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西工大电工卢健康第14届电工学年会论文-“三个相似三角形”在电路教学中的作用


“三个相似三角形”在教学中的作用初探
卢健康 (西北工业大学电工实验教学中心,陕西 西安,710072)
摘要:本文指出了“正弦交流电路”一章中所给出的三个相似三角形在教学中的特殊地位与作用,简述了其 图形与对应的公式,列出了三个相似三角形中蕴含的全部计算公式,详细分析了如何用它指导求解关于阻 抗 Z 的各种计算题。最后还介绍了如何利用三个相似三角形精简串联谐振、并联谐振和并联电容提高感性 负载功率因数等扩展性教学内容的讲授。

The study of "Three Similar Triangles" in teaching
LU Jian-kang
( Northwestern Polytechnical University, Xian 710072, China) Abstract:Three special similar triangles of Sinusoidal AC Circuit are presented in this paper. Schematics

and equations of these triangles are pointed out briefly and their applications at solving problems of impedance Z are specially studied here.Finally, the Triangles' way on simpling computations of series resonance,parallel resonance and the improve of power factor in inductive load circuit are also introduced as further teaching material.

0 引言? 在“电工技术”中,正弦交流电路的内 容无疑是最重要的一章, 因为无论从理论体 系还是从工程实际来讲, 它都是电路分析的 核心内容。而其中的 RLC 串联电路分析一 节,则是该章的重点,可谓重中之重。该节 中引出的(复)阻抗的概念,是正弦电路中 最重要的概念。 它不仅是描述正弦电路中任 何负载元件的最基本相量模型(因为 R、L、 C 单一元件或是 RL、RC、LC 这样的串联 组合也都可用阻抗描述) ,而且是任一无源 线性二端网络化简到最简时的电路模型。 作 为这一节内容分析的结果, 即一个阻抗上各 个元件参数的关系、 各部分电压电流关系及 其功率关系, 最后都简洁直观地浓缩在了阻 抗三角形、电压三角形、功率三角形(以下 简称其为“三个相似三角形” )之中。因而 这三个相似三角形可谓正弦电路内容中最 精彩的妙笔!然而,一般“电工技术”教材 中在引出这三个相似三角形后, 通常只是点
?

出了它具有便于记忆和分析的作用, 而未对 其做进一步讨论。笔者在教学实践中发现 , 如果教师不加以强调 ,学生一般对它也不够 重视。 有鉴于此, 本文对它做一些初步探讨, 研究如何具体利用它分析求解电路, 以便更 好地用它指导学生总结该章内容和求解各 种正弦电路习题。 1 三个相似三角形的图形与公式描述 在 RLC 串联电路中,以电流为参考相 量,并且规定该电路中的每个元件 R、L、C 上的电压及总电压的正方向均与电流正方 向一致, 则描述该电路的三个直角相似三角 形如图 1 所示。下面给出其数学公式的表 述。 阻抗三角形:

Z ?| Z | ?? ? R ? jX
电压三角形:

(1)

U ? U∠? ? U R ? jU X ? U R ? U X
功率三角形:

(2)

S ? S?? ? P ? jQ
其中 S 代表复功率。

(3)

作者简介:卢健康(1956-) , 男 , 硕士, 副教授, 主要从事电工学与机电控制领域的 教学与科研。

三个相似三角形之间的关系用以下三

个公式表述。 阻抗三角形与电压三角形间的关系式:

U X ? U L ? U C ?j ( U L ? U C ) (8)
Q ? QL ? QC ? QL ? |QC |? I (UL ? UC )
2 图 1 所蕴含的计算公式与解题方法 如上所述,图 1 简洁直观地用复平面上 三个相似的直角三角形,全面反映了 RLC 串联电路中的各个物理量和参数间的各种 关系式, 而学生在中学对这样的三角形的边 角关系及其相关三角函数知识已经非常熟 悉,再加上中学已经学过复数知识,因此, 在讲授了 RLC 串联电路的各种电工学概念 和定律之后, 应该充分挖掘和利用图 1 中所 蕴含的电路分析知识和学生中学所打下的 知识基础, 以便有效地指导学生掌握求解正 弦电路计算题的多种方法。 下面对此做详细 (5) (9)

U ? IZ
正弦电路的最重要定律。

(4)

(4)式即相量形式的欧姆定律,它是分析 功率三角形与电压三角形间的关系式:

S? U I ? S ? ?
*
*

(5)式中的 I 表示电流相量 I 的共轭(相量)。

(a) ? ? 0

(b)

? ?0

分析。 图 1 的三个相似三角形共有 9 条边与 9 个角,但只有一个角(图中取为 ? )能够为 独立变量, 再加上三个相似三角形对应边的 比值,共包含有 11 个独立变量。它们的大 小分别代表 RLC 串联电路中的 R、X、|Z|、 UR、UX、U、P、Q、S、 ? 和 I 这 11 个物 理量 (电压三角形中箭头的方向还表示了电 压相量的初相位) 。如果电路中包含 L 和 C 两种储能元件,则尚缺(7)~(9)式中的 XL、 XC、 (6) UL、UC、QL 和 QC 这 6 个物理量。上述 17 个量加上角频率ω 共 18 个量,就是对 RLC 串联电路进行正弦稳态分析的全部物理量。 分析求解线性正弦稳态电路的计算题, 不外 乎就是已知或给定阻抗(本文不考虑导纳) 上的某些量而求出其他部分或全部的量 (有 时还需根据相量求瞬时值,本文从略) 。 下面先列出图 1 所蕴含的各个物理量间 的关系式,即解题所需的计算公式。 每个三角形的各条边之间的平方和关 系式:

图 1 阻抗三角形,电压三角形,功率三角形

需要说明的是, 复功率 S 和(5)式在一般 电工技术教材中并不给出, 但是由于学生已 有包括功率三角形在内三个相似三角形的 知识基础, 再提出由公式(5)定义的复功率概 念,他们是非常容易接受和理解的。这一点 已经在自己的教学实践中得到验证。 根据 (4) 式与 (5) 式即可推得功率三角形 与阻抗三角形之间的关系式:
S ? I2 Z

图 1 所示的三个相似三角形存在的缺陷 是不能反映出阻抗 Z 中是否包含有电感与 电容两种储能元件。 如果阻抗 Z 中包含有这 两种储能元件, 则三个相似三角形只表示出 了电抗(感抗与容抗之差) 、电抗上的电压 (电感端电压与电容端电压之差) 和电路中 的总无功功率 (电感上的无功功率与电容上 的无功功率之代数和) 。因此,为了能全面 表述阻抗 Z 中各个元件参数和各部分电压 与电流及三种功率,还须补充以下几个公 式。

X ? XL ? XC ( 其中 X L =? L , X C =1 / ?C )

(7)

?| Z |2 ? R 2 ? X 2 ? ? 2 2 2 ? ?U ? U R ? U X ? ? 2 ? 2 2 ?S ? P ? Q ?

(10)

阻抗角和各条边之间的三角函数关系:

sin ??

X UX Q ? ? |Z | U S R UR P cos? ? ? ? |Z | U S

(11) (12)

tg? ?

X UX Q ? ? R UR P

(13)

少必须已知上述全部 11 个物理量中的三个 量,且三个量不能都全部属于一个三角形, 这样才有可能确定第 2 个或第 3 个三角形。 3) 为了用最便捷方法求出待求量,需 要先把所有待求量按其在图 1 中的地位分 成如下 4 类, 然后针对其特点选取最合适的 计算方法。 (1) 电流有效值 I,它未显示在图 1 中, 是由相似关系间接表示出来的量。 它是电路 分析中最重要的物理量。 只能用两个对应边 的比值来求出它。 (2) 阻抗角 ? ,它是直接显示出来的唯 一一个为各三角形共有的量。根据解题需 要,可以把它划归到任一三角形内。求 ? 的 唯一方法是用一个三角形内的两条边之比 求出相应的三角函数值, ,然后再用反三角 函数求出它。 (3) 直接显示出来的 9 条边:R、X、|Z|、 UR、UX、U、P、Q、S 。求它们中的任一 个量的步骤是: a. 如果已知 I 和该待求边的对应边, 将 对应边与 I 或 I2 相乘或除即可;否则,转下 一步; b.如果已知另外两个三角形的 6 条边 中的两条,用(14) ~ (17)式的对应关系来求; c. 如果已知 ? 或其三角函数值与本三角 形内的任一条边,用三角函数关系来求。 d.如果已知本三角形内的另外两条边, 用平方和关系式来求。 上述 4 步中,每一步都要求已知至少一 条边,如果直接求待求量时不满足这个条 件,就必须间接地来求它,即,先用上述 4 步中的某一步求出某个边做为中间量, 然后 再根据已知量与中间量求出待求量。 (4) 未包含在图 1 中的量 XL、XC、UL、 UC、QL 和 QC 。如果阻抗 Z 中包含有两种 储能元件 L 和 C, 则这 6 个量并未包含在图 1 中。 它们可分为 L 组三个量和 C 组三个量。 如果已知角频率和待求量所在组的元件参

三个三角形两两相似,它们的各条对应 边成比例,比值等于电流有效值或其平方:

U UR UX ? ? ?I |Z | R X S P Q ? ? ?I U UR UX S P Q ? ? ? I2 |Z | R X

( 14) ( 15) ( 16)

根据(14)~(16)式与(4)式还可以导 出把三个三角形中的对应边联系在一起的 三个常用公式:
2 U UR U2 S? P? Q? X |Z | R X 2

(17)

考虑到上述(10)~(17)式中每个等号即反 映出一个独立的关系式, 那么图 1 中就蕴含 了 24 个关系式。如此众多的公式既不便于 记忆也不便于在解题时迅速从中选出合适 的公式套用。但熟记图 1 却容易得多!如何 根据图 1 来快速准确地分析求解计算题, 下 面根据平面几何的三角形与三角函数知识, 做进一步分析(以下假设已知角频率ω ,实 际中一般也是如此) 。 1) 图 1 中的任一三角形可由其 3 条边 和角 ? (或其补角)这 4 个量中的任意两个 量唯一决定。由此可知,如果计算题中的已 知量和待求量局限于图 1 的一个三角形内, 则必须已知全部 4 个量中的两个量。 每个三 角形已知量和待求量的不同组合共有 6 种。 如果已知两条边求第三条边, 用 3 条边长间 的平方和关系式来求较为简单, 通过三角函 数关系式计算比较繁琐。 其他组合情况下只 能用三角函数关系式来计算待求量。 2) 如果已知量和待求量不在一个三角 形内,则必然涉及两个或三个三角形。则至

数 L 或 C,则求法很简单。否则,必须已知 角频率与另一组的元件参数, 或者已知另一 组三个量中的一个才行。在这种情况下,先 利用上述方法求出与待求量单位相同的某 个竖直边(X、UX 或 Q) ,然后用(7)~(9)式 求出待求量。 以上详述了阻抗 Z 的电路分析中全部 17 个量的快捷求解方法。 尽管叙述起来篇幅不 少,但只要对照图 1,理清其中的思路,在 解题时是很容易想到和做到的, 因为选择这 些方法的依据只是简单的三角学知识而已。 4、图 1 在后续扩展性内容教学中的应用 利用所讲述的图 1 内容与解题方法,还 可精简 RLC 串联电路内容后面的部分扩展 性内容的讲授以节约课时。例如,串联谐振 可以不详细讲解,因为它只是 RLC 串联电 路当 ? ? 0 的一种特殊工作状态。此时,由 于X ?0, 三个相似三角形蜕变为重叠在一 起的 3 条水平直线段,分别表示 R、P 和 UR。在给出其 ? ? 0 的定义后,可以让学生 自己根据图 1 及其蜕变成的 3 条水平直线 段,分析得出其谐振频率、电路特征(9 条 边和 6 个未显示量 XL、XC、UL、UC、QL、 QC 共 15 个量的特定值与特殊关系,|Z|与 I 取最大值还是最小值等) 。 在讲授并联电容提高感性负载功率因 数的内容时,通常给定ω 、U、P 和并联电 容前后的功率因数 cos ?1 与 cos ?2 ,求需要 并联的电容值 C。 一般教材中对此的分析求 解比较繁琐,也可以用图 1 来简化分析如 下: 将未并联电容的电路视为阻抗 Z1, 并联 电容后的电路等效为 Z2 。则 Z2 与 Z1 的无 功功率之差就是电容提供的无功功率。 即:

所以,由式(18)~(20)很容易得出:

P (tg?1 ? tg? 2 ) (21) ?U 2 如果取(19)式中的 ?2 ? 0 ,电路就成 C?
为 RL 串联后与 C 并联的谐振电路,当 RL 串联电路表示一个电感线圈时, 它就是教材 中讲的电路。由于此时 Q2 ? 0 ,根据 (18) 式可知 Q1 ? ?QC ,因为 Z1 由 R 与 L 串联 而成,所以根据图 1 很容易得出: ?L (22) Q1 ? 2 2 U2 2 ? L ?R 再根据(20)式和 Q1 ? ?QC ,即可得出求并联 谐振的谐振频率的公式 ?L ? ?C 2 2 ? L ? R2

(23)

可见,这里借助图 1 和电感线圈与电 容并联谐振时电容与电感的无功功率完全 互补的观点分析得出公式(23)的过程,要比 一般教材中的分析推导简单了不少。 五、结束语 本文指出了“电工技术”中 RLC 串联 的正弦电路一节所给出的三个相似三角形 在教学中的特殊地位与作用, 简述了其图形 与对应的公式, 然后列出了三个相似三角形 中蕴含的全部计算公式, 详细分析了如何用 它来指导求解关于阻抗 Z 的各种计算题目。 最后介绍了如何利用它精简串联谐振、 线圈 与电容并联谐振和并联电容提高感性负载 功率因数等扩展性教学内容的讲授。
参考文献 [1] 秦曾煌主编.电工学上册电工技术 (第五版) [M]. 北京:高等教育出版社. 1999 [2] 史仪凯主编 .电工技术(电工学Ⅰ) (第二版) [M].北京:科学出版社. 2008

Q2 ? Q1 ? QC

(18) (19) (20)

根据功率三角形的三角函数关系可知:

Q1 ? Ptg?1 , Q2 ? Ptg?2
又因为

QC ? ??CU

2


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