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26.1二次函数图象(第4课时)


y?x

2

y ? 2 x2
8 6 4 2

1 2 y? x 2
2 4

-4

-2

二次函数y=ax2的性质
y=ax2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 y轴 顶点坐标是原点(0,0) x=0时,y小 =0 a>0 a<0

开口

对称轴
顶点 增减性

x=0时,y大 =0

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

二次函数y=ax2 +k的性质
y=ax2 +k 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 y轴 顶点坐标是原点(0,k) a>0 a<0

开口

对称轴
顶点 增减性

x=0时,y小 =k

x=0时,y大 =k

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2 图象 开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h 顶点坐标是原点(h,0) x=h时,y小 =0 a>0 a<0

开口

对称轴
顶点 增减性

x=h时,y大 =0

在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

抛物线y=x2+h,y=x2-h与抛物线y=x2的关系:

向上平移 抛物线 y=x2+h h个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2-h h个单位 y
抛物线y=x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x2+h
y=x2

y=x2-h
x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

么关系?

1 2 x 抛物线 y ? ?与抛物线 2

1 y ? ? ( x ? 1) 2 2

1 y ? ? ( x ? 1) 2 有什 2

1 2 向左平移 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2
1 y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 11 2 2 y ? ? ? xx ? 1) y? ( -3 22 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y ? ? ( x ? 1) 2 -10
2

(1)画出函数

y??

1 2 x ? 1? ? 1 的图象, ? 2

1 2 解:作函数 y ? ? ? x ? 1? ? 1 的图象: 2
x
y?? 1 2 ? x ? 1? ? 1 2

·· -4 ·

-3

-2

-1

0

1

2

·· · ·· ·

·· -5.5 -3 ·

-1.5 -1 -1.5 -3

-5.5

-4

-2 -2 -4 -6

2

4

1 2 (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点.(3)抛物线 y ? ? x 经过怎 2
样的变换可以得到抛物线

y??

1 2 x ? 1? ? 1 ? 2
2

-4

-2 -2 -4 -6

4

1 2 抛物线 y ? ? ? x ? 1? ? 1 的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是 2 (-1,-1).

1 y ? ? x 2 向下平移1个单位,再向左平移1个单位, 把抛物线 2 就得到抛物线 y ? ? 1 ? x ? 1?2 ? 1 2

在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y? x 2

1 y ? ( x ? 2) 2 2

1 2 y=—(x-2)+1 2 观察三条抛物线的相互关系, 并分别指出它们的开口方向, 对称轴及顶点.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

x

1 2 向右平移 1 1 2 2 向上平移 y? x y ? ( x ? 2) y=—(x-2)+1 1个单位 2 2 2 2个单位

向右平移 向上平移 顶点(0,0) 顶点(2,0) 2个单位 1个单位 顶点(2,1) 对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=2 即直线: x=0 2个单位

小结:各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移

y = a( x – h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x – h )2
左右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。

3、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点:
(1)y =2( x+3)2+5;(2)y = -3(x-1)2-2; (3)y = 4(x-3)2+7; (4)y = -5(x+2)2-6.
解: (1)a=2>0开口向上,对称轴为x=-3,顶点坐标为(-3,5); (2)a=-3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-2);

(3)a=4>0开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,7);

(2)a=-5<0开口向下,对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2, -6).

1.抛物线y=(x-3)2的开口方向 ,对称轴是 ,顶 点坐标为 ,在对称轴左侧,即x 时,y随x增大 而 ;在对称轴右侧,即x 时,y随x增大而 , 当x= 时,y有最 值为 . 2.函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数y=5x2的图象沿 x轴向 平移 个单位,再沿y轴向 平移 个单 位得到.

函数的图象及性质
抛物线 开口方 向
a>0向上 a<0向下

对称轴

顶点 坐标

最 值

增 减 性

y = ax2

y轴

(0,0) (0,k)

y = ax2 + k
y = a(x – h )2 y = a(x – h )2 + k

a>0向上 a<0向下 a>0向上 a<0向下 a>0向上 a<0向下

y轴

直线x=h ( h , 0 ) 直线x=h (h,k)

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=a(x-h)2+k(a>0)
(h,k)
直线x=h
由h和k的符号确定

y=a(x-h)2+k(a<0)
(h,k)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

直线x=h
由h和k的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性
最值

当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

二次函数 y=2(x+3)2+5

开口方向

对称轴

顶点坐标

向上 向下
向上

-3, 5 ) 对称轴 直线x=-3 (顶点坐标 直线x=1 直线x=3

y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6

( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )

向下

直线x=2

? 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值: ? 1 1 2 2 ?1? .y = 2 ? x + 3 ? - , ? 2 ? .y = - ? x + 1? - 5. 2 3

2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的 对称轴和顶点坐标分别是什么?
?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?
?

? 3.对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时 ,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?

1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验 证.
?

3 2 ?1?. y ? 2?x ? 3? ? 5; ?2?. y ? ?0.5?x ? 1? ; ?3?. y ? ? 4 x ? 1; 3 2 2 ?5?. y ? 0.5?x ? 4? ? 2; ?6?. y ? ? ?x ? 3?2 . ?4?. y ? 2?x ? 2? ? 5; 4
2 2

?

2.填写下表:
y=a(x-h)? +k

开口方向

对称轴

顶点坐标

a>0 a<0

拓展: 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在 水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m, 水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点, 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x -1 )2 +3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点(3,0)可得 0=a(3-1)2+3. 解得 3 2 1 1 2 3

a??

3 4

因此 y ? ?

3 ?x ? 1?2 ? 3 4

?0 ? x ? 3?

当x = 0时,y = 2.25,也就是说,水管应长2.25m.

小结:各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移

y = a( x – h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x – h )2
左右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。

将二次函数 2+bx+c(a≠0)配方 y=ax

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
b 4ac ? b 2 =k 另 ? h, 2a 4a

配方

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

所以,有 y=a(x-h)2+k

因此,任何一个二次函数都可以通过将y=ax2进行平移得到 当h>0向左平移h个单位,当h<0向 右平移|h|个单位, 当k>0时,向上移k个单位,当k<0时, 向下移k个单位, 就可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图像. 例如,y=2x2-8x+12,通过配方 得y=2(x-2)2+4就可以通过平移 -4 y=2x2得到,如演示所示
8
6 4 2 -2 2 4


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