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2017学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课件新人教A版必修1_图文

1.3.2

奇偶性

















重点:奇偶性的判断方法.

结合具体函数,了解函
数奇偶性的含义.

难点:1.奇偶性的含义理解.
2.函数奇偶性与图象的对称性之 间的关系.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 一、偶函数和奇函数
偶函数 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 定义 条件 x,都有 f(-x)= f(x) f(-x)= -f(x)

结论 函数 f(x)叫作偶函数 函数 f(x)叫作奇函数 图象特征 图象关于 y 轴 对称 图象关于原点 对称

二、奇偶性 定义 如果函数 f(x)是奇函数或是偶函数,那么就说 函数 f(x)具有 奇偶性

图象特征 奇(偶)函数 图象关于原点或 y 轴对称

[双基自测] 1.奇函数 y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点( A.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a)) B.(-a,f(a)) 1 D.(a,f(a)) )

答案:C
2.已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是( A.4 C.1 ) B.2 D.0

答案:D

3.下列说法正确的是(

)

A.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数 B.如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称 C.如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数 D.如果一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数为奇函数

答案:B
4.已知 f(x)是偶函数,且 f(2)=2,则 f(2)+f(-2)=________. 答案:4

探究一 [典例 1]

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性:
4 2

(1)f(x)=x +2x ;

1 (2)f(x)=x +x;
3 3 2 ? ?x -3x +1?x>0?, (4)f(x)=? 3 2 ? ?x +3x -1?x<0?.

(3)f(x)= x2-1+ 1-x2; 1-x2 (5)f(x)= . |x+2|-2

[解析]

(1)∵f(x)的定义域为 R,关于原点对称,

又 f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它关于原点对称,
? 3 1? 1 又 f(-x)=(-x) + =-?x +x?=-f(x), -x ? ?
3

∴f(x)为奇函数. (3)∵f(x)的定义域为{-1,1}, 是两个具体数,但它关于原点对称, 又 f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0,

∴f(x)= x2-1+ 1-x2既是奇函数,又是偶函数.

(4)函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ①当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1 =-(x3-3x2+1)=-f(x). ②当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1 =-(x3+3x2-1)=-f(x). 由①②知,当 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时, 都有 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.

2 ? ?1-x ≥0, (5)由题设得:? ? ?|x+2|-2≠0,

∴函数 f(x)定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对

称,且 x+2>0, ∴|x+2|=x+2, 1-x2 1-x2 1-x2 ∴f(x)= = = x , |x+2|-2 x+2-2 1-?-x?2 1-x2 ∴f(-x)= =- x =-f(x), -x ∴f(x)是奇函数.

函数奇偶性的判定方法: (1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域,则该函数既不是奇函 数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的对称区域,再判断 f(-x)是 f?x? 否等于± f(x),或判断 f(x)± f(-x)是否等于零,或判断 是否等于± 1 等. f?-x?

用定义判断函数奇偶性的一般步骤: ①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称. ②用-x 代 x,验证是否有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x), 若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠f(x),且 f(-x)≠-f(x),则 f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(y 轴)对称.

1.判断函数

2 ? ?-x +x,x>0, f(x)=? 2 ? ?x +x,x≤0

的奇偶性.

解析:解法一:这个函数的定义域为 R.且 f(0)=0. 当 x≥0 时,-x≤0, f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).
2 ? ?-?-x +x?,x>0, ∴f(-x)=? 2 ? - ? x +x?,x≤0 ?

=-f(x).

∴f(-x)=-f(x),∴函数 f(x)为奇函数.

解法二:作出函数 f(x)的图象,

由图象可知 f(x)是奇函数.

探究二 [典例 2]

已知函数奇偶性求函数解析式

已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,求 f(x)

在 R 上的解析式.
[解析] 设 x<0,则-x>0,

∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x2+2x(x<0).
2 ? x ? -2x,x≥0, ∴f(x)=? 2 ? ?x +2x,x<0.

首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点, 把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解 即可.

2.若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x(2-x),求函数 f(x)的解 析式.
解析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=-x(2+x)=-f(x), ∴f(x)=x(x+2). ?x?x+2??x>0? ? 故 f(x)=?0?x=0? ?x?2-x??x<0? ?

.

探究三 [典例 3] 则 a=________,b=________;

已知奇偶性求值

(1)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a], )

(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 C.1 B.-1 D.3

(3)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≥0 时,f(x)=x2+2x+b,则 f(-1)=________. (4)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等 于( A.4 C.2 ) B.3 D.1

[解析]

1 (1)由题设知(a-1)+2a=0 得 a= , 3

1 2 ∴f(x)= x +bx+1+b, 3 1 2 1 2 又 f(x)是偶函数,∴f(-x)= x -bx+1+b=f(x)= x +bx+1+b, 3 3 ∴2bx=0 恒成立,∴b=0. (2)解法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,∴f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+(-1)=-3,故选 A.

解法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时, f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x.又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. (3)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=b=0, ∴f(x)=x2+2x(x≥0),∴f(-1)=-f(1)=-[1+2]=-3.
? ?f?-1?+g?1?=-f?1?+g?1?=2 (4)? ? ?f?1?+g?-1?=f?1?+g?1?=4

两式相加得 g(1)=3.

[答案]

1 (1) 3

0

(2)A

(3)-3

(4)B

函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时 可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.

1 3.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +x,则 f(-1)=(
2

)

A.-2 C.1

B.0 D.2
2

1 解析:∵f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +x, ∴f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.
答案:A

忽略函数的定义域致误 [典例] 判断函数 f(x)= x+1· x-1的奇偶性.

[错解] 因为 f(-x)= ?-x?+1· ?-x?-1 = [?-x?+1][?-x?-1]= x+1· x-1=f(x),所以 f(x)是偶函数.
[正解]
? ?x+1≥0, 由题意,得? ? ?x-1≥0,

解得 x≥1,即 f(x)的定义域为[1,+∞),因为

f(x)的定义域不关于原点对称,所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

[易错警示]
错误原因 错解中忽略了函数的定义 域,一个函数是奇(或偶)函 定义法判断函数奇偶性的步 数,其定义域必关于原点对 骤:①求函数的定义域,并 称,它是函数具有奇偶性的 判断其是否关于原点对称; 前提条件,若定义域不关于 ②验证是否有 f(-x)=f(x) 原点对称,则此函数既不是 或-f(-x)=f(x). 奇函数也不是偶函数. 纠错心得

[随堂训练] 1.下列函数中,偶函数是( A.f(x)=|x+1| C.f(x)=x3 )

B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=|x-1|+|x+1|

解析:由偶函数定义知 f(x)=|x-1|+|x+1|是偶函数.

答案:D

x 2.函数 f(x)= 的图象( 1+|x| A.关于 y 轴对称

)

B.关于原点对称

C.关于 y=x 对称 D.关于 y=-x 对称 -x -x 解析:f(-x)= = =-f(x),所以 f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 1+|-x| 1+|x|

答案:B

3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(2,+∞) D.(-2,2)

解析:遇到以偶函数为背景的此类题目,画出不含坐标轴的二次函数简图. 若 f(x)在(-∞, 0]上递减, 则开口向上, 若 f(x)在(-∞, 0]上递增, 则开口向下. 如 图所示:

易得 f(x)<0 时 x 的范围是(-2,2). 答案:D

4.已知 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1-x),则 x<0 时,f(x)等于( A.-x(1+x) B.x(1+x)

)

C.-x(1-x) D.x(1-x) 解析:设 x<0,则-x>0,
∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)(1+x)]=x(1+x).

答案:B