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求异面直线的距离的各种方法


异面直线的距离 确定和计算两条异面直线间的距离,关键在于实现两个转化: 一是转化为一条异面直线和另一条异面直线所在而与它平行的平面之间的距离; 二是转化为两条异面直线分别所在的两个平行平面之间的距离。 1.直接法 根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长。 例:正四棱锥 S-ABCD 中,底面边长为 a,侧棱长为 b(b>a). 求:底面对角线 AC 与侧棱 SB 间的距离. 解:作 SO⊥面 ABCD 于 O,则点 O 是正方形 ABCD 的中心. ∵SO⊥AC,BO⊥AC, ∴AC⊥面 SOB. 在△SOB 中,作 OH⊥SB 于 H①, 根据①、②可知 OH 是 AC 与 SB 的距离. ∵OH·SB=SO·OB,

2.转化法 把所求的异面直线间的距离转化为线面间的距离或转化为面面间的距离. 例:在等边圆锥(轴截面为等边三角形的圆锥叫做等边圆锥)S-ABC 中,母线长为 a,底面圆的 直径为 AC,∠CAB=60°. 求:异面直线 SA 与 BC 的距离. 解:如图 L2-17,易知 SA 与 BC 不垂直,可考虑过 SA 作一个平面与 BC 平行,转化为求 直线与平面间的距离. 作 AD∥BC 交底面圆⊙O 于 D 点.∵BC∥AD,∴BC∥平面 SAD,取 AD、BC 的中点 E、F, 则平面 ADS⊥平面 SEF,过 F 点作 FH⊥SE 于 H,则 FH⊥平面 SAD. 所以 FH 为直线 BC 与平面 SAD 间的距离,也就是异面直线 SA 与 BC 的距离. 在△SEF 中,由 FH·SE=EF·SO, 3.等积法 不用作出异面直线间的距离,利用同一个几何体的体积为定值,布列方程来求异面直线间的 距离.例如上面的例 2,在求 SA 与 BC 间的距离时,我们转化为求平行的 BC 与平面 SAD 间的 距离,可由同一个三棱锥换取不同的底面来计算. 设 BC 与平面 SAD 间的距离为 d,则以 B 为顶点,△SAD 为底面的三棱锥的体积为 而以 S 为顶点,△ABD 为底面的三棱锥的体积为

4.极值法

不必作出异面直线间的距离, 利用异面直线上两点间距离的最小值的性质, 适当列出函数式, 求此函数的最小值. 还是以例 2 来说,在求异面直线 SA 与 BC 间的距离时,可先在 SA 任取一点 D,作 DE⊥直 径 AC 于 E,则 DE⊥底面圆.再作 EF⊥BC 于 F,则有 DF⊥BC,于是 DF 的最小值就是 SA 与 BC 间的距离.

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