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株洲市二中2013年下学期高一创新班综合测试数学试卷


株洲市二中 2013 年高中新生综合素质测试

数 学 试 题
本卷共 20 小题 时量:120 分钟 分值:150 分
一、选择题(本大题满分 40 分,每小题 5 分,在各题的四个选项中,只有一个是正确的) 1.设 xy ? 0 , x ?| y | ,则 x ? y 的值是 A. 负数 B. 0
2

C. 正数

D. 非负数

2.若 ( x ? 3)( x ? n) ? x ? mx ? 15 ,则 m 等于 A. -2 B. 2 C. -5 3.若 a? | a |? 0 ,则化简 (a ? 1) 2 ? a 2 的结果为 A.1 B.-1 C. 2a ? 1

D. 5

D.1? 2a

4.已知 m 为任意实数,则直线 y ? x ? m 与 y ? ? x ? 4 的交点不可能在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.从 1~9 这九个自然数中随机取出一个数,取出的数是 2 的倍数的概率是 A.

2 9

B.

4 9

C.

5 9

D.

2 3

6. 图 1 是李老师早晨出门散步时,离家的距离( y )与时间( x )之间的函数图象.若用黑点 表示李老师家的位置,则李老师散步行走的路线可能是 y

O 图1

x A. B. C. D.

7.如图 2,AB 是铅直地竖立在坡角为 30°的山坡上的电线杆,当阳光与水平线成 60°角 时,电线杆的影子 BC 的长度为 4 米,则电线杆 AB 的高度为 A.4 米 B.6 米 C.8 米 D.10 米 8.如图 3,菱形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,OA = AD,且 OB = OC = OD = 1, 则该菱形的边长为 A.

1? 5 2
A
光 线

B.

5 ?1 2

C.1 D

D.2 C O

C B
30°

图2

水平线

A 图3

B

1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 9. 若 n ( n ? 0 )是关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 2n ? 0 的根,则 m ? n 的值为 10.若 a ? 3b ? 0 (b ? 0) ,则 (1 ? .

b a ? 2ab ? b )? ? a ? 2b a 2 ? 4b 2
2 2



11.图 4 是 30 名初三女学生 1 分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图(每组次数只含最小 值而不含最大值) ,则仰卧起坐次数在 25~45 次的频率是________.
人数 12 9 5 3 1 0

15 25 35 45 55 60

次数

图4 12.如图 5,每个小正方形的边长为 1,A、B、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为 ________. A B C 图5 13.已知二次函数的图象经过原点及点 ? ? 1 , 1 ?,且图象与 x 轴的负半轴的交点到原点的 ? ? ?
? 2 4?

距离为 1,则该二次函数的解析式为 14. 6 中的两个滑块 A、 由一个连杆连接, 图 B 分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动. 开始时, 滑块 A 距 O 点 20 cm,滑块 B 距 O 点 15 cm.则当滑块 A 向下滑到 O 点时,滑块 B 滑 动了_________cm.
A

O

B 图6

15.如图 7,△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针旋转 36°后得到的图形,点 C 恰好在 AB 上,∠AOD 的度数是 90°,则∠B 的度数是_________. A C B

O 图7

D

2

三、解答题(本大题满分 68 分) 16. (本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? ?2 x 的图象与反比例函数 y ? 象的一个交点为 A(?1, n) .

k 的图 x

k 的解析式; x (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA ? OA ,直接写出点 P 的坐标.
(1)求反比例函数 y ?

17. (本题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中,?ACB ? 90 ,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若 AC=2,
?

CE=4,求四边形 ACEB 的周长.

18. (本题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE,BF 和以 AB 为直径的半圆所 组成的图形叫作图形 C(注:不含 AB 线段) .已知 A(﹣1,0) B(1,0) AE∥BF,且 , , 半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上. (1)求两条射线 AE,BF 所在直线的距离; (2)当一次函数 y ? x ? b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围; 当一次函数 y ? x ? b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围.

3

19. (本题满分 15 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 P 是 AB 边上的 一个动点(点 P 不与点 A、B 重合) CP 与 BD 相交于点 Q. , (1)若 CP 平分∠ACB,求证:AP =2QO. (2)先按下列要求画出相应图形,然后求解问题. ① 把线段 PC 绕点 P 旋转 90°,使点 C 落在点 E 处,并连接 AE.设线段 BP 的长 度为 x,△APE 的面积为 S. 试求 S 与 x 的函数关系式; ② 求出 S 的最大值,判断此时点 P 所在的位置.

D

C

D

C

O Q A P B A

O Q P B

备用图

20. (本题满分 15 分)

A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须
乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需 17010 元,若都买二等座 单程火车票且花钱最少, 已知学生家长与教师的人数之比为 2∶1, A 到 B 从 ..... 则需 11220 元; 的火车票价格(部分)如下表所示: 运行区间 上车站 下车站 公布票价 一等座 81(元) 二等座 68(元) 学生票 二等座 51(元)

A

B

(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人? (2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买 x 张( x 小于参加社会实践的人数) ,其 余的须买一等座火车票, 在保证每位参与人员都有座位坐的前提下, 请你设计最经济的购票 方案,并写出购买火车票的总费用(单程) y 与 x 之间的函数关系式. (3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多 少钱?最多要花多少钱?

4

–– — – — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – —— – — – —

株洲市二中 2013 年高中新生综合素质测试

座位号

数 学 答 题 卡
(满分:150 分,时量:120 分钟)
一、选择题(本大题满分 40 分,每小题 5 分,在各题的四个选项中,只有一个是正确的)

座位号:

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分)

9.

10.

11.

学生姓名:

–— – — – — –

12.

13.

14. 三、解答题(本大题满分 68 分) 16. (本题满分 12 分) 解:

15.

考场号:

班级:

5

17. (本题满分 13 分) 解:

18. (本题满分 13 分) 解:

6

19. (本题满分 15 分) 解: D

C

O Q A P B

D

C

O Q A P B

备用图

7

20. (本题满分 15 分) 解:

8

株洲市二中 2013 年高中新生综合素质测试

数 学 试 题(答案)
(满分:150 分,时量:120 分钟)
一、选择题(本大题满分 40 分,每小题 5 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 D

4 A

5 B

6 D

7 C

8 A

1.设 xy ? 0 , x ?| y | ,则 x ? y 的值是( C ) A. 负数 B. 0 C. 正数 2.若 ( x ? 3)( x ? n) ? x ? mx ? 15 ,则 m 等于( A ) A. -2 B. 2 C. -5
2

D. 非负数

D. 5

解: ∵3n=-15,∴n=-5,m=3+(-5)=-2. 故选 A. 3.若 a? | a |? 0 ,则化简 (a ? 1) 2 ? a 2 的结果为( D ) A.1 解: B.-1 C. 2a ? 1 D.1? 2a ∵a+|a|=0, ∴|a|=-a, ∴a≤0,进而 a-1≤0 ∴ (a ? 1) 2 ? a 2 =|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a. 故选 D.

4.已知 m 为任意实数,则直线 y ? x ? m 与 y ? ? x ? 4 的交点不可能在( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:∵直线 y=-x-4 不经过第一象限,∴无论 m 为何实数,直线 y=x+m 与 y=-x-4 的交 点不可能在第一象限,故选 A.

5.从 1~9 这九个自然数中随机取出一个数,取出的数是 2 的倍数的概率是( B ) A.

2 9

B.

4 9

C.

5 9

D.

2 3

6. 图 1 是李老师早晨出门散步时,离家的距离( y )与时间( x )之间的函数图象.若用黑点 表示李老师家的位置,则李老师散步行走的路线可能是( D ) y

O 图1

x A. B. C. D.

7.如图 2,AB 是铅直地竖立在坡角为 30°的山坡上的电线杆,当阳光与水平线成 60°角
9

时,电线杆的影子 BC 的长度为 4 米, 则电线杆 AB 的高度为( C ) A.4 米; C.8 米; B.6 米 ; D.10 米 B
30°

A

光 线

A C B
水平线

光 线

C
30° 60°

解:如图 2,由题意可知, ∠ACB=90° ,∠ABC=60° , 则 AB=2BC=8 米,所以选择 C.

图2

图2

水平线

8.如图 3,菱形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,OA = AD,且 OB = OC = OD = 1,则该 菱形的边长为 ( A ) A.

1? 5 2

B.

5 ?1 2

C.1 D

D.2 C O A 图3 B

解:如图 3,由已知可知△ABC 与△BOC 相似, 可得 AC ? BC ,即 BC2=AC· OC. BC OC 设 OA=BC=x,可得方程 x2=x+1,解这个方程得:

x1 ?

1? 5 1? 5 , x2 ? (不合题意,舍去).故选 A. 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,满分 42 分) 9. 若 n ( n ? 0 )是关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 2n ? 0 的根,则 m ? n 的值为 ?2 解:因为 n 是关于 x 的方程 x ? mx ? 2n ? 0 的根,所以 n ? mn ? 2n ? 0 ,
2 2

所以 n(n ? m ? 2) ? 0 ,又 n ? 0 ,则 m ? n ? 2 ? 0 ,所以则 m ? n 的值为-2. 10.若 a ? 3b ? 0 (b ? 0) ,则 (1 ? 解: (1 ?

5 b a 2 ? 2ab ? b 2 )? ? 2 2 2 a ? 2b a ? 4b

b a 2 ? 2ab ? b 2 a ? b (a ? 2b)(a ? 2b) a ? 2b , )? ? ? ? 2 2 a ? 2b a ? 4b a ? 2b ( a ? b) 2 a ?b

又 a ? 3b ? 0 ,所以 a ? ?3b , 所以原式= ? 3b ? 2b ? 5 . ? 3b ? b 2 11.图 4 是 30 名初三女学生 1 分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图(每组次数只含最小 值而不含最大值) ,则仰卧起坐次数在 25~45 次的频率是 0.7
人数

解:由频率分布直方图可知, “25~45” 的学生人数有 21 人,所以仰卧起坐次 数在 25~45 次的频率是 0.7.

12 9 5 3 1 0

15 25 35 45 55 60

次数

? 图4 12.如图 5,每个小正方形的边长为 1,A、B、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为 45

10

解:如图 5,连接 AC 可知△ABC 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°. A B C 图5 C 图5 A B

13.已知二次函数的图象经过原点及点 ? ? 1 , 1 ?,且图象与 x 轴的负半轴的交点到原点的 ? ? ?
? 2 4?
2

距离为 1,则该二次函数的解析式为 y ? x ? x 解: 与原点的距离为 1 的交点 (-1, , 0) 由此可求得该二次函数的解析式为:y ? x ? x .
2

14. 6 中的两个滑块 A、B 由一个连杆连接,分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动.开始时, 图 滑块 A 距 O 点 20 cm,滑块 B 距 O 点 15 cm.则当滑块 A 向下滑到 O 点时,滑块 B 滑动了 10 cm 解:如图 6,由 AB ? AO ? OB ? 20 ? 15 ? 25 ,
2 2 2 2 2 2

A

可知连杆 AB 的长度等于 25cm,当滑块 A 向下滑到 O 点时,滑块 B 距 O 点的距离是 25 cm,故滑块 B 滑动了 25-15 =10 cm. O B 图6

15.如图 7,△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针旋转 36°后得到的图形,点 C 恰好在 AB 上, ∠AOD 的度数是 90°,则∠B 的度数是 54° 解:△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针旋转 36°后得到 的图形,点 C 恰好在 AB 上,所以可知 OA=OC, ∠AOC=∠BOD=36°, ∴∠ACO=72°, 又∠AOD= 90°,∴∠BOC= 18°, ∴∠B= 54°. O 图7 D

A

C B

三、解答题(本大题共 68 分) 16. (本题满分 12 分)
11

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? ?2 x 的图象与反比例函数 y ? 象的一个交点为 A(?1, n) .

k 的图 x

k 的解析式; x (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA ? OA ,直接写出点 P 的坐标.
(1)求反比例函数 y ?

解: (1)∵点 A(-1,n)在一次函数 y=-2x 的图象上. ∴n=﹣2× (﹣1)=2 ∴点 A 的坐标为(﹣1,2) ∵点 A 在反比例函数的图象上. ∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是 y=﹣ . (2)点 P 的坐标为(﹣2,0)或(0,4) .

17. (本题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中,?ACB ? 90 ,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若 AC=2,
?

12

CE=4,求四边形 ACEB 的周长.
解:∵∠ACB=90° ,DE⊥BC,

∴AC∥DE. 又∵CE∥AD, ∴四边形 ACED 是平行四边形. ∴DE=AC=2.
在 Rt△ ADE 中,由勾股定理得 CD ? CE ? DE ? 2 3 .
2 2

∵D 是 BC 的中点, ∴BC=2CD= 4 3 . 在△ ABC 中,∠ACB=90° ,由勾股定理得 AB= ∵D 是 BC 的中点,DE⊥BC, ∴EB=EC=4. ∴四边形 ACEB 的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 13 . 18. (本题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE,BF 和以 AB 为直径的半圆所 组成的图形叫作图形 C(注:不含 AB 线段) .已知 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,AE∥BF,且 半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上. (1)求两条射线 AE,BF 所在直线的距离; (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围; 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围. 解: (1)分别连接 AD、DB,则点 D 在直线 AE 上, ∵点 D 在以 AB 为直径的半圆上, ∴∠ADB=90° , ∴BD⊥AD, 在 Rt△ DOB 中,由勾股定理得,BD= 2 , ∵AE∥BF, ∴两条射线 AE、BF 所在直线的距离为 2 . (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,b 的取值范围是 b= 2 或﹣1<b<1; 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,b 的取值范围是 1<b< 2 19. (本题满分 15 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 P 是 AB 边上的一 个动点(点 P 不与点 A、B 重合) ,CP 与 BD 相交于点 Q.
13

=2 13 .

(1)若 CP 平分∠ACB,求证:AP = 2QO. (2)先按下列要求画出相应图形,然后求解问题. ① 把线段 PC 绕点 P 旋转 90°,使点 C 落在点 E 处,并连接 AE.设线段 BP 的长度 为 x,△APE 的面积为 S. 试求 S 与 x 的函数关系式; ② 求出 S 的最大值,判断此时点 P 所在的位置. D C D
1 2

C O Q

O Q A P B

E
3

M G E

P

F

A

B

(1)证明:过点 O 作 OM//AB 交 PC 于点 M,则∠COM=∠CAB. ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ OA=OC,∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, 即 ∠OMQ=∠OQM. ∴ OM=OQ ∴ AP=2OQ. (本小题也可以过点 A 作直线平行于 OQ 证明) (2)根据题意作出图形,如图所示 ①ⅰ、当 PC 绕点 P 逆时针旋转 90°时,作 EF⊥AB 交 BA 延长线于点 F, 则∠EFP=∠PBC=90°,∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2. 又 PE 由 PC 绕点 P 旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF≌△CPB.

1 1 AP ? EF ? (1 ? x) x . 2 2 1 2 1 ∴△APE 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S ? ? x ? x ( 0 ? x ? 1 ). 2 2
∴EF=BP= x , ∴AP=1- x ∴ S ?APE ? ⅱ、当 PC 绕点 P 顺时针旋转 90°时,作 EG⊥AB 交 AB 延长线于点 G, 则同理可得△EPG≌△CPB,EG=BP= x . ∴△APE 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S ? ?

1 2 1 x ? x 2 2 1 2 1 ( x ? x , 0 ? x ? 1) 2 2

由ⅰ、 ⅱ可得△APE 的面积 S 与 x 的函数关系式为 S ? ? ② 由①知 S 与 x 的函数关系式为 S ? ?

1 2 1 ( x ? x , 0 ? x ? 1) 2 2 1 1 2 1 1 1 即 S ? ? ( x ? ) ? , 0 ? x ? 1 ). ∴当 x ? 时 S 的值最大,最大值为 . ( 2 2 8 2 8
此时点 P 所在的位置是边 AB 的中点处.

20. (本题满分 15 分)

A 地某校准备组织学生及学生家长到 B 地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须
乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需 17010 元,若都买二等座

14

单程火车票且花钱最少, 已知学生家长与教师的人数之比为 2∶1, A 到 B 从 ..... 则需 11220 元; 的火车票价格(部分)如下表所示: 运行区间 上车站 下车站 公布票价 一等座 81(元) 二等座 68(元) 学生票 二等座 51(元)

A

B

(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人? (2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买 x 张( x 小于参加社会实践的人数) ,其 余的须买一等座火车票, 在保证每位参与人员都有座位坐的前提下, 请你设计最经济的购票 方案,并写出购买火车票的总费用(单程) y 与 x 之间的函数关系式. (3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多 少钱?最多要花多少钱? 解: (1)设参加社会实践的老师有 m 人,学生有 n 人,则学生家长有 2m 人,若都买二等座 单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座学生票,依题意得: .....

?81(3m ? n) ? 17010 ?m ? 10 解得 ? ? ?68 ? 3m ? 51n ? 11220 ?n ? 180

则 2m ? 20

答:参加社会实践的老师、家长与学生各有 10、20 与 180 人. (2)由(1)知所有参与人员总共有 210 人,其中学生有 180 人, ①当 180 ? x< 210 时,最经济的购票方案为: 学生都买学生票共 180 张, x ? 180 )名成年人买二等座火车票, (210 ? x) 名成年 ( 人买一等座火车票. ∴火车票的总费用(单程) y 与 x 之间的函数关系式为:

y ? 51 ? 180 ? 68( x ? 180 ) ? 81(210 ? x) 即 y ? ?13 x ? 13950 ( 180 ? x< 210 )
②当 0 ? x ? 180 时,最经济的购票方案为: 一部分学生买学生票共 x 张,其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共 (210 ? x) 张. ∴火车票的总费用(单程) y 与 x 之间的函数关系式为:

y ? 51x ? 81(210 ? x)

即 y ? ?30 x ? 17010

( 0 ? x ? 180 )

(3)由(2)小题知, 当 180 ? x< 210 时, y ? ?13 x ? 13950 ,由此可见,当 x ? 209 时, y 的值最小, 最小值为 11233 元,当 x ? 180 时, y 的值最大,最大值为 11610 元. 当 0 ? x ? 180 时, y ? ?30 x ? 17010 ,由此可见,当 x ? 179 时, y 的值最小,最小值 为 11640 元,当 x ? 1 时, y 的值最大,最大值为 16980 元. 所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花 11233 元,最 多要花 16980 元.

15

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