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山东省2014届理科数学一轮复习试题选编5:指数函数、对数函数、幂函数


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 5:指数函数、对数函数、幂函数
一、选择题 1 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题) 已知幂函数 y=f(x)的图象过点(

1 2 ),则 , 2 2


log2f(2)的值为 A.

( B.-

1 2

1 2

C.2

D.-2

1 1 1 2 , 解 得 ? ? , 所 以 f ( x) ? x , 所 以 f ( x) ? x? , 则 f ( ) ? ( )? ? 2 2 2 2 1 f ( 2 )? 2,即 log 2 f (2) ? log 2 2 ? ,选 A. 2 x 2 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )已知 a>0,b>0,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x ) ? a 与 函数 g ( x) ? 1og b x 的图象可能是
【答案】A 设幂函数为

【答案】D

【解析】因为对数函数 g ( x) ? 1og b x 的定义域为 (0, ??) ,所以排除 A,

C . 因 为 D.

ab ? 1 ,所以 b ?

1 x ,即函数 f ( x) ? a 与 g ( x) ? 1og b x 的单调性相反.所以选 a

3 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)下列函数图象中,正确的是

【答案】C

【解析】A 中幂函数中 a ? 0 而直线中截距 a ? 1 ,不对应.B 中幂函数中 a ? 应.D 中对数函数中 a ? 1 ,而直线中截距 0 ? a ? 1 ,不对应,选 C.
4 .( 山 东 省 枣 庄 三 中
x a

1 而直线中截距 a ? 1 ,不对 2

2013

届 高 三 上 学 期

1

月 阶 段 测 试 理 科 数 学 ) 已 知

f1 ( x) ? a , f 2 ( x) ? x , f3 ( x) ? log a x ,( a ? 0 且 a ? 1 ), 在 同 一 坐 标 系 中 画 出 其 中 两 个 函 数 在

( A.B
【答案】B



C.D

【解析】 A 中 f1 ( x) ? a x 单调递增 , 所以 a ? 1 , 而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递减 , a ? 0 , 所以不正确 .B 中

f3 ( x) ? log a x 单调递增,所以 a ? 1 ,而幂函数 f 2 ( x) ? x a 递增,,所以正确.C 中 f1 ( x) ? a x 单调递增,所
以 a ? 1 ,而 f 3 ( x) ? log a x 递减, 0 ? a ? 1 ,所以不正确.D 中 f1 ( x) ? a x 单调递减,所以 0 ? a ? 1 ,而幂 函数 f 2 ( x) ? x a 递增, a ? 0 ,所以不正确.所以正确的是 B.

5 .(2012 年高考(四川文))函数 y ? a

x

? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是

【答案】

[答案]C

[解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),只有 C 选项符合.
6 . (山东省曲阜市 2013 届高三 11 月月考数学(理)试题)函数 y ? log a (|

x | ?1)( a ?1) 的大致图象是
y

y

y

y

?1
O

O

?1 x

?1

O

?1

x
( )

x
B.

O

x
C. D.

A.
【答案】B

7 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ?

9 ( x ? ?1) ,当 x=a x ?1

时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标系 中,函数 g ( x) ? ( )

1 a

x ?1

的大致图象为

9 9 9 ? x ? 1+ ? 5 ,因为 x ? ?1 ,所以 x ? 1 ? 0, ? 0 ,所以由均值不等式 x ?1 x ?1 x ?1 9 9 9 2 ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? ? 5 ? 1 , 当 且 仅 当 x ?1 ? 得 y ? x ? 1+ , 即 ( x ? 1) ? 9 , 所 以 x ?1 x ?1 x ?1 ? 1 x ?1 1 x ?1 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ?1 , x ? 1 ? 3, x ? 2 时取等号,所以 a ? 2 ,所以 g ( x) ? ( ) ? ( ) ,又 g ( x) ? ( ) ? ? 2 a 2 2 x ? 1 ?2 , x ? ?1 ?
【答案】B y ? x ? 4 ?

所以选

B. )

8 .(2013 陕西高考数学(文))设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( logc b ? logc a loga a ? loga b A. loga b· B. loga b·

C. loga (bc) ? loga b? oga c 【答案】 B
9 .(2013 辽宁高考数学(文))已知函数

D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c

f ? x ? ? ln

? 1 ? 9x

2

A. ? 1 [答案]D

B. 0

C. 1

? 1? ? 3x ? 1, 则 f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2? 2 D.

?



1 f (? x) ? ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 所以 f ( x) ? f (? x) ? 2 ,因为 lg 2 , lg 为相反数,所以所求值为 2. 2 10. (山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题 (理科) ) 若点(a,9)在函数 y ? 3x a? 的图象上,则 tan 的值为 ( ) 3 3 A.0 B. ? C.1 D. ? 3 3 x a 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 点 ( a,9) 在 函 数 y ? 3 的 图 象 上 , 所 以 3 ? 9 , 解 得 a ? 2 , 所 以 a? 2? t a n ? t a n ? ? ,选 3 D 3 3 1 x 11.(2012 年高考(四川理))函数 y ? a ? (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

【答案】

[答案]C C.

[解析]采用排除法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),选项只有 C 符合,故选
12. (2009 高考(山东理))函数

y?

e ?e 的图像大致为 e x ? e? x
x

?x

y 1 O 1 x 1

y

y

y 1 x O 1 D x

1 O1 x
x ?x

O 1

【答案】 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ?e

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

C e ?e e ?1 x ? 0 ? ? 1 ? , 所以当 时函数为减函数 ,故选 A. e x ? e? x e2 x ? 1 e2 x ? 1
x 2x

A?x

2B

13. (2011 年高考(山东理) )若点 ( a,9) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

a? 的值为 6





A. 0
a

B.
2

a? ? ? tan ? 3 ,答案应选 D. 6 3 1 2 4 14. (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 (理) 试题) 设 a ? log 1 , b ? log 1 , c ? log3 , 则 a,b,c 3 3 2 3 3
【答案】解析: 3 ? 9 ? 3 , a ? 2 , tan

3 3

C. 1

D. 3

的大小关系是 A. a ? b ? c 【答案】B

( B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. b ? c ? a



15 . (山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考 ( 数学理 ) ) 若函数 f ( x ) ? ?log ( ? x), x ? 0 , 若 1

?log2 x, x ? 0 ? ? ?
2

( ) af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ( ? ?, ?1 ) ? ( 1, ? ?) A. B. (? 1,0) ? (0,1 ) C. D. (? 1,0) ? ( 1 , ? ?) (? ?, ?1 ) ? (0,1 ) 【答案】 A 【解析】 若 a ? 0 ,则由 af (?a) ? 0 得, a log 1 a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,若 a ? 0 ,则由 af (?a) ? 0
2

得, a log2 (?a) ? 0 ,即 log2 (?a) ? 0 解得 0 ? ? a ? 1 ,所以 ?1 ? a ? 0 ,综上 0 ? a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,选 A.
16.已知曲线 C1 : 9x
2

A. 0
【答案】

? 4 y2 ? 36 ,曲线 C2 : y ? 3x?1 ,则 C1 与 C2 的交点个数为 B. 1 C. 2 D. 3
C.





17( .山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题) 已知函数

?log 2 x, x ? 0, 1 f ? x? ? ? x 若 f ?a? ? , 2 ?2 , x ? 0.
( )

则 a 等于 A. ?1 或 2 B. 2 C. ?1 D.1 或 ? 2
【答案】A【解析】若 a ? 0 ,则由 f ? a ? ?

1 1 1 得, log 2 a ? ,解得 a ? 2 .若 a ? 0 ,则由 f ? a ? ? 得 2 2 2
( )

2a ?
A.

1 ,解得 a ? ?1 ,所以 a ? 2 或 a ? ?1 ,选 2

18.(2013 福建高考数学(文))函数

f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是

( A. B. C. D.



【答案】 A 【解析】 本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知 f ( x) ? f (? x) ,即函数为偶函数,

排除 C;由函数过 (0,0) 点,排除 B,
19.(2013 上海春季数学(理))函数

D.
1 ? 2

f ( x) ? x 的大致图像是
y y

y

y

0

A

x

0

B

x

0 C

x

0 D

x ( )

【答案】

A.
20 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学) 已知 log 1 ( x ?

y ? 4) ? log 1 (3 x ? y ? 2) , 若
2

A. ? ??,10?

x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
B. ? ??,10 ?

2

( C. ?10, ?? ? D. ?10, ?? ?



?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0 ? ? 【答案】 C 要使不等式成立,则有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,即 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,设 z ? x ? y ,则 y ? x ? z . ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ?x ? 3 ? ?

作出不等式组对应的平面区域如图

,平移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线

?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?7 ,解得 ? ,代入 z ? x ? y 得 y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大,由 ? ?x ? 3 ?x ? 3 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 ,所以要使 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ?? ? ,选 C.
21. (山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学 (理) 试题) 幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(4,

1 1 ),则 f( ) 2 4


的值为 A.1

( B.2
2013

C.3

D.4

【答案】B 22 . ( 山 东 省 烟 台 市

届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题 ( 理 科 ) ) 已 知

f ? x ? ? a x ? 2 , g ? x? ? loga x ? a ? 0, a ? 1? ,若 f ? 4 ? ? g ? ?4 ? ? 0 ,则 y= f ? x ? ,y= g ? x ? 在同一坐标系内
的大致图象是

【答案】 B 【解析】由

f ? 4 ? ? g ? ?4 ? ? 0



a 2 ? log a 4 ? 0,? log a 4 ? 0 ? 0 ? a ? 1. ? f ( x) 为减函数,
( ) B.

因此可排除 A.C,而

g ( x) 在 x ? 0 时也为

减函数,故选

23. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科))设 a

1 ? 2 2.5 , b ? 2.5 0 , c ? ( ) 2.5 ,则 a, b, c 的 2
( )

大小关系是 A. a ? c ? b
二、填空题

B. c ? a ? b

C. b ? a ? c

D. a ? b ? c

【答案】D【解析】 a ? 1, b ? 1,0 ? c ? 1, 所以 a 24.(2013 安徽高考数学(文))函数 y ? ln(1 ? 【答案】 ? 0,1?

? b ? c .故选 D

1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 解: ? ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? x 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1

25.(2013 北京高考数学(文))函数 f(x)= ? 【答案】

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ? ?2 ,
x

的值域为_________.

x ?1

1 1 (-∞,2) [解析] 函数 y=log x 在(0,+∞)上为减函数,当 x≥1 时,函数 y=log x 的值域为 2 2 x x (-∞,0];函数 y=2 在上是增函数,当 x<1 时,函数 y=2 的值域为(0,2),所以原函数的值域为(-∞,2).
26.若

f ( x) ? x

??

1 2

? 1 ,且 f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ,则 a 的取值范围为______.
? 1 2

? 1 为定义在 (0, ??) 上的减函数,可知 ?a ? 1 ? 0 ?a ? ?1 ? ? ? ? f (a ? 1) ? f (10 ? 2a) ? ?10 ? 2a ? 0 ? ?a ? 5 ? 3 ? a ? 5 ? ? a ? 1 ? 10 ? 2 a ? ? ? ?a ? 3 x x ?1 27.(2012 年高考(上海文))方程 4 ? 2 ? 3 ? 0 的解是_________. x x 2 x x x 【答案】 [解析] (2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 0 , (2 ? 1)(2 ? 3) ? 0 , 2 ? 3 , x ? log2 3 .
【答案】由 28 . (2012 年高考 ( 山东文 )) 若函数 f ( x) ? ax ( a ? 0, a ? 1)在 [-1,2] 上的最大值为 4, 最小值为 m, 且函数

f ( x) ? x

g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____. 1 1 【答案】 答案: 解析:当 a ? 1 时,有 a2 ? 4, a?1 ? m ,此时 a ? 2, m ? ,此时 g ( x) ? ? x 为减函数,不 4 2 1 1 合题意.若 0 ? a ? 1 ,则 a?1 ? 4, a2 ? m ,故 a ? , m ? ,检验知符合题意. 4 16
另解:由函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数可知 1 ? 4m ? 0, m ?

1 ; 4
1 不符合题意,舍 2

?1 2 当 a ? 1 时 f ( x) ? a x 在[-1,2]上的最大值为 a ? 4,解得 a ? 2 ,最小值为 m ? a ?

?1 去 ; 当 0 ? a ? 1 时 , f ( x) ? a x 在 [-1,2] 上 的 最 大 值 为 a ? 4 , 解 得 a ?

1 ,此时最小值为 4

m ? a2 ?
故 a=

1 1 ? ,符合题意, 16 4

29 .( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 诊 断 性 测 试 理 科 数 学 ) 若 直 线 y ? 2a 与 函 数

1 . 4

y ?| a x ? 1 | ( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是____________. 1 x x 【答案】 (0, ) 【解析】因为 y ? a ? 1 的图象是由 y ? a 向下平移一个单位得到,当 a ? 1 时,作出 2 函数 y ? a x ? 1 的图象如图,此时 y ? 2a ? 2 ,如图象只有一个交点,不成立.
当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 2a ? 2 ,要使两个函数的图象有两个公共点 ,则有 0 ? 2a ? 1 ,即 的取值范围是 (0, ) .

0?a?

1 2 ,所以 a

1 2

30.函数 y

? ( x 2 ? 2 x)

??

1 2

的定义域为_______________
2

【答案】 (2, ??) ? (??,0) .由 y ? ( x

? 2 x)

?

1 2

?

1 x ? 2x
2

,故由 x 2 ? 2x ? 0 ? x ? 2 或 x ? 0 .

31. (山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)当 ? {?1,

1 ,1,3}时, 幂函数 y ? x a 的图 2

象不奇能经过第_____象限. 【答案】二、四


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