2=13,∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· b+b2=37.∴|a-b|= 37. 8.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p 边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 解:(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B, → → a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S= absin C= × 4× sin = 3. 2 2 3 [B 级 能力突破] → → → → 1.(2015· 厦门质检)已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA → → → → → → → → +NB+NC=0,PA· PB=PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心 ) → → → 解析:因为|OA|=|OB|=|OC|,所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等,所以 O 为三 → → → → → → → 角形 ABC 的外心;由NA+NB+NC=0,得NA+NB=-NC=CN,由中线的性质可知点 N 在三角形 AB 边的中线上,同理可得点 N 在其他边的中线上,所以点 N 为三角形 ABC 的重 → → → → → → → → → → → → 心;由PA· PB=PB· PC=PC· PA,得PA· PB-PB· PC=PB· CA=0,则点 P 在 AC 边的垂线上, 同理可得点 P 在其他边的垂线上,所以点 P 为三角形 ABC 的垂心. 答案:C → → 2.(2015· 高考四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N

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